Розробка математичної моделі задачі оптимізації, розв’язання її засобами "Пошук рішення" в MS Excel. Класичні методи дослідження функцій на оптимум. Графічне розв’язання задачі лінійного програмування. Метод штучного базису. Двоїстий симплекс-метод.
Нехай х1 - деталей типу В1 оброблено першим способом, х2 - деталей типу В1 оброблено другим способом, х3 - деталей типу В1 оброблено третім способом, y1 - деталей типу В2 оброблено першим способом, y2 - деталей типу В2 оброблено другим способом, y3 - деталей типу В2 оброблено третім способом, z1 - деталей типу В3 оброблено першим способом, z2 - деталей типу В3 оброблено другим способом, z3 - деталей типу В3 оброблено третім способом. Завдання 3 (3-(1) - пункт (1)) - рішення задачі безумовної оптимізації методом повного перебору, потребує розробки програми для знаходження оптимуму функції, методом повного перебору; Результат: Завдання 3 (3-(1) - пункти (2-5)) - рішення задачі безумовної оптимізації, потребує розробки програми для знаходження оптимуму функції, причому студент досліджує свою функцію одним з самостійно обраних методів з пунктів (2-5) без використання інформації про похідну методом дихотомічного пошуку; Результат: Завдання 3 (3-(2) - пункти (1-2)) - рішення задачі безумовної оптимізації, потребує розробки програми для знаходження оптимуму функції, студент досліджує свою функцію одним з двох обраних методів з використанням інформації про похідну. Задача в канонічній формі має такий вигляд: Запишемо систему обмежень у векторній формі: де - - вимірний вектор-стовпець коефіцієнтів при (j=1,…,6) - - вимірний вектор-стовпець вільних членів системиЗ останньої симплекс-таблиці 12 маємо: Дописуємо це обмеження в таблицю і отримуємо табл.13. Оскільки в стовпчику А0 є відємна компонента - 5/9, то опорний план Х= (x1=40/9; x2=23/9; x3=0; x4=0; x5=-5/9) є псевдопланом і згідно з двоїстим симплекс-методом вектор А5, виводимо з базису, а на його місце вводимо в базис вектор А4 згідно з мінімумом відношення З останньої симплекс-таблиці 13 маємо: Дописуємо це обмеження в таблицю і отримуємо табл.14. 3 таблиці 15 бачимо, що початкова задача цілочислового програмування має оптимальний план: Хопт= Завдання 10 - знаходження оптимуму задачі безумовної багатовимірної оптимізації наближено одним з методів (покоординатного сходження або градієнтним) за вибором, потребує розробки програми для знаходження оптимуму функції.При x1=3,2234 та x2=1,2735 функція f (x1, x2) набуває свого найменшого значення 0,5846 Мета: набуття навичок знаходження оптимуму задачі умовної оптимізації наближено градієнтним методом Завдання 11 - знаходження оптимуму задачі безумовної багатовимірної оптимізації наближено одним з методів (покоординатного сходження або градієнтним) за вибором, потребує розробки програми для знаходження оптимуму функції. function detf1 (x1,x2: real): real; function detf2 (x1,x2: real): real;Мета: набуття навичок знаходження оптимуму задачі умовної багатовимірної оптимізації наближено методом множників Лагранжа. Знайдемо частинні похідні по : Прирівнюючи похідні до нуля, отримаємо систему рівнянь для визначення стаціонарних точок: З першого, четвертого і пятого рівнянь визначимо x2 та x1 Підставимо знайдені значення другого випадку у функціонал та отримаємо: Знайдемо стаціонарну точку цієї функції Система обмежень задачі містить лише лінійні рівняння. Запишемо необхідні і достатні умови існування сідлової точки побудованої функції Лагранжа: Запишемо першу систему обмежень наступним чином: Зведемо нерівності системи до рівностей шляхом введення невідємних змінних : Враховуючи дані рівності, можемо записати: .
План
Цей план містить дробові компоненти і не задовольняє умові цілочисельності задачі.
Вывод
При x1=3,2234 та x2=1,2735 функція f (x1, x2) набуває свого найменшого значення 0,5846
Завдання №11
Градієнтний метод розвязання задач нелінійного програмування
Завдання 11 - знаходження оптимуму задачі безумовної багатовимірної оптимізації наближено одним з методів (покоординатного сходження або градієнтним) за вибором, потребує розробки програми для знаходження оптимуму функції.
Складемо функцію Лагранжа. Оскільки за умовою тільки два обмеження, то множників Лагранжа буде два.
.
Знайдемо частинні похідні по :
Прирівнюючи похідні до нуля, отримаємо систему рівнянь для визначення стаціонарних точок:
З першого, четвертого і пятого рівнянь визначимо x2 та x1
1) x2=-2 - не задовільняє початковим умовам.
2)
Підставимо знайдені значення другого випадку у функціонал та отримаємо:
Знайдемо стаціонарну точку цієї функції
Стаціонарної точки не існує для невідємних значень змінних.
Завдання №13
Мета: навчитися використовувати симплекс-метод для розвязання задач нелінійного квадратичного програмування.
Розвязання
Функція є опуклою, оскільки являє собою суму лінійної функції (яку також можна розглядати як опуклою) і квадратичної форми , яка є достатньо визначеною і тому також є опуклою функцією. Система обмежень задачі містить лише лінійні рівняння. Отже, можна застосувати теорему Куна-Таккера. З цією метою запишемо функцію Лагранжа
Запишемо необхідні і достатні умови існування сідлової точки побудованої функції Лагранжа:
Запишемо першу систему обмежень наступним чином:
Зведемо нерівності системи до рівностей шляхом введення невідємних змінних :
Враховуючи дані рівності, можемо записати: .
Для знаходження базисного розвязку системи лінійних рівнянь застосовуємо метод штучного базису. Для цього в друге і третє рівняння системи вводимо додаткові невідємні змінні і розвяжемо задачу лінійного програмування при обмеженнях
