Математическое моделирование - Курс лекций

Концепция моделирования прежде всего преследует цель включения моделей в процесс создания теорий, поскольку идеальные модели могут быть предварительной ступенью в построении или моделью интерпретации теории. Моделирование целесообразно, когда у модели отсутствуют те признаки оригинала, которые препятствуют его исследованию, или имеются отличные от оригинала параметры, способствующие фиксации или изучению свойств модели. Основная задача теории моделирования заключается в том, чтобы вооружить исследователей технологией создания таких моделей, которые достаточно точно и полно фиксируют интересующие свойства оригиналов, проще или быстрее поддаются исследованию и допускают перенесение его результатов на оригиналы. В перспективе для каждой системы могут быть созданы свои модели, перед реализацией каждого технического или организационного проекта. должно проводиться моделирование. Целесообразнее использовать моделирование для действующих ВС, поскольку можно опытным путем проверить адекватность модели и оригинала и более точно определить те параметры системы и внешних воздействий на нее, которые служат исходными данными для моделирования.Концептуальная (содержательная) модель - это абстрактная модель, определяющая состав и структуру системы So, свойства элементов и причинно-следственные связи, присущие исследуемой системе и существенные для достижения цели моделирования. Модель ориентируется на выявление определенных свойств системы в соответствии с целями моделирования. Разработка концептуальной модели требует достаточно глубоких знаний системы So, так как надо обосновать не только то, что должно войти в модель, но и то, что может быть отброшено без существенных искажений результатов моделирования. Последнее является наиболее проблематичным, поскольку возникает замкнутый круг: для точного определения влияния исключения какого-либо элемента или явления из модели на степень искажения результатов необходимо создать и исследовать две модели - с учетом и без учета этого элемента или явления. Исключение каких-либо элементов из модели не должно приводить к потере основных свойств системы при выполнении функций по отношению к метасистеме.Для количественных параметров необходимо определить их конкретные значения, которые будут использованы в виде исходных данных при моделировании. На ранней стадии создания концептуальной модели зачастую выявляется часть параметров, которые определенно войдут в модель. В-третьих, всегда идет речь о моделировании несуществующей (проектируемой, модернизируемой) системы или системы, которая должна функционировать в новых условиях. Это можно делать, если случайная величина имеет небольшой разброс, или в случае, когда для достижения цели моделирования достаточно вести расчет по средним значениям. Это необходимо в связи с тем, что при определенных законах распределения основных параметров системы и нагрузки появляется возможность создания аналитической модели, а при имитационном моделировании может оказаться проще задать вид закона распределения и основные статистические характеристики, чем представлять случайную величину, например, в виде таблицы.Создание математической модели преследует две основные цели: 1) дать формализованное описание структуры и процесса функционирования системы для однозначности их понимания; 2) попытаться представить процесс функционирования в виде, допускающем аналитическое исследование системы. Средствами формализованного описания процессов функционирования систем с программным принципом управления служат определенные языки и системы имитационного моделирования. В основе подхода лежит кусочно-линейный закон изменения состояния системы, что обеспечивает простоту вычисления опорных моментов времени и, как следствие, простоту реализации модели кусочно-линейного агрегата и системы, составленной из таких агрегатов. Суть метода заключается в том, что функционирование системы определяется управляющими последовательностями, которые имеют определенный физический смысл, а также алгоритмами, описывающими управление системой с помощью введенных последовательностей. Стохастическая сеть представляет собой совокупность систем массового обслуживания, в которой циркулируют заявки, переходящие из одной системы в другую.Поэтому аналитические методы исследования используются обычно для первоначальной грубой оценки характеристик всей системы или отдельных ее подсистем, а также на ранних стадиях проектирования систем, когда недостаточно информации для построения более точной модели. Методы имитационного моделирования различаются в зависимости от класса исследуемых систем, способа продвижения модельного времени и вида количественных переменных параметров системы и внешних воздействий. Если все элементы системы имеют конечное множество состояний и переход из одного состояния в другое осуществляется мгновенно, то такая система относится к системам с дискретным изменением состояний, или дискретным системам. Если переменные всех элементов системы изменяются постепенно и могут принимать бесконечно

План

1. Создание концептуальной модели

2. Подготовка исходных данных

3. Разработка математической модели

4. Выбор метода моделирования

1. Создание концептуальной модели

Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем, Л.: Машиностроение, 1988 г. - 223 стр.

Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами, М.: Советское радио, 1980 г. - 232 стр.

Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий, М.: Наука, 1976 г. -278 стр.

Лекция 3. ТЕХНОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ (2 часа)

План

1. Выбор средств моделирования

2. Проверка адекватности и корректировка модели

3. Планирование экспериментов с моделью

4. Анализ результатов моделирования

1. Выбор средств моделирования

Технические средства моделирования. После выбора метода моделирования необходимо выбрать технические и программные средства для- проведения исследования модели с помощью ВС. В качестве программных средств могут быть использованы процедурно-ориентированные алгоритмические языки, проблемно-ориентированные языки или автоматизированные системы моделирования.

Для исследования моделей применяются универсальные или специализированные ВС. Для проведения аналитического моделирования с помощью универсальных ВС зачастую не предъявляется каких-либо особых требований к техническим средствам. Основным требованием к универсальным ВС, которые используются для имитационного моделирования, является наличие оперативной памяти достаточно большой емкости. Это объясняется тем, что в процессе модельного эксперимента постоянно производятся чередующиеся обращения к параметрам элементов и воздействий (к атрибутам статических и динамических составляющих), поэтому все они должны находиться в оперативной памяти.

Каждый модельный эксперимент при статистическом моделировании требует существенных затрат машинного времени, поэтому желательно использовать для моделирования высокопроизводительные ВС. Остальные требования к составу и техническим характеристикам универсальных ВС не являются существенными.

К специальным техническим средствам аналитического моделирования относятся аналоговые вычислительные машины, используемые для исследования непрерывных детерминированных систем.

В связи с широким применением имитационного моделирования в различных областях все более актуальными становятся разработка и выпуск специализированных ВС. К таким средствам относятся стохастические машины, машины имитационного моделирования и гибридные моделирующие комплексы. Наиболее мощными специализированными техническими средствами моделирования призваны стать распределенные системы моделирования.

Алгоритмические языки. Для создания программных моделей могут использоваться универсальные процедурно-ориентированные алгоритмические языки высокого уровня такие, как Pascal, Delphi, C , Java и др. Известны примеры применения алгоритмических языков для составления программ имитационного моделирования ВС. При создании имитационных моделей на языках общего назначения возникает ряд трудностей, не типичных для практики программирования традиционных задач обработки данных. Эти трудности связаны с двумя основными особенностями алгоритмов имитационного моделирования.

Первая особенность заключается в том, что алгоритмы поведения сложных систем относятся к параллельным алгоритмам, т. е. предполагающим выполнение более чем одного преобразования в каждый момент времени. Трудности программирования параллельных алгоритмов состоят в том, что алгоритмические языки ориентированы на описание чисто последовательных процессов. Программная имитация параллельных процессов при использовании языков высокого уровня сводится к Организации псевдопараллельного развития параллельных процессов, что достаточно сложно для программирования.

Вторая особенность состоит в том, что в процессе моделирования необходима обработка данных, объем которых весьма трудно оценить априорно. Это обусловлено динамическим характером имитационных моделей и их направленностью на изучение массовых процессов в системах. При программировании таких алгоритмов первостепенное внимание уделяется динамическому распределению оперативной памяти.

Достоинства применения процедурно-ориентированных языков для составления программ имитационного моделирования состоят в возможности использования стандартного программного обеспечения ВС, написания экономичных по затратам памяти и быстродействующих программ, учета детальных особенностей функционирования моделируемых систем.

Языки моделирования. При создании программ имитационного моделирования возникают задачи, общие для широкого класса моделей. Это - организация псевдопараллельного выполнения алгоритмов; динамическое распределение памяти; операции с модельным временем, отображающим астрономическое время функционирования оригинала; имитация случайных процессов; ведение массива событий; сбор и обработка результатов моделирования. Для облегчения решения этих и некоторых других задач созданы специальные проблемно-ориентированные средства (программные системы), которые называют языками моделирования. Решение перечисленных выше задач осуществляется полностью или частично внутренними средствами языка.

Описательные средства языков моделирования позволяют идентифицировать и задавать параметры моделируемой системы и внешних воздействий, алгоритмы функционирования и управления, режимы и требуемые результаты моделирования. По структуре и правилам программирования языки моделирования подобны процедурно-ориентированным алгоритмическим языкам высокого уровня. Они имеют тот или иной набор операторов, сопровождаемых соответствующими • операндами. Но операторы языков моделирования предопределяют выполнение более сложных процедур, поэтому языки моделирования имеют более высокий уровень по сравнению с уровнем алгоритмических языков, что упрощает составление программ. Языки моделирования следует рассматривать как формализованный базис создания математических моделей.

В настоящее время известно более 500 языков моделирования. Такое множество языков частично обусловлено разнообразием классов моделируемых систем, методов их формализованного математического описания, целей и методов моделирования. По классу систем языки подразделяются на семейства, ориентированные на моделирование дискретных, непрерывных и комбинированных систем. В отдельное семейство выделяются языки, предназначенные для автоматизированного составления схем соединения блоков аналоговых ЭВМ. Другим классификационным признаком может служить алгоритмический или структурный подход к описанию процессов функционирования систем. Можно подразделить языки и по другим признакам.

Автоматизированные системы моделирования. Желание дальнейшего упрощения и ускорения процесса создания машинных моделей привело к реализации идей по автоматизации программирования имитационных моделей. Создан ряд систем, которые избавляют исследователя от программирования. Программа создается автоматически по одной из формализованных схем на основании задаваемых исследователем параметров системы, внешних воздействий и особенностей функционирования. Исходные данные представляются в той или иной канонической форме или в ходе диалога с ВС. По результатам машинного эксперимента основные выходные данные вычисляются и выводятся автоматически, дополнительные - по указанию исследователя. Такие системы называют еще универсальными автоматизированными имитационными моделями, или генераторами имитационных программ.

Перед исследователями систем, использующими имитационное моделирование, неизбежно возникает задача выбора соответствующих программных средств моделирования. Обилие этих средств, в большинстве своем реализованных на разнотипных ВС, отсутствие исчерпывающей документации, единой методики сравнения существующих систем значительно усложняет решение этой задачи. Усилиями рабочей группы Международной ассоциации по применению математических методов и вычислительных машин в имитационном моделировании разработаны единые классификационные таблицы для представления средств программного обеспечения машинного моделирования, которые позволяют в компактной форме описать различные системы моделирования, особенности их реализации и применения.

Программные и технические средства моделирования выбираются с учетом ряда критериев. Непременное условие при этом - достаточность и полнота средств для реализации концептуальной и математической модели. Среди других критериев можно назвать доступность средств, наличие у исследователя информации о тех или других средствах. Немаловажное значение имеет простота и легкость освоения программных средств моделирования, скорость и корректность создания программной модели, существование методики использования средств для моделирования систем определенного класса.

После выбора языка разрабатывают программную модель. Этот процесс включает разработку алгоритма, конкретизацию форм представления входных данных и результатов, написание и отладку программы. Это важный и трудоемкий этап, но по технологии он практически не отличается от всякого другого программирования и поэтому здесь детально не рассматривается.

2. Проверка адекватности и корректировка модели

Проверка адекватности. Проверка адекватности модели системе заключается в анализе ее соразмерности с исследуемой системой, а также равнозначности системе. Однако модель не должна быть полным отображением системы, иначе теряется смысл ее создания. Адекватность нарушается изза идеализации внешних условий и режимов функционирования, исключения тех или других параметров, пренебрежения некоторыми случайными факторами. Отсутствие точных сведений о внешних воздействиях, определенных нюансах структуры системы, принятые аппроксимации, интерполяции, предположения и гипотезы тоже ведут к уменьшению соответствия между моделью и системой. Перечисленные и другие факторы могут стать причиной того, что результаты моделирования будут существенно отличаться от реальных.

Естественной простейшей мерой адекватности может служить отклонение некоторой характеристики y0 оригинала и ym модели:

или, что лучше, отношение отклонения к характеристике оригинала

/y0

Тогда можно считать, что модель адекватна с системой, если вероятность того, что отклонение у не превышает предельной величины , больше допустимой вероятности Р :

Однако практическое использование данного критерия адекватности зачастую невозможно по следующим причинам.

Во-первых, для проектируемых или модернизируемых систем отсутствует информация о значении характеристики У0, а моделируются, как правило, именно такие системы. Можно сравнивать характеристики модели и некоторой системы-аналога, но тогда будет одинаковая степень недоверия к этим характеристикам. Во-вторых, система оценивается не по одной, а по множеству характеристик, у которых может быть разная величина отклонения. В-третьих, характеристики могут быть случайными величинами и функциями, а часто и нестационарными функциями. Для стохастических систем может оказаться, что статистические характеристики, полученные на модели с высокой степенью адекватности, более точны, чем соответствующие характеристики, вычисленные по результатам измерений на реальной системе Это объясняется тем, что результаты моделирования определяются по большому числу реализации, в то время как количества измерений на реальной системе всегда ограничены. В-четвертых, отсутствует возможность априорного точного задания предельных . отклонений и допустимых вероятностей Р .

Тем не менее проверять адекватность необходимо, так как по неверным результатам моделирования могут быть приняты неправильные решения. На практике оценка адекватности обычно проводится путем экспертного анализа разумности результатов моделирования. Можно выделить следующие виды проверок: · проверка моделей элементов (в сомнительных случаях следует детализировать элемент или провести дополнительный анализ);

· проверка модели внешних воздействий (принятые предположения, аппроксимации и гипотезы необходимо оценить математическими методами);

· проверка концептуальной модели функционирования системы (выявляются ошибки постановки задачи);

· проверка формализованной и математической модели;

· проверка способов измерения и вычисления выходных характеристик; выявляются ошибки решения;

· проверка программной модели (анализируется соответствие операций и алгоритмов функционирования программной и математической модели, проводятся контрольные расчеты при типовых и предельных значениях переменных, выявляются инструментальные ошибки программирования).

Корректировка модели. Если по результатам проверки адекватности выявляется недопустимое рассогласование модели и системы, возникает необходимость в корректировке или калибровке модели. При этом могут быть выделены следующие типы изменений: глобальные, локальные и параметрические.

Необходимость в глобальных изменениях возникает в случае обнаружения методических ошибок в концептуальной или математической модели. Устранение таких ошибок приводит к разработке новой модели. Локальные изменения связаны с уточнением некоторых параметров или алгоритмов. Они выполняются, например, путем замены моделей компонентов системы и внешних воздействий на эквивалентные, но более точные модели. Локальные изменения требуют частичного изменения математической модели, но могут привести к необходимости разработки новой программной модели. Для уменьшения вероятности таких изменений рекомендуется сразу разрабатывать модель с большей степенью детализации, чем это необходимо для достижения цели моделирования.

К параметрическим относятся изменения некоторых специальных параметров, называемых калибровочными. Для обеспечения возможности повышения адекватности модели путем параметрических изменений следует заранее выявить калибровочные параметры и предусмотреть простые способы варьирования ими.

Стратегия корректировки модели должна быть направлена на первоочередное введение глобальных изменений, затем - локальных и, наконец, параметрических изменений. Общая методика корректировки приведена в работе. Для выработки тактики параметрических изменений большое значение имеет анализ чувствительности модели к вариациям ее параметров.

Завершается этап проверки адекватности и корректировки модели определением и фиксацией области пригодности модели. Под областью пригодности понимается множество условий, при соблюдении которых точность результатов моделирования находится в допустимых пределах.

3. Планирование экспериментов с моделью

Стратегическое планирование. Цели моделирования достигаются путем исследования разработанной модели. Исследования заключаются в проведении экспериментов, в результате которых определяются выходные характеристики системы при разных значениях управляемых переменных параметров модели. Эксперименты следует проводить по определенному плану. Особую важность приобретает планирование экспериментов при численном и статистическом имитационном моделировании на универсальных ВС. Это обосновывается большим числом возможных сочетаний значений управляемых параметров, а каждый машинный эксперимент проводится при определенном сочетании значений параметров. Например, при пяти управляемых параметрах, каждый из которых может иметь три значения, количество сочетаний параметров равно 243, при десяти параметрах (по пять значений каждого) число сочетаний приближается к 10 млн. При ограниченных вычислительных и временных ресурсах обычно не представляется возможным провести все эксперименты. Возникает необходимость в выборе определенных сочетаний параметров и последовательности проведения экспериментов. Это называется стратегическим планированием.

Разработка плана начинается на ранних этапах создания модели, когда выявляются характеристики качества и параметры, с помощью которых предполагается управлять качеством функционирования системы. Эти параметры называют в теории планирования экспериментов факторами. Затем выделяются возможные значения количественных параметров и варианты качественных (функциональных) параметров. Их называют уровнями q. При этом число сочетаний где k - число факторов.

Если число факторов велико, то для проведения исследований системы используется один из методов составления плана по неполному факторному анализу. Эти методы хорошо разработаны в теории планирования экспериментов и частично рассмотрены в книге. Особую важность приобретает тщательное планирование экспериментов при исследовании нестационарных систем в связи с необходимостью существенного увеличения общего количества экспериментов.

Тактическое планирование. Совокупность методов уменьшения длительности машинного эксперимента при обеспечении статистической достоверности результатов имитационного моделирования получила название тактического планирования. На длительность одного .эксперимента (периода моделирования Тм) влияет степень стационарности системы, взаимозависимости характеристик и значения начальных условий моделирования.

Данные, собранные в эксперименте, можно рассматривать как временные ряды, состоящие из замеров определенных характеристик. Ряд замеров характеристики у может рассматриваться как выборка из стохастической последовательности. Если эта последовательность стационарна, ее среднее у не зависит от времени. Оценкой является среднее по временному ряду y1, .... YN. Для эргодической последовательности точность этой оценки возрастает с ростом N.

Если заданы максимальная допустимая ошибка оценки (доверительный интервал) и минимальная вероятность того, что истинное среднее у лежит внутри этого интервала, то существует минимальный размер исследуемой выборки. Этот размер соответствует минимальной длительности эксперимента. Для оценки нескольких характеристик период моделирования определяется по максимальному значению.

Требуемый размер выборки существенно зависит от дисперсии оцениваемой характеристики. Чем больше дисперсия, тем больше должен быть размер выборки. Для коррелированных случайных характеристик следует оценивать дисперсии. Имеются специальные приемы обработки результатов моделирования, которые получили название методов уменьшения дисперсии. Они используют априорную информацию о системе и позволяют уменьшить размер выборки при сохранении заданной точности оценок. К ним относятся методы коррелированных, стратифицированных выборок и др.

Большинство имитационных моделей используются для изучения установившихся равновесных режимов функционирования. Но в начальный период работы системы или модели существует переходный режим даже при неизменных значениях параметров входных воздействий. Как показали исследования, длительность переходного режима может быть весьма большой. Значения выходных характеристик, измеренные в переходный период, смещают их общие оценки.

Существует три основных метода уменьшения ошибки, обусловленной начальными условиями. Первый состоит в достаточном увеличении периода моделирования. С увеличением числа замеров влияние начального смещения на статистическую оценку стремится к нулю. Второй метод состоит в том, чтобы начинать сбор статистики не с начального момента, а по истечении некоторого времени. Третий метод заключается в инициализации модели не с «нулевого», а специально заданного состояния, близкого к установившемуся.

Первые два метода приводят к увеличению длительности эксперимента и не дают гарантии уменьшения ошибки, так как априорно неизвестна длительность переходного режима. Третий метод можно применять при наличии информации о подходящем начальном состоянии. В последующих экспериментах для задания начальных состояний могут использоваться уточненные сведения из предшествующих экспериментов.

При моделировании нестационарных систем установившийся. режим может полностью отсутствовать. Естественным методом определения характеристик имитационного моделирования нестационарных систем является метод повторных экспериментов. В этом случае число экспериментов существенно увеличивается, что приводит к особым требованиям по их планированию.

4. Анализ результатов моделирования

Обработка измерений имитационного эксперимента. При статистическом моделировании в ходе имитационного эксперимента измеряются множества значений по каждой выходной характеристике. Эти выборки необходимо отрабатывать для удобства последующего анализа и использования. Поскольку выходные характеристики зачастую являются случайными величинами или функциями, обработка заключается в вычислении оценок математических ожиданий, дисперсий и корреляционных моментов. Оценки, полученные в результате статистической обработки измерений, должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Для того чтобы исключить необходимость хранения в машине всех измерений, обработку проводят по рекуррентным формулам, когда оценки вычисляют в процессе эксперимента методом нарастающего итога по мере появления новых измерений.

Для стохастических характеристик можно построить гистограмму относительных частот - эмпирическую плотность распределения. С этой целью область предполагаемых значений характеристики Y разбивается на интервалы. В ходе эксперимента по мере измерений определяют число попаданий характеристики в каждый интервал и подсчитывают общее число измерений. После завершения эксперимента для каждого интервала вычисляют отношение числа попаданий характеристики к общему числу измерений и длине интервала. Для построенной гистограммы можно попытаться подобрать теоретический закон распределения. Делается это так же, как и при подготовке исходных данных моделирования.

Если искомая характеристика является стационарной случайной функцией времени y(t) и обладает свойством эргодичности, то для ее оценки вычисление среднего по времени заменяется вычислением среднего по множеству измерений при одном достаточно продолжительном эксперименте.

Для случайных нестационарных характеристик период моделирования T разбивается на отрезки с постоянным шагом Tm (прогоны или сечения), и запоминаются значения характеристики в конце каждого прогона. Проводится серия экспериментов с разными последовательностями случайных параметров модели. Затем измерения каждого сечения обрабатываются как при оценке случайных величин. В книге рассмотрена методика этих вычислений.

Процессы обработки измерений имитационного эксперимента направлены на получение интегральных характеристик, т. е. на сжатие данных.

Определение зависимостей характеристик от параметров системы. По результатам статистического моделирования может быть проведен анализ зависимостей характеристик от параметров системы и внешних воздействий. Для этого можно воспользоваться корреляционным, дисперсионным или регрессионным методами.

С помощью корреляционного анализа можно установить наличие связи между двумя или более случайными величинами. Оценкой связи служит коэффициент корреляции при наличии линейной связи между величинами и нормальном законе их совместного распределения. Коэффициент корреляции, равный единице по абсолютной величине, свидетельствует о наличии функциональной нестохастической линейной связи между анализируемыми величинами. При равенстве нулю коэффициента корреляции связь отсутствует. Промежуточные значения коэффициента корреляции соответствуют наличию линейной связи с рассеянием или нелинейной корреляции.

Дисперсионный анализ можно использовать для установления относительного влияния различных факторов на значения выходных характеристик. При этом общая дисперсия характеристики разлагается на компоненты, соответствующие рассматриваемым факторам. По значениям отдельных компонентов делают вывод о степени влияния того или другого фактора на анализируемую характеристику.

Когда все факторы в эксперименте являются количественными, можно найти аналитическую зависимость между характеристиками и факторами. Для этого используются методы регрессионного анализа. Найденная зависимость называется эмпирической моделью. Регрессионный анализ заключается в том, что выбирается вид соотношения между зависимыми и независимыми переменными, по экспериментальным данным вычисляются параметры выбранной зависимости и оценивается качество аппроксимации экспериментальных данных моделью. Если качество неудовлетворительное, берется зависимость другого вида, и процедура повторяется.

К анализу результатов моделирования можно отнести задачу анализа чувствительности модели к вариациям ее параметров. Под анализом чувствительности понимают проверку устойчивости характеристик процесса функционирования системы к возможным отклонениям значений параметров.

Анализ результатов моделирования позволяет уточнить множество информативных параметров модели, что может привести к существенному изменению первоначального вида концептуальной модели; найти функциональные зависимости характеристик и параметров, что иногда дает возможность создать аналитические модели системы, или определить весовые коэффициенты критерия эффективности.

Использование результатов моделирования. В конечном счете результаты моделирования используются для принятия решения о работоспособности системы, для выбора лучшего проектного варианта или для оптимизации системы. Решение о работоспособности принимается по тому, выходят или не выходят характеристики системы за установленные границы при любых допустимых изменениях параметров. При выборе лучшего варианта из всех работоспособных вариантов выбирается тот, у которого максимальное значение критерия эффективности. Наиболее общей и сложной является оптимизация системы: требуется найти такое сочетание значений переменных параметров системы или рабочей нагрузки из множества допустимых, которое максимизирует значение критерия эффективности:

при соблюдении ограничений на все п характеристик

Если выходная характеристика yi, является случайной величиной с некоторой плотностью распределения f(yi), целесообразно ввести в задачу оптимизации стохастические ограничения следующего вида:

где - минимально допустимая вероятность того, что конкретные значения у, не выйдут за ограничивающие пределы.

Для нестационарных систем выходная характеристика уі зачастую является случайной функцией с плотностью распределения, изменяющейся во времени f(yi,t). В этом случае можно задать ограничения следующим образом:

где Т - длительность анализируемого периода функционирования системы.

Приведенная постановка задачи оптимизации стохастических систем допускает выход за установленные границы не только отдельных значений характеристики yi, но и ее математического ожидания M[yi,t] в пиковые моменты даже при величинах , близких к единице. Это показано на рис. 1. для случая ограничения yi только сверху.

Рис. 1. Ограничение на выходную характеристику, представленную нестационарным случайным процессом

При статистическом моделировании вычисление приведенного двойного интеграла, которое часто оказывается невыполнимой. задачей в случае использования других методов исследования, сводится к вероятностной оценке, которая выполняется путем подсчета числа реализации уі, не выходящих за допустимые значения, и его деления на величину выборки за время эксперимента Tm

В случае большого количества сочетаний независимых переменных поиск оптимального варианта требует использования специальных процедур, например, методов математического программирования, в частности, метода наискорейшего спуска и др. Значительно сократить затраты машинного времени на моделирование позволяет проведение зависимых, экспериментов. Применение этих методов следует учитывать на этапе планирования экспериментов.

После создания системы целесообразна апостериорная проверка результатов моделирования и измерения характеристик функционирования. Такая проверка помогает уточнить модель и повысить эффективность системы. Наличие, модели .действующей системы дает возможность прогнозирования качества функционирования при развитии системы или изменении внешних воздействий.

Контрольные вопросы

Какие виды методов используются для иследования сложных систем?

Предмет имитационного моделирования.

Что вы понимаете под средствами моделирования и какие виды знаете?

Что вы понимаете под проверкой адекватности модели?

Что означает планирование экспериментов с моделью?

Литература

Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем, Л.: Машиностроение, 1988 г. - 223 стр.

Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами, М.: Советское радио, 1980 г. - 232 стр.

Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий, М.: Наука, 1976 г. -278 стр.

Лекция 4. ПРОБЛЕМА МОДЕЛИРОВАНИЯ (2 часа)

План

1. Объект моделирования

2. Сведения об объекте

3. Априорная информация

4. Апостериорная информация

При постановке и решении проблемы моделирования исследователь сталкивается с различными вопросами, одним из основных является вопрос - что называть объектом моделирования и какие общие свойства, черты модели объекта? Поэтому проблему моделирования начнем с изучения объекта моделирования.

1. Объект моделирования

Объект моделирования удобно представлять в виде многополюсника, изображенного на рис.1.а, где х1, ..., хп -наблюдаемые входы объекта, e1, ..., ek- его ненаблюдаемые входы; у1, ..., ут-наблюдаемые выходы объекта.

Рис. 1. Изображение объекта моделирования.

Многомерный объект удобно описывать в векторной форме (рис. 1.б), где

X=(x1, . . . xn);

Y=(y1, . . . ym);

E=(e1, . . . ek);

Все входы объекта представляют собой воздействия внешней среды на объект и являются какими-то определенными функциями состояния среды и времени. Так как отсутствует модель среды, воздействующей на объект моделирования, то входы объекта естественно рассматривать как случайные функции времени, т. е.

X=X(t), E=E(t), статистические свойства которых в общем случае неизвестны. Однако известны наблюдения входа и выхода объекта, т. е. реализации функций X(t) и Y(t) в непрерывной или дискретной форме. Относительно ненаблюдаемого входа Е(t) предполагается известной его структура, т. е. характер этой случайной функции. В рамках данного курса мы ограничимся случаем, когда E(t) является нормальным случайным процессом, непосредственное наблюдение которого невозможно.

Объект связывает входы Х и Е с выходом Y некоторым априори неизвестным оператором F0

Y=F0(X, E).

Однако идентифицируется не он, а оператор модели F, связывающий наблюдаемые входы и выходы:

Y=F(X).

Ненаблюдаемый фактор Е(t) рассматривается как случайная помеха, затрудняющая определение оператора F.

Резюмируя, можно сказать, что объект идентификации в общем случае представляется в виде многополюсника, часть входов которого ненаблюдаема (это и есть Е)

2. Сведения об объекте

Все сведения об объекте, которые необходимо иметь для того, чтобы начать процедуру идентификации, как сказано выше, подразделяются на два вида: априорные А и апостериорные B. Так, что двойка

(1) характеризует всю информацию об объекте. Рассмотрим оба вида сведений в отдельности.

3. Априорная информация

Априорная информация, которой необходимо располагать еще до наблюдения входов и выходов объекта, должна ответить на вопрос, что представляет собой структура идентифицируемого объекта. Структуру прежде всего мы будем характеризовать значениями четырех признаков: A =, (2) которые кодируют объект по четырем признакам. Следует сразу отметить, что структура объекта полностью далеко не исчерпывается этими четырьмя признаками.

Рассмотрим указанные признаки вида объекта подробнее и уточним их смысл.

1. Признак динамичности ?. Будем объект называть динамическим (?=1), если поведение его выхода зависит не только от значений входа в текущий момент времени, но и от предыдущих значений входа. Это означает, что объект обладает памятью (или инерционностью), которая и определяет зависимость выхода от предыстории входа.

В противном случае объект будем называть статическим (?=0).

2. Признак стохастичности ?. Будем объект называть стохастическим (?=1), если поведение его выхода зависит от неконтролируемых входов объекта или (что то же) сам объект содержит неконтролируемый источник случайных факторов возмущений. В противном случае будем объект называть детерминированным (?=0).

Заметим, что, строго говоря, нестохастических объектов не существует в природе, так как всякое измерение неизбежно вносит свою погрешность в результат наблюдения. Поэтому правильнее говорить о “малой” и “большой” стохастичности объекта, подразумевая, что с малой стохастичностью можно не считаться и называть такой объект детерминированным.

3. Признак нелинейности ?. Объект будем называть нелинейным (?=1), если его реакция на два различных возмущения входа не эквивалентна сумме реакций на каждое из этих возмущений в отдельности. Для случая без помех нелинейность определяется условием

F0(X1 X2) ? F0(X1) F0(X2).

При невыполнении этого условия, т. е. при равенстве в этом выражении, объект будем называть линейным (?=0).

4. Признак дискретности ?. Будем объект называть дискретным (?=1), если состояние его входов и выходов изменяется или измеряется лишь в дискретные моменты времени t=1, 2, ..., п. Если же вход и выход изменяются или измеряются непрерывно, то объект назовем непрерывным (?=0). Таким образом, способ измерения может изменит этот признак объекта.

Как видно, A в значительной степени проясняет вид модели, а для ее полной определенности следует сказать о характере динамики (при ?=1), вероятностных свойствах стохастичности (при, ?=1) и виде нелинейности (при ?=1).

Естественно, что представления о виде модели, определяемые A, могут измениться после анализа апостериорной информации, т. е. после наблюдения за поведением входа и выхода объекта.

4. Апостериорная информация

Если априорная информация A имеет качественный характер, то апостериорная-количественный, т. е. результат (протокол) наблюдений входа и выхода объекта. Этот протокол имеет вид: B=, где X - результаты всех измерений "входов объекта; Y - результаты этих измерений его выходов за тот же период наблюдений.

Для непрерывных объектов (A=???0) имеем записи непрерывных данных X=X(t), Y=Y(t) в интервале 0?t?T. Таким образом, получаем: B0=( ( 0 ? t ? T ).

Это означает, что поведение объекта зарегистрировано в виде n m различных кривых: x1(t), ..., xn(t), y1(t), ..., ym(t) в этом интервале.

Заметим, что X и X(t) в данном случае не тождественны, так как X представляет собой всю зависимость Х(t) в заданном интервале, a X(t) может выражать только конкретное значение этой зависимости в момент t. Аналогична не тождественность Y и Y (t).

В дискретном случае (A=???l) имеем X=(X1, .... XN), Y= (Y1, ..., YN) и протокол записывается в виде

B1=( (i=1, ..., N)), который представляет собой таблицу чисел из п т столбцов и N строк: B1=

Очевидна преемственность этих двух форм записи. Так, .протокол B1 может быть получен из B0 путем фиксации дискретных моментов времени t=0, ?, 2?, ..., (N-1) ?, где ? - интервал дискретности (?=T/N).

(Заметим, что обратный переход возможен далеко не всегда.)

Таким образом двойка (1) достаточно полно характеризует объект для целей его идентификации. Она и будет использоваться при изложении соответствующих идей, методов и подходов идентификации.

Контрольные вопросы

Общее представление объекта моделирования в виде многополюсника.

Априорная и апостериорная информация об объекте моделирования.

По каким признакам классифицируются объекты моделирования?

Литература

Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами, М.: Советское радио, 1980 г. - 232 стр.

Растригин Л.А., Маджаров Н.Е. Введение в идентификацию объектов управления, М.: Энергия, 1977 г. - 216 стр.

Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий, М.: Наука, 1976 г. -278 стр.

Лекция 5. ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ (2 часа)

План

1. Постановка задачи идентификации.

2. Трудности идентификации

1. Постановка задачи идентификации.

Задачей идентифик