Понятия максимума и минимума. Методы решения задач на нахождение наибольших и наименьших величин (без использования дифференцирования), применение их для решения геометрических задач. Использование замечательных неравенств. Элементарный метод решения.
«В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума» Леонард Эйлер (1707-1783) На уроках математике мы решали задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения величин, которые всегда решали с помощью нахождения производной. Цель работы: найти методы решения задач на нахождение наибольших и наименьших величин, не используя дифференцирование и применить их для решения геометрических задач. Задачи. 1. Среднее геометрическое положительных чисел x1, x2,..., xn - число, равное арифметическому корню n-й степени из их произведения Средним гармоническим действительных положительных чисел называют положительное число H=H( Средним квадратическим (квадратичным) действительных чисел называют действительное неотрицательное число Q=Q( Очень часто геометрические задачи на экстремумы можно решить, применив неравенство Огюстен Луи Коши(французский математик) (неравенство о среднем арифметическим и средним геометрическим 1821г): Теорема: Среднее арифметическое положительных чисел не меньше их среднего геометрического. обобщенная теорема или 1) 2) 3) 4) Доказательство: ; ; Обозначим y1= ,…, yn= , отсюда = ,… ; … =1 Применим метод математической индукции 1)Проверим верно ли неравенство при n=1 значит (утверждение верно) 2) Предположим, что для n=k утверждение верно 3) Докажем, что утверждение верно и для n=k 1 Докажем, что если ,… ; … =1,то ; Пусть Так как , то Если все числа одновременно не равны 1, то существуют два таких числа, для которых выполняется: Заменим произведение на сумму 0 0 Так как то верно q.e.d.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
