Локальные формации с метаабелевыми группами - Курсовая работа

Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп.Определение 1.1 Классом групп называют всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, изоморфные . Если группа (подгруппа) принадлежат классу , то она называется-группой (-подгруппой). Класс групп называется формацией, если выполняются следующие условия: 1) каждая фактор-группа любой группы из также принадлежит ; Если формации и таковы, что , то называется подформацией формации . Формациями являются: класс всех-групп, класс всех абелевых групп, класс всех нильпотентных групп, класс всех-групп ( - фиксированное простое число), класс всех нильпотентных-групп, класс всех разрешимых групп, класс всех разрешимых-групп.Результат операции , примененной к классу обозначается через Степень операции определяется так: Произведение операций определяется равенствами: Введем операции следующим образом: тогда и только тогда, когда вкладывается в качестве подгруппы в некоторую-группу; тогда и только тогда, когда имеет нормальные подгруппы такие, что тогда и только тогда, когда является расширением-группы с помощью-группы; Каргаполов и Мерзляков [1]), что подгруппа прямого произведения называется подпрямым произведением групп если проекция на совпадает с Легко видеть, что тогда и только тогда, когда есть подпрямое произведение некоторого конечного числа-групп. Класс называется замкнутым относительно операции или, более коротко, - замкнутым, если Формацию можно определить теперь как класс групп, который одновременно-замкнут и-замкнут. Класс групп называется замкнутым относительно подгрупп (нормальных подгрупп), если он-замкнут (соответственно-замкнут).Отображение класса всех групп в множество классов групп назовем экраном, если для любой группы выполняются следующие условия: 1) - формация; Из условия 2) вытекает, что экран принимает одинаковое значение на изоморфных группах, т.е. является групповой функцией в смысле определения 3.1. Кроме того, видно, что если - экран, то каждый f-центральный ряд после удаления повторений может быть уплотнен до f-центрального главного ряда, а значит, класс групп, обладающих f-центральными рядами, совподает с формацией . Тогда для любой группы множество формаций линейно упорядочено относительно включения, а следовательно, ввиду леммы 1.1 объединение является формацией. Экран назовем: 1) р-однородным, если он р-постоянен и для любой группы и ее силовской p - подгруппы имеет место ;Каждой групповой функции соответствует формация . Если - такой экран, что , то формация называется ступенчатой формацией, причем в этом случае будем говорить, что - экран формации , имеет экран , экран определяет формацию , определяется экраном . Формация имеет единичный экран. Экран назовем внутреним, если - внутреняя групповая функция, т.е. для любой неединичной группы . Каждая ступенчатая формация имеет по крайней мере один внутрений экран.(Шеметков) Всякая формация, имеющая по крайней мере один однородный экран, является локальной формацией. Пусть формация имеет однородный экран. Предположим, что формация обладает группами, не входящими в , и выберем среди всех таких групп группу , имеющую наименьший порядок.Неединичная формация, имеющая локальный экран, содержит некоторые неединичные примарные группы. Формация называется локальной, если она имеет хотя бы один локальный экран. Пусть - внутренний локальный экран формации , являющийся максимальным элементом множества всех внутренних локальных экранов формации . Тогда называется максимальным внутренним локальным экраном формации . Локальная формация имеет единственный максимальный внутренний локальный экран , причем удовлетворяет следующему условию: для любого простого числа p.Формация обладает локальным экраном таким, что для любого простого . Формация имеет пустой экран, который, очевидно, локален. Если --группа, то отсюда следует, что и-нильпотентна. В любой-группе подгруппа совпадает с пересечением централизаторов в всех главных-факторов группы . В любой группе подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением централизаторов в всех главных факторов группы .Формация-замкнута (-замкнута) тогда и только тогда, когда для любого простого формация-замкнута (соответственно-замкнута). Полагая и применяя теорему , мы получаем, что-замкнута (-замкнута) для любого простого . Пусть для любого простого формация является-замкнутой (-замкнутой). Класс групп назовем слабо-замкнутым, , если содержит всякую группу , имеющую нормальных-подгрупп с попарно взаимно простыми индексами. Формация-замкнута (слабо-замкнута, ) тогда и только тогда, когда для любого простого формация-замкнута (соответственно слабо-замкнута).В работе рассмотрели ситуацию: конечные разрешимые группы с нормальной максимальной подгруппой, принадлежащей локальной формации формации всех групп с нильпотентным коммутантом. Теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах,

Содержание

Введение

1 Формация. Произведение формаций

2 Операции на классах групп

3 Экраны

3.1 Экраны формации

3.2 Формация с однородным экраном

4 Локальная формация

5 Построение локальных формаций

6 Локальные формации с заданными свойствами

Заключение

Литература

Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп.

В курсовой работе рассматривается произведение формаций, операции на классах групп, приводящие к формациям. Рассматриваются локальные формации и экраны. Рассматриваются простейшие свойства локальной формации всех групп с нильпотентным компонентом.