Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением. Свойства логарифмической функции, методы решения уравнений и неравенств. Использование свойств логарифма. Решение показательных уравнений.
Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским ученым Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объеме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого-«соотнесенные числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввел в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением. ? x(x 3) = x 24, x > 0, ? x2 2x - 24 = 0, x > 0, ? x1 =-6, x2 = 4, x > 0, ? x = 4. b) Используя свойство P3 , получим следствие исходного уравнения откуда, используя определение логарифма, получим или x2 - 4x 1 = 1/2(x2 - 6x 5), откуда получаем уравнение x2 - 2x - 3 = 0 с решениями x1 =-1 и x = 3.Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать.
Введение
Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским ученым Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объеме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесенные числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввел в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввел Бригс.
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата - "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") - со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
Логарифмические уравнения и неравенства
1. Логарифмические уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида loga x = b. (1)
Утверждение 1. Если a > 0, a ? 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.
Пример 1. Решить уравнения: a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c)
Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1/3; c) или x = 1.
Приведем основные свойства логарифма.
Р1. Основное логарифмическое тождество:
где a > 0, a ? 1 и b > 0.
Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей: loga N1·N2 = loga N1 loga N2 (a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство P2 примет вид loga N1·N2 = loga |N1| loga |N2| (a > 0, a ? 1, N1·N2 > 0).
Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя
(a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если , (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3 примет вид
(a > 0, a ? 1, N1N2 > 0).
P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа: loga N k = k loga N (a > 0, a ? 1, N > 0).
Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то loga N 2s = 2s loga |N| (a > 0, a ? 1, N ? 0).
P5. Формула перехода к другому основанию: (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1, N > 0),
в частности, если N = b, получим
(a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1). (2)
Используя свойства P4 и P5 , легко получить следующие свойства
(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (3)
(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (4)
(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (5) и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место
(b > 0, a ? 0, |a| ? 1). (6)
Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x: 1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 loga x2).
4. loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ? 1).
5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1; ?), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x ? (0;1) и отрицательна при x (1; ?).
6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.
Следующие утверждения (см., например, []) используются при решении логарифмических уравнений.
Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a > 0, a ? 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще) f(x) = g(x), f(x) = g(x), f(x) > 0, g(x) > 0.
Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x) или loga [f(x)·g(x)] = b и loga f(x) loga g(x) = b вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).
Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.
2. Использование определения логарифма
Пример 1. Решить уравнения a) log2(5 3log2(x - 3)) = 3, c) log(x - 2)9 = 2, b) d) log2x 1(2x2 - 8x 15) = 2.
Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ? 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, logab = c, b = ac и, следовательно, 5 3log2(x - 3) = 23 или 3log2(x - 3) = 8 - 5, log2(x - 3) = 1.
Опять используя определение, получим x - 3 = 21, x = 5.
Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения: log2(5 3log2(5 - 3)) = log2(5 3log22) = log2(5 3) = log28 = 3.
Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения. b) Аналогично примеру a) , получим уравнение откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения. c) Аналогично примеру a) , получим уравнение
(x - 2)2 = 9.
Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x2 - 4x - 5 = 0 с решениями x1 = -1 и x2 = 5. После проверки остается лишь x = 5. d) Используя определение логарифма, получим уравнение
(2x2 - 8x 15) = (2x 1)2 или, после элементарных преобразований, x2 6x-7 = 0, откуда x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.
3. Использование свойств логарифма
Пример 3. Решить уравнения a) log3x log3(x 3) = log3(x 24), b) log4(x2 - 4x 1) - log4(x2 - 6x 5) = -1/2 c) log2x log3x = 1
Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x ? (0; ?) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения) x > 0, x 3 > 0, x 24 > 0.
Используя свойство P2 и утверждение 1, получим log3x log3(x 3) = log3(x 24) ? log3x(x 3) = log3(x 24), x > 0, ?
? x(x 3) = x 24, x > 0, ? x2 2x - 24 = 0, x > 0, ? x1 = -6, x2 = 4, x > 0, ? x = 4.
b) Используя свойство P3 , получим следствие исходного уравнения откуда, используя определение логарифма, получим или x2 - 4x 1 = 1/2(x2 - 6x 5), откуда получаем уравнение x2 - 2x - 3 = 0 с решениями x1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1. c) ОДЗ уравнения: x ? (0; ?). Используя свойство P5 , получим уравнение log2x(1 log32) = 1, откуда или или log2x = log63. Следовательно,
Логарифмические неравенства
Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.
Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств f(x) > g(x), g(x) > 0.
Утверждение 2. Если 0 loga g(x) равносильно системе неравенств f(x) < g(x), f(x) > 0.
Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ? , соответственно преобразуются.
Пример 1. Решить неравенства a) log3(x2 - x) ? log3(x 8);
b) c)
Решение. a) Используя утверждение 1 , получим log3(x2 - x) ? log3(x 8) x2 - x ? x 8, x2 - 2x - 8 ? 0, x 8 > 0, x > -8,
x ? -2, x ? 4, x (-8;-2] [4; ?). x > -8, b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2 , получим c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1 , получим
Запишем и, используя утверждение 2 , получим
Показательные уравнения и неравенства
1. Показательные уравнения
Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени при постоянных основаниях.
Простейшим показательным уравнением является уравнение вида
Это уравнение равносильно алгебраическому уравнению
Пример 1. Решить уравнение
.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2: .
Перейдем теперь к равносильному алгебраическому уравнению:
Если после введения новой переменной показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y, используя решение простейшего показательного уравнения.
2. Показательные неравенства
Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
При решении показательных неравенств используются следующие утверждения: A.1. Если a > 1, неравенство a f(x) > a g(x) равносильно неравенству f(x) > g(x).
Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) < g(x).
A.2. Если 0 < a < 1, неравенство a f(x) > a g(x) равносильно неравенству f(x) < g(x).
Замечание.. Если знак неравенства () нестрогий, дополнительно рассматривается и случай h(x) = 1, x ? D(f); D(g), где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).
A.4. Если b ? 0, неравенство af(x) < b не имеет решений (следует из свойств показательной функции).
A.5. Если b ? 0, множеством решений неравенства af(x) > b является x D(f).
A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство af(x) > b равносильно неравенству f(x) > logab.
Аналогично, a f(x) < b ; f(x) < logab.
A.7. Если 0 0, неравенство a f(x) > b равносильно неравенству f(x) < logab.
Аналогично, a f(x) logab.
Упражнение 1. Решить неравенства: a) b) (0.3)|2x-3| < (0.3)|3x 4|, c)
Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1 , получаем равносильное неравенство которое решается методом интервалов, b) Так как 0 , получаем равносильное неравенство
|2x-3| > |3x 4|, которое решается, используя свойства модуля (|a| > |b| ? (a-b)(a b) > 0): |2x-3| > |3x 4| ((2x-3)-(3x 4)) ((2x-3) (3x 4)) > 0 (-x-7)(5x 1) > 0
Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x (-7;-1/5). c) Используя утверждение A.3 , получим
4x2 2x 1 > 1, x2-x > 0, 4x2 2x 1 0, x2-x 0, x 1, x < 0, x (-12;0), x R, x (0;1).
x (- ; -12) (1; ), x x (- ;- 12) (1; ).
Вывод
Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни - редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.
Список литературы
1. Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975
2. Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004
3. М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. - Аванта , 1998.
4. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». - М.: Наука, 1980
5. Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». - М.: Наука, 1970
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
