Виключення третього як фундаментальний принцип логіки, істинність і хибність як логічні значення пропозиції. Таблиці істинності, поняття тавтології і еквівалентності. Властивості функцій множин і запереченням гіпотези Гольдбаха в термінах квантифікаторів.
Пропозиція це вислів (твердження), який може бути істинним або хибним - третього не дано. Істинність і хибність називаються логічними значеннями пропозиції. Будемо розрізняти елементарні пропозиції і складні. Логіка займається знаходженням логічних значень складних пропозицій при умові, що логічні значення складових елементарних пропозицій відомі.Спочатку зясуємо правила зєднання висловів для одержання нових висловів. (Конюнкція) Говорять, що вислів p?q (p і q) істинний, якщо обидва вислови p, q істинні і хибний в противному випадку. Говорять, що вислів p ? q (p або q) хибний, якщо хоча б один з висловів p, q істинний, і хибний в противному випадку. Говорять, що вислів p > q (якщо p, то q) істинний, якщо p хибний, або q істинний, або обидва істинні і хибний в противному випадку. Простіше визначити вислів p > q як хибний у випадку, коли p істинний, а q хибний.Якщо вжити Т "true" для позначення істинного вислову і F "false" для хибного, вище наведені означення можуть бути представлені у вигляді таблиці істинності "truth table":
Приклад 1 Побудуємо таблицю істинності для більш складної логічної конструкціїВажко привести приклад елементарної пропозиції, яку б можна було назвати тавтологією. Як правило це поняття характерне для складних пропозицій і означає, які б не були логічні значення складових пропозицій, складна пропозиція завжди буде істинною, якщо вона є тавтологією. Якщо трохи подумати, то прийдемо до висновку, що три складові мають 23 = 8 інтерпретацій і взагалі, n складових мають 2n інтерпретацій. Використовуючи цей термін можна перефразувати означення 1.1 як : тавтологія - це пропозиція істинна при всіх інтерпретаціях її складових. Вислів (p «q) «((p?q)?(p ? q)) є тавтологія; про що свідчить наступна таблиця істинності: Пропонуємо студентам довести, що наступні вислови є тавтології.В багатьох випадках ми вживаємо вислови типу "x є парне число", що містять одну або декілька змінних. Ми будемо називати їх функціями висловлювань або пропозицій. Виникають наступні питання: Які значення x допустимі? Нехай Р є множина і х є елемент цієї множини. Елементи множини можна задати двома способами: · Перечисленням, наприклад {1, 2, 3} означає множину, що складається з чисел 1, 2, 3 і нічого більше;Припустимо, що функції висловів p(x), q(x) відносяться до множин P, Q, тобто P = {x : p(x)} і Q = {x : q(x)}. Визначимо наступні операції над множинами перетин P ? Q = {x : p(x) ? q(x)}; Множина P є підмножиною Q і позначається P ? Q або Q ? P, якщо кожен елемент P є елементом Q. Іншими словами, для множин P = {x : p(x)} і Q = {x : q(x)} маємо P ? Q тоді і тільки тоді, коли p(x) > q(x) для всіх допустимих значень x ? U. Наступні властивості функцій множин можуть бути легко доведені на основі їх аналогів в логіці.Повернемось до прикладу "x є парне число". Звідси слідує, що вислів "деякі x ? Z парні" істинний, якщо вислів "всі x ? Z непарні" хибний. В загальному випадку розглянемо функцію вислів p(x) в якій змінна x належить певній множині. Введемо наступні позначення для висловів Можна здогадатися, що запереченням вислову ?x, p(x) буде вислів ?x, p(x).
План
Зміст
Вступ
1. Логічні операції над пропозиціями
2. Таблиця істинності
3. Тавтологія і логічна еквівалентність
4. Функції висловлювань і множини
5.Функції множин
6. Логіка квантифікаторів
Література
Список литературы
1. Вища математика: Основні означення, приклади і задачі. У 2-х кн. / За ред. І.П.Васильченко. _ К: Либідь, 1994.- 280 ст.
