Лист (лента) Мёбиуса как топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. История возникновения ленты Мёбиуса, её свойства, применение в геометрии и в повседневной жизни.
Изучить историю возникновения листа Мебиуса, обычно называемого лентой Мебиуса, ее свойства. Таинственный и знаменитый лист Мебиуса придумал в 1858 году немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета Август Фердинанд Мебиус (1790-1868 гг.), ученик «короля математиков» Гаусса. В научных источниках говорится, что Мебиус взял однажды бумажную ленту, повернул один ее конец на пол-оборота (то есть на 180о), а потом склеил его с другим концом. Работу, включающую сведения о ленте, Мебиус отправил в Парижскую академию наук в 1858 году. Если разрезать ленту Мебиуса, отступая от края приблизительно на треть ее ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами (такую ленту называют афганской).В реферате была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мебиуса. Чудесные свойства листа Мебиуса привели к новым открытиям и изобретениям (иногда очень полезным, а иногда и совершенно бесполезным). В реферате я попытался описать свойства этой поверхности, показать ее значимость на практике, доказать, что лента Мебиуса - топологическая фигура. Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах. Если у ременной передачи ремень сделать в виде ленты Мебиуса, то его поверхность будет изнашиваться в два раза медленнее, чем у обычного кольца.
План
План
Введение
Историческая справка
Топология, как часть геометрии
Лента Мебиуса, ее свойства
Применение ленты Мебиуса в геометрии
Заключение
Список использованной литературы
Введение
В своем реферате я постараюсь решить следующие задачи: 1. Изучить историю возникновения листа Мебиуса, обычно называемого лентой Мебиуса, ее свойства.
2. Проведу разнообразные эксперименты с лентой Мебиуса.
3. Покажу геометрическое применение ленты Мебиуса.
4. Выясню, нашла ли лента Мебиуса практическое применение в повседневной жизни.
Задача изучения различных свойств и нестандартных применений в наше время является довольно актуальной. Существует гипотеза, что наша Вселенная замкнута в эту самую ленту. Согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория согласуется с предположением, что космический корабль, все время летающий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. Из этого можно сделать вывод о реальности теории зеркальных миров - ведь если астронавты совершат путешествие по ленте Мебиуса и вернутся в исходную точку, то они превратятся в своих зеркальных двойников.
Кроме того, есть гипотеза, что спираль ДНК тоже является сама по себе фрагментом ленты Мебиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Такой подход к структуре ДНК вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики. Они также утверждают, что на свойствах ленты Мебиуса основаны все оптические законы. В частности, отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.
В процессе работы над рефератом я использовал «Математические чудеса и тайны» М. Гарднера (стр. 43-48), «Курс наглядной геометрии» Е.С. Смирновой, 6 класс (стр. 63-67), «Современный словарь иностранных слов» (стр. 146, 468, 579, 612), «Наглядную геометрию» И.Ф. Шарыгина и Л.Н. Еранжиевой, 5-6 класс (стр. 69-72), «Энциклопедию для детей. Математика» (стр. 111-112), ресурсы Интернета.
1. Историческая справка
Таинственный и знаменитый лист Мебиуса придумал в 1858 году немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета Август Фердинанд Мебиус (1790-1868 гг.), ученик «короля математиков» Гаусса.
Мебиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мебиус стал одним из крупнейших геометров XIX века.
В возрасте 68 лет ему удалось сделать поразительное открытие. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист или лента Мебиуса. В научных источниках говорится, что Мебиус взял однажды бумажную ленту, повернул один ее конец на пол-оборота (то есть на 180о), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли научного интереса ради - теперь уже неизвестно. По одной из версий, открыть ленту Мебиуса помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты банта. Относится она к числу так называемых «математических неожиданностей». Работу, включающую сведения о ленте, Мебиус отправил в Парижскую академию наук в 1858 году. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.
2. Топология, как часть геометрии
Геометрия - как известно, слово греческое, в переводе на русский язык означает землемерие, изучает свойства фигур. Как и любая наука, геометрия делится на разделы: 1. Планиметрия (от латинского планум - поверхность, плоскость) - раздел геометрии, изучающий свойства плоских фигур (треугольник, квадрат, круг, окружность и т.д.).
2. Стереометрия (от греческого стереос - пространство) - раздел геометрии, изучающий свойства пространственных (объемных) фигур (шар, куб, параллелепипед и т.д.).
3. Топология (от греческого топос - место, местность) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Родоначальниками топологии были немецкий ученый Георг Кантор (1845 - 1918 гг.), Павел Сергеевич Александров (1896 - 1982 гг.).
С точки зрения топологии баранка и кружка одно и тоже. Сжимая и растягивая кусок резины можно перейти от одной из этих фигур к другой. А вот баранка и шар - уже будут разными объектами: чтобы сделать отверстие, надо разорвать баранку.
Среди букв русского алфавита есть топологически одинаковые фигуры
А-Д, Г-С, С-П, 3-Э, Т-У.
Лента Мебиуса - тоже топологический объект. Это - простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трехмерном евклидовом пространстве R?. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.
3. Лента Мебиуса, ее свойства
Как сделать ленту Мебиуса?
Возьмем прямоугольную бумажную полоску, перекрутим на пол-оборота один ее конец и приклеим его к другому концу той же полоски. Эту модель и называют: «лента Мебиуса». Обладает она интересными свойствами. Для того, чтобы узнать о них, мною проведены несколько экспериментов, в которых постарался ответить на вопросы: 1. Если начать закрашивать ленту Мебиуса с одной стороны, не переходя через край, то какая часть ленты окажется закрашенной?
2. Что получится, если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине?
3. Что получится, если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив треть от края?
4. Что получится, если перекрутить ленту дважды, а потом разрезать вдоль посередине?
И вот что у меня получилось: 1. У ленты Мебиуса всего одна сторона. Убедимся в этом: возьмем кисть и краску, начнем постепенно окрашивать ленту в какой-нибудь цвет, начиная с любого места. После окончания лента у нас полностью окрашена. В книге «Что такое математика?» Рихард Курант и Герберт Роббинс писали: «Если кто-нибудь вздумает раскрасить «только одну» строну поверхности мебиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее в ведро с краской».
2. Попробуем разрезать обычную цилиндрическую поверхность и лист Мебиуса по средней линии
«Обычное» (цилиндрическое) кольцо распалось на два куска, а лента Мебиуса превратится в одно перекрученное кольцо, причем оно перекручено дважды и вдвое длиннее, но уже. Еще удивительнее то, что полученное кольцо уже двустороннее.
3. Если разрезать ленту Мебиуса, отступая от края приблизительно на треть ее ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами (такую ленту называют афганской).
4. При повороте на 360 градусов получим двустороннюю поверхность. Для закрашивания ее непременно нужно перевернуть на другую сторону. При разрезании вдоль посередине получим два кольца, сцепленных между собой.
Интересны были и другие эксперименты с этим удивительным геометрическим явлением.
Приготовим лист Мебиуса из достаточно широкой полоски и разрежем его так, чтобы линия разреза все время шла вдвое ближе к левому краю полоски, чем к правому (линия разреза обойдет лист Мебиуса дважды).
Получаем два кольца: одно - лист Мебиуса, другое - перекрученное на 360 градусов.
Вновь возьмем бумажную полоску; один ее конец перекрутим на полный оборот (на 360 градусов), приклеим к другому концу и разрежем получившуюся модель по средней линии. Получаем два одинаковых, сцепленных кольца, каждое из которых повернуто на 360 градусов.
Попробуем проделать в полоске щель и проденем сквозь нее один конец полоски. Склеим как на рисунке и разрежем.
Получили две отдельных ленты Мебиуса.
А теперь попробуем склеить обычное кольцо и ленту Мебиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии.
Каков результат? Получилась квадратная рамка!
Можно говорить о следующих свойствах ленты Мебиуса: • Односторонность - топологическое свойство ленты Мебиуса, характерное только для нее.
• Непрерывность - с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность. На листе Мебиуса любая точка может быть соединена с другой точкой. Разрывов нет - непрерывность полная.
• Связность - чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. Что касается листа Мебиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот - двусвязен и т.д.
• Ориентированность - свойство, отсутствующее у листа Мебиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мебиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился бы в свое зеркальное отражение.
Таким образом, лента Мебиуса - простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.
Ленту Мебиуса иногда называют прародителем символа бесконечности ?, так как находясь на поверхности ленты Мебиуса, можно было бы идти по ней вечно. Правда, это не соответствует действительности, ведь символ ? использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мебиуса.
Другое похожее множество - вещественная проективная плоскость. Если проколоть отверстие в вещественной проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мебиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мебиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость. Чтобы визуализировать это, полезно деформировать ленту Мебиуса так, чтобы ее граница стала обычным кругом. Такую фигуру называют «пересеченная крышка». Пересеченная крышка может также означать ту же фигуру с приклеенным диском, то есть погружение проективной плоскости в трехмерное пространство R3.. Применение ленты Мебиуса в геометрии
Полоска для создания ленты Мебиуса должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Скажем, из квадратного листа ленты Мебиуса не сделаешь.
Это верно, но с одной оговоркой, которую легко недооценить: ограничения на размер имеют значение лишь в том случае, когда бумагу запрещается «мять». Если же мять бумагу не запрещается, то ленту Мебиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров - склеиваемые стороны могут быть во сколько угодно раз длиннее несклеиваемых. Сделать это можно так (рис. 1-3). Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его четное число раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мебиуса, вставляя соответствующие части гармошки друг в друга. На рисунке видно, что лист бумаги, из которого склеена лента Мебиуса, оказался смятым.
Допустим, что бумажную полоску можно изгибать, но не мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из нее ленту Мебиуса. Таким образом, существует такое число ?, что из полоски длины больше ? ленту Мебиуса склеить можно, а из полоски длины меньше ? - нельзя, Что будет для полоски, длина которой в точности равна ?, нас не интересует. Очень хотелось бы найти это ?.
Удивительно, но решение этой задачи до сих пор не известно.
Развертывающаяся поверхность
Легко понять, что запрещение мять бумагу значительно ограничивает возможность манипулировать бумажным листом. Например, лист бумаги, не помяв, можно свернуть в трубку или сложить «без складки» пополам, но нельзя сложить вчетверо. Из листа бумаги, не смяв его, можно сделать конус («фунтик»), но нельзя сделать сферу или даже ее кусочек: попробуйте прижать лист бумаги к глобусу, и обязательно появятся складки. Как видно, листу бумаги можно придать далеко не всякую форму. Поверхности, которые можно сделать из листа бумаги, изгибая, но не сминая его, математики называют развертывающимися. Примеры развертывающихся поверхностей показаны на рис. 4. Конечно, в математике развертывающиеся поверхности определяются не так: в математическом языке отсутствуют слова «бумага», «сминать», «сделать».
топологический неориентируемый трехмерный мебиус
Раз требование не мять бумагу так важно, посмотрим, каков его математический смысл.
Через каждую точку A развертывающейся поверхности, не лежащую на ее границе, проходит лежащий на поверхности отрезок, не кончающийся в A. Иначе говоря, в каждой точке к развертывающейся поверхности (изогнутому, но не смятому листу бумаги) можно приложить спицу так, чтобы она прилегала к поверхности на некотором протяжении по обе стороны от взятой точки. Такой отрезок называется образующей поверхностью. Условимся, что это название относится только к отрезкам максимальной длины, целиком лежащим на поверхности, то есть, к отрезкам, не содержащимся в бoльших отрезках с этим свойством.
Если через точку А, не лежащую на границе поверхности, проходят две различные образующие, причем А не является концом ни одной из них, то достаточно маленький кусок поверхности, окружающий А, является плоским. В таком случае точку А мы будем называть плоской.
Если точка А, не лежащая на границе поверхности, является концом какой-нибудь образующей, скажем а, то окрестность точки А устроена так. Через точку А проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, скажем, в (рис. 5). Эта образующая разделяет поверхность на две части. С той стороны от образующей в, с которой находится образующая а, к образующей в прилегает плоский кусок, с другой стороны от в, сколь угодно близко от точки А, имеются не плоские точки. Точку А в этой ситуации мы будем называть полуплоской.
Подчеркнем, что если точка поверхности не является ни граничной, ни плоской, то через нее проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, причем концы этой образующей лежат на границе поверхности.
Примеры
Лист бумаги, свернутый в трубочку или в фунтик, плоских и полуплоских точек не имеет. У трубочки образующие составляют семейство параллельных отрезков, у фунтика - семейство отрезков, веером расходящихся из одной точки. Возможны более сложные расположения образующих. Например, образующие и плоские точки развертывающейся поверхности, изображенной на рисунке 6а, показаны на рисунке 6б (на нем поверхность развернута в плоский лист бумаги): тонкие синие линии - образующие, а закрашенные области состоят из плоских точек.
Точки, лежащие на границе области плоских точек, являются либо граничными для всей поверхности, либо полуплоскими. Если поверхность сделана из бумажного многоугольника (скажем, из прямоугольника), то плоские точки составляют один или несколько плоских многоугольников, причем у каждого из этих многоугольников вершины лежат на границе поверхности, а стороны либо лежат на границе, либо состоят из полуплоских точек (см. еще раз рисунок 6б).
Но вернемся к вычислению ? - нижней грани длин бумажных полосок ширины 1, из которых можно склеить несмятую ленту Мебиуса.
Теорема 1: ? ? ?/2
Доказательство. Пусть лента Мебиуса сделана из бумажной полоски длины l. Намотаем на нее длинную бумажную ленту. Эта лента (толщиной бумаги пренебрегаем) будет составлена из прямоугольников одинаковой длины, каждый из которых принимает форму нашей ленты Мебиуса. Отметим на длинной ленте прямолинейные образующие и плоские точки (как на рисунке 6б). Получится что-то вроде рисунка 7.
Картина периодична: все повторяется с периодом, равным 2. Можно сказать больше: при сдвиге влево или вправо на l картинка меняется, но строго определенным образом - она переворачивается (т.е. зеркально отражается в средней линии полоски). Области плоских точек представляют собой четырехугольники (которые могут выродиться в треугольники), ограниченные двумя отрезками противоположных краев ленты и двумя отрезками, проходящими по ленте. Части ленты, не попавшие в эти области, вымощены образующими, концы которых лежат на краях ленты. Все это следует из свойств развертывающихся поверхностей. Плоские участки также можно вымостить образующими, так что вся лента будет покрыта непрерывным семейством образующих (рис. 8). Образующие в одинаковых четырехугольниках можно выбирать одинаковым образом, так что описанная выше периодичность сохранится.
Возьмем любую образующую из нашего семейства, скажем, [АВ]. Если симметрично отразить ее в средней линии полоски и затем перенести в любую сторону (скажем, вправо) на l, то получится отрезок CD, который тоже является образующей из нашего семейства (рис. 9). Заметим (это важно), что |АС| |BD| = 2 l. При наматывании нашей длинной ленты на ленту Мебиуса образующие [АВ] и [CD] займут одинаковое положение. Причем точка А совместится с D, а точка В - с С; другими словами, отрезки АВ и CD составят в пространстве угол в 180°. Между [АВ] и [CD] располагается непрерывное семейство образующих. При движении от [АВ] к [CD] величина угла, который эти образующие составляют в пространстве с [АВ], непрерывно изменяется от 0° до 180°.
Возьмем любое n и найдем между [АВ] и [CD] такие образующие [А1В1],….,[An-1Bn-1], что величина угла между [АВ] и [AKBK] равна к.180°/n. Точки А1, …, An-1 в этом порядке лежат между А и С, а точки В1, …, Bn-1 - между В и D (см. рис. 10). Длина каждой из образующих больше или равна 1, а величина угла между пространственными положениями двух соседних образующих не меньше 180°/n.
Покажем, что каждая из сумм [АА1] [ВВ1], [А1А2] [В1В2], [An-1С] [Bn-LD] не меньше длины а2n стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Это видно на рисунке 11. На этом рисунке отрезки АКЕ и Ак 1Вк 1 равны по длине, параллельны и направлены в одну сторону, [AKF] = [АКН] = 1 и [FG] || [ЕВК] (рис. 11 сделан в предположении, что [Ак 1Вк 1] [AKBK], очевидны). Мы видим, что [AKAK l] [BKBK l] = [EBK l] [BKBK l] ? [EBK] ? [FG] ? [FH] ? a2n (здесь |[AKAK l], [BKBK l], [EBK l] - длины изображенных на рисунке 11 криволинейных отрезков; эти длины совпадают с длинами отрезков [AKAK l], [BKBK l] рисунка 10. Предпоследнее неравенство следует из того, что DFHG > 90°, а последнее - из того, что DFAKH ? 180°/n).
Итак, 21 = [АС] [BD] = ([АА1] [ВВ1]) ([А1А2] [В1В2]) ... ([An-1С] [Bn-LD]) ? na2n, т.е. 2l при любом n не меньше половины периметра правильного 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Значит,2l не меньше половины длины самой этой окружности, то есть ?, и l ? ?/2. Теорема доказана.
Теорема 2: ? ? v3
Для ее доказательства достаточно объяснить, как склеить ленту Мебиуса из полоски, длина которой больше v3. Предположим сначала, что ее длина в точности равна v3. Тогда на этой полоске можно расположить два правильных треугольника (рис. 12). Перегнем полоску по боковым сторонам этих треугольников, чередуя направления сгиба (рис. 13). Края АВ и CD полоски совместятся, причем точка А совместится с точкой D, а точка В - с точкой С. Получится лента Мебиуса.
При этом построении было нарушено главное правило - не мять бумагу. Но легко понять, что если длина полоски хоть немного больше v3, то излом по образующей можно заменить изгибанием, производимым на узком участке (рис. 14).
Короче говоря, излом вдоль прямолинейного отрезка нам не страшен: его можно заменить близким к нему изгибанием. Непоправимое сминание бумаги происходит, когда две линии перегиба пересекаются, т.е. когда лист складывается наподобие носового платка. Как выглядит получившаяся лента Мебиуса, показано на рисунке 15.
Ее устройство можно представить себе так: три одинаковых правильных треугольника ABC, А"В"С", А"В"С" лежат параллельно друг другу, соответствующие вершины над соответствующими вершинами; стороны АВ и А"В", В"С" и В"С", С"А" и СА соединены перемычками. Линия склейки проходит по медиане одного из треугольников.
Теорема 3. Ленту Мебиуса с самопересечениями можно склеить из полоски любой длины, большей ?/2.
Делается это так. Возьмем достаточно большое нечетное n и построим правильный n-угольник, вписанный в окружность диаметра 1.
Далее рассмотрим n содержащих центр окружности треугольников, каждый из которых ограничен стороной и двумя диагоналями n-угольника (рис. 16; здесь n=7). Эти треугольники покрывают наш n-угольник, некоторые его места - по нескольку раз. Приложим теперь эти n треугольников друг к другу так, как показано на рисунке 17. После этого отрежем по длинной медиане половину самого левого треугольника и приложим ее к самому правому треугольнику. Получится прямоугольная полоска с отношением длины к ширине, большим ?/2, и стремящимся к ?/2 при n, стремящимся к ? (ширина полоски стремится к 1, а длина - к ?/2).
Если последовательно перегнуть эту полоску по всем проведенным на ней линиям, чередуя направления сгиба (рис. 18), то треугольники расположатся как на рисунке 16. Отрезки АВ и CD при этом почти совместятся - между ними окажется только несколько слоев сложенной бумаги. При этом точка А совместится с D, а точка В - с С, так что если бы мы смогли «пропустить ленту сквозь себя» и склеить отрезки АВ с CD, то получилась бы лента Мебиуса. Если ленту взять чуть более длинной, можно избежать складок, подобно тому как мы это сделали в доказательстве теоремы 2. Что получится, изображено на рисунке 19.
Вывод
В реферате была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мебиуса. Изучались свойства ленты на наглядных примерах. Также, в реферате доказаны некоторые теоремы. Они могут быть полезны для тех, кто начинает изучать топологию.
Лента Мебиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл ученый. Чудесные свойства листа Мебиуса привели к новым открытиям и изобретениям (иногда очень полезным, а иногда и совершенно бесполезным). В реферате я попытался описать свойства этой поверхности, показать ее значимость на практике, доказать, что лента Мебиуса - топологическая фигура.
Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных скульптур, картин и графики. Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах. Многие физические явления используют для объяснения лист Мебиуса. Ученые генетики рассматривают код ДНК в качестве модели ленты Мебиуса. Лист Мебиуса применяется для усовершенствования технических приборов. Загадочная лента Мебиуса применяется для показа фокусов в цирке.
Если у ременной передачи ремень сделать в виде ленты Мебиуса, то его поверхность будет изнашиваться в два раза медленнее, чем у обычного кольца. Почему? В работе ремня принимает участие вся поверхность, а не только внутренняя ее часть, как у обычной ременной передачи. Поэтому в виде ленты Мебиуса хорошо делать конвейерные ленты.
В ХХ веке были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты «с двух сторон», не меняя их местами. Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мебиуса для увеличения ее ресурса.
Лист Мебиуса был эмблемой известной серии научно-популярных книг «Библиотечка «Квант»». Он также постоянно встречается в научной фантастике. Кольцо Мебиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина. В рассказе «Лист Мебиуса» Дейча бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мебиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мебиус» режиссера Густаво Москера. Также идея ленты Мебиуса используется в рассказе Клифтона «На ленте Мебиуса».
Список литературы
М. Гарднер «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978 г., стр. 43-48.