Изучение кручения стержней, имеющих в сечении правильный многоугольник (призматический, тонкостенный с открытым профилем), круг и эллипс (круглый вал переменного диаметра, эллиптический). Практическое решение задач Вебера, Сен-Венана и Лейбензона.
В первой главе излагается прямой, обратный и полуобратный методы, применяемые при решении задач о кручении стержня прямоугольного сечения. Вторая глава посвящена изучению кручения стержней в сечении имеющих форму круга или эллипса.При пользовании обратным методом выясняют, каким граничным условиям соответствуют некоторые функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям. Например, в рассматриваемой ниже задаче о кручении призматического стержня мы будем задаваться определенными функциями для перемещений и, v, w, сводя, таким образом, основные уравнения к одному дифференциальному уравнению. Но при таких допущениях мы можем найти решение задачи о кручении стержней только постоянного сечения; решения же для стержней, не являющихся призматическими, получить этим путем нельзя. Предположим, что один конец стержня призматического сечения, длины L, закреплен в плоскости ху, а на другой конец действует пара, вектор-момент который направлен вдоль оси z (рис. Угол поворота любого поперечного сечения зависит от расстояния, на котором находится это сечение от закрепленного конца.Пользуемся полученными ранее уравнениями: для всей прямоугольной области рис.7 На контурных линиях AB и CD, где x= a, будет l= 1 и m=0 , а на линиях BC и AD имеем l=0 и m= 1 . Условие на контуре (7) можно переписать в следующем виде: (31) Легко показать, что для новой функции основное уравнение по всей прямоугольной области будет иметь вид: ; (33) условия на контуре будут следующими: при (34) при (35) Очевидно, если решение для нельзя выразить в форме ряда (36), то мы не сможем найти решение для функции Xn и Yn , удовлетворяющее граничным условиям. Или Так как левая часть полученного уравнения является функцией только от x, а правая зависит только от y, то уравнение может быть удовлетворено лишь в том случае, если обе его части равны постоянной величине; обозначим ее через () (постоянную берем со знаком минус, так как иначе граничные условия не будут удовлетворяться).Она основана на математической аналогии между задачами о кручении и о деформации упругой натянутой мембраны, подверженной равномерному поперечному давлению. рис.9 Пусть тонкая однородная мембрана (рис.9) имеет постоянное натяжение и закреплена по контуру, который ограничивается кривой, лежащей в плоскости xy. Если мембрана подвергается равномерному поперечному давлению p, то точки ее срединной поверхности получат перемещения z, зависящие от x и y. Отметим, что уравнение (51) можно получить непосредственно, продифференцировав уравнение (49) и затем, исключив из них функцию . Сравнивая эти уравнения с уравнениями для мембраны, мы видим, что между ними имеется полная аналогия, если отношение положить равным 2, и если форма контура мембраны совпадает с формой поперечного сечения стержня.Из мембранной аналогии заключаем, что влияние коротких сторон прямоугольника распространяется на небольшие участки. Если отношение b/a велико, то в формуле (43) величину можно приближенно считать равной 1; второй член в скобках становится пренебрежимо мал. Обозначим через b1 длину, а через t - толщину прямоугольника (рис.12,а); тогда эти формулы примут вид: t. В предыдущем параграфе было показано, что напряжение равно произведению отношения T/J на максимальный уклон изогнутой мембраны. Из формул (55) и (56) следует, что в случае узкого прямоугольного сечения наибольший уклон изогнутой мембраны равен 2a или t. рис.12Было показано, что для решения задачи о кручении надо найти функцию депланации , которая удовлетворяет дифференциальному уравнению Из аналитической геометрии известно, что уравнение (18) отвечает окружности с центром в начале координат. Таким образом, выбор функции в виде дает нам решение задачи о кручении стержня круглого сечения. Результирующее касательное напряжение в некоторой точке P(x,y) равно (21) где r - радиус-вектор точки относительно центра окружности, наклоненный к оси x под углом , причем Следовательно, результирующее касательное напряжение в некоторой точке направлено по касательной к окружности, проходящей через эту точку. Условие на контуре (7), после подстановки в него функции (22), принимает вид: Или После интегрирования получим уравнение где x,y - координаты любой точки контура.Из уравнения (5) имеем: Вычислим интеграл вдоль внутреннего контура: Так как w является однозначной функцией, и интегрирование производится по замкнутому контуру, то первый интеграл обращается в нуль. Поэтому имеем: (60) где A2 - площадь, ограниченная контуром S2. Если мембрану внутри контура S2 заменить невесомой плоской пластинкой (рис.13), то уравнение равновесия пластинки будет иметь вид: (61) где F - натяжение мембраны, z - прогиб. На рис.13 точки В, В1 и С, С1 соответствует уровням внешнего и внутреннего контуров, а линии ВС и В’С’ представляют поперечное сечение мембраны, натянутая между двумя контурами. Если через h обозначить постоянное значение функции на контуре S2, то из мембранной аналогии следует, что h равносильно разности уровней обоих контуров.Рассмотрим кручение круглого вала пере
План
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Кручение стержней имеющих в сечении правильный многоугольник
