Понятие квадратичной формы и способы ее записи. Действительные и недействительные, вырожденные и невырожденные формы, ранг матрицы. Знакоопределенность квадратичных форм, определение ее миноров. Критерии положительной и отрицательной определенностей.
Квадратичной формой j (х1, х2, …, xn) n действительных переменных х1, х2, …, xn называется сумма вида Квадратичная форма называется действительной, если aij I ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица то есть АТ = А. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А.Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если j(х) > 0, для любого х = (х1, х2, …, xn), кроме х = (0, 0, …, 0). Матрица А положительно определенной квадратичной формы j(х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот. Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если j(х) <0, для любого х = (х1, х2, …, xn), кроме х = (0, 0, …, 0). Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квадратичной формы также называется отрицательно определенной.Для того чтобы квадратичная форма j (х) = ХТАХ была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть: М1 > 0, M2 > 0, …, Mn > 0. Для того чтобы квадратичная форма j (х) = ХТАХ была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного - отрицательны, то есть: М1 0, М3 0. При каких значениях а и в квадратичная форма будет положительно определенной? j (х1, х2, x3) = Построим матрицу А и найдем ее главные миноры.
План
Содержание
1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи
2. Знакоопределенность квадратичных форм
3. Критерии положительной и отрицательной определенностей
Литература
1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи
Список литературы
1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.- Мн.: Тетрасистемс, 1998.
2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.- Мн.: ЧИУИП, 2006.- 67 с.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
