Кривые линии в начертательной геометрии - Реферат

Термин «кривая» в начертательной геометрии рассматривается как траектория, описанная движущейся точкой, как проекция другой кривой, как линия пересечения двух поверхностей и т.д. Кривая называется плоской, если все ее точки принадлежат некоторой плоскости, в противном случае она называется пространственной. Соприкасающейся окружностью или кругом кривизны в данной точке называется предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две другие бесконечно близкие к ней точки. Множество центров кривизны кривой является кривая линия-ее называют эволютой данной кривой, а кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой. Для построения касательной, проведенной из точки вне кривой (в соответствии с рисунком 7), проведем из точки А пучок секущих, пересекающих данную кривую мв точках 1,2,3,4… .Через середины полученных хорд проводим кривую ошибок ?, которая пересекаясь с данной кривойм, определяет точку касания К.

Содержание

Введение

Кривые линии

Общие сведения о кривых

Особые точки кривых

Секущая, касательная, нормаль к кривой

Определение длины отрезка кривой

Плоские кривые линии

Пространственные кривые линии

Заключение

Список использованных источников

Линии занимают особое положение в начертательной геометрии. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удается решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путем часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата.

Линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм.

Общие сведения о кривых

Кривая линия - это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в начертательной геометрии рассматривается как траектория, описанная движущейся точкой, как проекция другой кривой, как линия пересечения двух поверхностей и т.д.

Кривая называется плоской, если все ее точки принадлежат некоторой плоскости, в противном случае она называется пространственной. Примером плоской кривой может служить окружность, так как все ее точки размещаются в одной плоскости. Пример пространственной кривой - винтовая линия (в соответствии с рисунком 1).

К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, парабола, гипербола. Это все плоские кривые. Если кривая 2-го порядка пересекается с прямой линией или плоскостью, то она не может давать более 2-х точек пересечения. Это ее отличительный признак, выраженный на языке начертательной геометрии. Кривая линия моделируется на плоскость проекций парой кривых.

Рисунок 1 - Виды кривой линии

Проверить плоская это кривая или пространственная можно с помощью 3-х точек А, В, С. Проекции точек должны лежать на проекциях кривой и располагаться на одной линии связи, или необходимо соединить попарно двумя прямыми линиями 4 произвольные точки этой кривой (в соответствии с рисунком 2). Если эти прямые окажутся пересекающимися, то заданная на комплексном чертеже кривая - плоская, если скрещивающимися - пространственная. К пространственным кривым относятся все кривые, полученные при пересечении кривых поверхностей.

Кривые линии подразделяются на алгебраические, которые можно задать алгебраическими уравнениями (окружность, эллипс, парабола, гипербола др.) и трансцендентные, уравнение которых имеет вид трансцендентных функций (синусоида, спираль Архимеда и др.).

Важно уметь у алгебраических кривых определить порядок кривой - степень ее уравнения. Порядок плоской кривой геометрически определяется как максимально возможное число точек пересечения кривой с прямой линией, порядок алгебраической пространственной кривой - как максимальное число точек пересечения кривой с плоскостью. Например, прямая линия может пересекаться с эллипсом не более чем в 2-х точках. Отсюда эллипс - кривая второго порядка и его уравнение второй степени.

Рисунок 2 - Комплексный чертеж проверки вида кривой линии

Кривая линия как траектория движущейся точки должна быть непрерывной. Движущаяся точка в любом положении должна иметь определенное направление движения. Это направление указывает прямая (касательная), проходящая через рассматриваемую точку.

Длина отрезка кривой линии определяется в общем случае, как сумма длин отрезков вписанной в нее ломаной линии, с заданной точностью передающей форму кривой.

Особые точки кривых

Точки кривых разделяются на обыкновенные (в соответствии с рисунком 3-а) и особые (в соответствии с рисунком 3-б, в, г, д, е). На рисунке 3-б точка N- точка перегиба, на рисунке 3-в точка Р - точка возврата первого рода, на рисунке 3-г ТОЧКАQ- точка возврата 2-города, на рисунке 3-д точка R- узловая точка, на рисунке 3-е точка Т - точка излома.

Для характеристики точек плоской кривой необходимо наличие одной проекции кривой, а, чтобы судить о характере точек пространственной кривой, необходимо наличие двух проекций этой кривой. [1]

Рисунок 3- Виды точек кривых.

Кривизна прямой в любой ее точке равна нулю.

Кривизна произвольной кривой линии в различных точках различна, в отдельных точках она может быть равна нулю. Такие точки называются точками спрямления.

Кривизна в каждой из точек плоской кривой а определяется с помощью соприкасающейся в этой точке окружности ( в соответствии с рисунком 4).

Соприкасающейся окружностью или кругом кривизны в данной точке называется предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две другие бесконечно близкие к ней точки.

Центр соприкасающейся окружности называется центром кривизны кривой в данной точке, а радиус такой окружности - радиусом кривизны кривой линии в данной точке.

Множество центров кривизны кривой является кривая линия- ее называют эволютой данной кривой, а кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.

Рисунок 4- кривизна кривой

Секущая, касательная, нормаль к кривой

Прямая, пересекающая кривую линию в одной, двух и более точках, называется секущей (прямая m).

Нормалью к кривой l называется прямая n, перпендикулярная к t и проходящая через точку касания А.

Касательной к кривой линии называется прямая, представляющая собой предельное положение секущей, прямая t. (в соответствии с рисунком

Рисунок 5 - Изображение секущей, нормали и касательной к кривой линии.

Различают несколько типов касательных к кривой: - параллельная заданному направлению(в соответствии с рисунком 6-а)

- из заданной точки, не принадлежащей этой кривой (в соответствии с рисунком 6-б)

- в точке кривой (в соответствии с рисунком 6-в) а) б) в)

Рисунок 6 - Виды касательной

Для построения касательной, проведенной из точки вне кривой (в соответствии с рисунком 7), проведем из точки А пучок секущих, пересекающих данную кривую мв точках 1,2,3,4… .Через середины полученных хорд проводим кривую ошибок ?, которая пересекаясь с данной кривойм, определяет точку касания К. Через данную точку касания К и данную точку А проводим искомую касательную.

Чтобы построить касательную через точку К, взятую на кривой m, необходимо провести вспомогательную прямую ? расположенную приблизительно перпендикулярно к будущей касательной (в соответствии с рисунком 8). Затем через точку касания К проводим пучок секущих, пересекающих вспомогательную прямую ? в точках 1,2,3,4…. От этих точек откладываем соответствующие хорды. Через полученные на секущих точки: 1’, 2’, 3’… проводим кривую ошибок ?’, которая пересекаясь со вспомогательной кривой ?, определяет вторую точку А, искомой касательной.

Рисунок 7 - построение касательной все кривой линии

Рисунок 8 - Построение касательной через точку, взятую на кривой

Определение длины отрезка кривой

Определение длины отрезка кривой находят приближенно. Для этого кривую линию заменяем на ломаную, вписанную в эту кривую с последующим определением натуральной величины каждого звена ломаной линии, тогда длина отрезка кривой линии определяется приближенно и равна сумме натуральных величин звеньев этой ломаной линии. Все отрезки звеньев ломаной линии размещаем параллельно П2и на П2определяем натуральную величину отрезка кривой линии (в соответствии с рисунком 9). [2]

Рисунок 9-Опредение натуральной величины отрезка кривой линии

Плоские кривые линии

1. Парабола - кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках (рис.7.2). При этом парабола может быть определена как: u множество точек М(xy) плоскости, расстояние FM которых до определенной точки F этой плоскости (фокуса параболы) равно расстоянию MN до определенной прямой AN - директрисы параболы;

u линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельная какой либо касательной плоскости этого конуса;

u в прямоугольной системе координат 0ху с началом в вершине параболы и осью 0хнаправленной по оси параболы уравнение параболы имеет так называемый канонический вид y2=2px,где р (фокальный параметр) - расстояние от фокуса до директрисы.

Рисунок 10- Парабола

Гипербола

O множество точек М плоскости (в соответствии с рисунком 11) разность (по абсолютной величине) РАССТОЯНИЙF1M и F2M которых до двух определенных точек F1 и F2 этой плоскости (фокусов гиперболы) постоянна:F1M - F2M=2а<2с

O Середина 0 отрезка F1F2 (фокусного расстояния) называется центром гиперболы;

O линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающая обе его полости;

O в прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре гиперболы, на оси 0х которой лежат фокусы гиперболы уравнение гиперболы имеет так называемый канонический х2/а2 - у2/в2=1, в2=с2 - а2, где а и в длинны полуосей гиперболы.

Рисунок 11- Гипербола

Эллипс

O множество точек М плоскости (в соответствии с рисунком 12), сумма расстояний MF1 и MF2 которых до двух определенных точек F1 и F2 (фокусов эллипса) постоянна MF1 MF2=2а. Середина 0 отрезка F1F2 (фокусного расстояния)называется центром эллипса;

O линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все прямолинейные образующие одной полости этого конуса;

O в прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре эллипса, на оси 0х которой лежат фокусы эллипса уравнение эллипса имеет следующий вид х2/а2 у2/в2=1, где а и в - длинны большой и малой полуосей эллипса. При а=в фокусы F1 и F2 совпадают и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса.

Рисунок 12 - Эллипс

Рассмотренные плоские кривые линии, получаемые при пересечении поверхности прямого кругового конуса плоскостями, различно расположенными по отношению к оси конуса, называют кривыми конических сечений.

Синусоида

- трансцендентная плоская кривая линия (в соответствии с рисунком 13), получающаяся в результате двойного равномерного движения точки - поступательного и возвратно-поступательного в направлении, перпендикулярном первому.

Синусоида - график функции у=sin x, непрерывная кривая линия с периодом Т=2п.

Рисунок 13 - Синусоида

В практике конструирования линий и поверхностей широко используются обводы. Это кривые, составленные из дуг различных кривых, определенных парами смежных точек. Обводом ряда точек плоскости является плоская кривая, пространства - пространственная. Точки стыка дуг называются узлами. Обвод заданный координатами своих точек называется дискретным. Обвод называется гладким, если дуги обвода в узлах имеют общие касательные. [3]

Пространственные кривые линии

Из пространственных кривых линий широко применяются в технике винтовые линии, которые являются направляющими поверхностей резьб, червяков, шнеков, пружин, сверл, разверток и т.д.

Цилиндрическая винтовая линия представляет собой пространственную кривую, описываемую точкой, совершающей равномерно-поступательное движение по образующей цилиндра вращения, которая в свою очередь вращается вокруг оси цилиндра с постоянной угловой скоростью (В соответствии с рисунком 14). Величина Р, на которую поднимается точка за один оборот образующей, называется шагом винтовой линии.

Рисунок 14 -Цилиндрическая винтовая линия

Горизонтальная проекция винтовой линии является окружностью, а фронтальная - синусоидой. На развертке цилиндрической поверхности винтовая линия изобразится в виде прямой.

Угол ? называется углом подъема винтовой линии. Этот угол равен углу наклона касательной t в пюбой точке винтовой линии к плоскости, перпендикулярной ее оси. Цилиндрическая винтовая пиния, подобно прямой и окружности, обладает свойством сдвигаемости.

Свойство сдвигаемости состоит в том, что каждый отрезок линии может сдвигаться вдоль нее, не подвергаясь деформации. Это свойство винтовой линии лежит в основе работы винтовых пар (винт-гайка). Винтовая линия является геодезической на цилиндрической поверхности.

Геодезической называется линия, принадлежащая поверхности и кратчайшая из всех линий, которые можно провести между двумя точками поверхности. Кроме цилиндрической винтовой линии, геодезическими линиями также являются прямая на плоскости, окружность большого круга на сфере и др. Геодезическая линия изображается на развертке поверхности в виде прямой линии.

Конической винтовой линией - называется пространственная кривая, полученная равномерным движением точки по образующей конуса, которая равномерно вращается вокруг его оси. Для построения конической винтовой линии необходимо окружность основания конуса и шаг винтовой линии разделить на 12 частей, затем через точки деления основания провести соответствующие образующие конуса. Положение движущейся точки на каждой образующей конуса находим, исходя из того, что ее движение вдоль образующей пропорционально угловому перемещению этой образующей вокруг оси конуса (в соответствии с рисунком15-б). Горизонтальная проекция конической винтовой линии - спираль Архимеда, фронтальная проекция - синусоида с затухающей амплитудой. Развертка конической винтовой линии является тоже спиралью Архимеда (в соответствии с рисунком 15-б). [4]

Рисунок 15 - Коническая винтовая линия

линия кривой плоский алгебраический

1)

2)

3)

4)

Размещено на .ru