Крайові задачі для нерівномірно параболічних та еліптичних рівнянь з виродженнями і особливостями - Автореферат

встановлення коректної розвязності задачі Діріхле, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі для еліптичних рівнянь другого порядку, які мають степеневі особливості довільного порядку на деякій множині усередині області, або на межі області; встановлення коректної розвязності задачі Діріхле та задачі з косою похідною для еліптичних рівнянь другого порядку, які мають довільні степеневі особливості на деякій множині усередині області, або вироджуються за довільними змінними на межі області; Уперше знайдено умови існування, єдиності та зображення розвязків першої крайової задачі, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі із нелокальною умовою за часовою змінною для параболічних рівнянь другого порядку із степеневими особливостями в коефіцієнтах рівняння за часовою змінною у фіксований момент часу та довільними просторовими змінними на деякій множині усередині області, або на бічній межі області. Вперше виділено класи коректної розвязності задачі Діріхле, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі для еліптичних рівнянь другого порядку із довільними степеневими особливостями за будь-якими змінними на деякій множині усередині області, або на межі області. У другому розділі вивчаються перша крайова задача, задача з косою похідною, одностороння крайова задача з нелокальними умовами за часовою змінною для параболічного рівняння 2-го порядку з довільними степеневими особливостями у коефіцієнтах рівняння за часовою змінною та окремими просторовими змінними.У дисертації вперше отримано такі результати: 1) для параболічних рівнянь другого порядку зі степеневими особливостями довільного порядку за часовою змінною у фіксований момент часу та за будь-якими просторовими змінними на деякій множині точок усередині області і нелокальною умовою за часовою змінною встановлено: - умови існування, єдиності та інтегрального зображення розвязків першої крайової задачі, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі; 2) для параболічних рівнянь другого порядку, коефіцієнти яких вироджуються довільним степеневим порядком за будь-якими просторовими змінними на бічній межі області та часовою змінною у фіксований момент часу, встановлено коректну розвязність першої крайової задачі, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі із нелокальною умовою за часовою змінною; 3) для еліптичних рівнянь другого порядку із довільними степеневими особливостями за будь-якими змінними на межі області, або на деякій множині усередині області встановлено коректну розвязність задачі Діріхле, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі; 4) доведено коректну розвязність задачі Коші та крайової задачі для параболічних рівнянь порядку 2b (b > 1) зі степеневими особливостями довільного порядку за часовою змінною у фіксований момент часу та будь-якими просторовими змінними у фіксованій точці області; 7) встановлено коректну розвязність загальної параболічної задачі з нелокальною умовою за часовою змінною та доведено критерій існування оптимального розвязку системи, що описується відповідною нелокальною крайовою задачею з фінальним обмеженим керуванням та інтегральними критеріями якості.

Дисертація присвячена побудові класів коректної розвязності основних крайових задач для параболічних та еліптичних рівнянь з особливостями і виродженнями.

У дисертації вперше отримано такі результати: 1) для параболічних рівнянь другого порядку зі степеневими особливостями довільного порядку за часовою змінною у фіксований момент часу та за будь-якими просторовими змінними на деякій множині точок усередині області і нелокальною умовою за часовою змінною встановлено: - умови існування, єдиності та інтегрального зображення розвязків першої крайової задачі, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі;

- необхідні та достатні умови існування оптимального розвязку системи, що описується першою крайовою задачею з внутрішнім обмеженим керуванням і інтегральним критерієм якості;

- критерій оптимальності розвязку системи, що описується нелокальною задачею з косою похідною з фінальним обмеженим керуванням і критерієм якості, заданим сумою поверхневих та обємних інтегралів;

- існування, єдиність та інтегральне зображення розвязків нелокальної задачі Коші;

2) для параболічних рівнянь другого порядку, коефіцієнти яких вироджуються довільним степеневим порядком за будь-якими просторовими змінними на бічній межі області та часовою змінною у фіксований момент часу, встановлено коректну розвязність першої крайової задачі, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі із нелокальною умовою за часовою змінною;

3) для еліптичних рівнянь другого порядку із довільними степеневими особливостями за будь-якими змінними на межі області, або на деякій множині усередині області встановлено коректну розвязність задачі Діріхле, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі;

4) доведено коректну розвязність задачі Коші та крайової задачі для параболічних рівнянь порядку 2b (b > 1) зі степеневими особливостями довільного порядку за часовою змінною у фіксований момент часу та будь-якими просторовими змінними у фіксованій точці області;

5) знайдено класи коректної розвязності загальної параболічної крайової задачі з виродженням за окремими просторовими змінними на бічній межі області та часовою змінною у фіксований момент часу як у коефіцієнтах рівняння, так і в коефіцієнтах крайових умов;

6) досліджено задачі оптимального керування системами, що описуються загальними рівномірно параболічними крайовими задачами у випадку внутрішнього та крайового обмеженого керування з інтегральними критеріями якості;

7) встановлено коректну розвязність загальної параболічної задачі з нелокальною умовою за часовою змінною та доведено критерій існування оптимального розвязку системи, що описується відповідною нелокальною крайовою задачею з фінальним обмеженим керуванням та інтегральними критеріями якості.

Отримані в дисертації результати є не лише поширенням відомих результатів на широкий клас параболічних та еліптичних рівнянь, але й істотно доповнюють останні. Вони є цілком новими для параболічних та еліптичних рівнянь.

Для обґрунтування результатів дисертаційної роботи модифіковані методи, які розроблені при дослідженні крайових задач для параболічних та еліптичних рівнянь з гладкими коефіцієнтами, апріорні оцінки та метод штрафу.

Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть застосовуватися при подальших дослідженнях коректної розвязності та властивостей розвязків крайових задач для еліптичних та параболічних рівнянь, в теорії диференціальних рівнянь та диференціальних нерівностей з частинними похідними, математичній фізиці, варіаційному численні і задачах оптимального керування.

Основні результати дисертації опубліковані у працях

1. Пукальский И.Д., Матийчук М.И. О применениях функций Грина параболических краевых задач к задачам оптимального управления // Укр. мат. журн. - 1985. - Т. 37, N 6. - С. 738 - 744.

2. Пукальский И.Д., Матийчук М.И. Оптимальное управление решениями нелокальной граничной задачи для параболических уравнений // Нелинейные граничные задачи. - 1992. - Вып. 4. - С. 82 - 88.

3. Пукальський І.Д. Нелокальна задача оптимального керування для параболічних рівнянь // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. Науч. Тр. НАН Украины: Ин-т математики. - 1995. - С. 221 - 224.

4. Пукальський І.Д. Застосування функції Гріна до задач оптимізації обємних та поверхневих інтегралів // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач. Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики НАН України. - 1996. - Вип. 12. - С. 169 - 174.

5. Пукальський І.Д. Багатоточкова задача для параболічного рівняння з виродженням // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач. Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики НАН України. - 1997. - Вип. 16. - С. 246 - 255.

6. Пукальський І.Д. Багатоточкова задача з косою похідною для параболічного рівняння з виродженням // Крайові задачі для диференціальних рівнянь. Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики НАН України. - 1998. - Вип. 2. - С. 231 - 240.

7. Пукальский И.Д. О функции Грина нелокальной краевой задачи с вырождениями // Дифф. уравнения. - 1998. - Т. 34, N 6. С. 838 - 840.

8. Пукальський І.Д. Нелокальна задача Неймана для параболічних рівнянь з виродженням // Укр. мат. журн. - 1999. - Т. 51, N 9. - С. 1232 - 1244.

9. Пукальський І.Д. Нелокальна задача Коші для параболічних рівнянь з виродженням // Вісник Національного ун-ту “Львівська політехніка”. Прикладна матем. - 2000. - N 411. - С. 275 - 280.

10. Пукальський І.Д. Функція Гріна параболічної крайової задачі і задача оптимізації // Укр. мат. журн. - 2000. - Т. 52, N 4. - С. 567 - 571.

11. Пукальский И.Д. Задача с косой производной для неравномерно параболического уравнения // Дифф. уравнения. - 2001. - Т. 37, N 12. - С. 1637 - 1645.

12. Пукальський І.Д. Одностороння нелокальна крайова задача для сингулярних параболічних рівнянь // Укр. мат. журн. - 2001. - Т. 53, N 11. - С. 1521 - 1531.

13. Пукальський І.Д. Функція Гріна нелокальної крайової задачі та задача оптимального керування // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2001. - Т. 44, N 1. - С. 26 - 33.

14. Пукальський І.Д. Задача Діріхле для сингулярних еліптичних рівнянь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2002. - Т. 45, N 2. - С. 42 - 48.

15. Пукальский И.Д. Нелокальные краевые задачи для неравномерно параболических уравнений // Дифф. уравнения. - 2003. - Т. 39, N 6. - С. 777 - 787.

16. Пукальський І.Д. Задача Коші для нерівномірно параболічних рівнянь з виродженням // Укр. мат. журн. - 2003. - Т. 55, N 11. - С. 1520 - 1531.

17. Пукальський І.Д. Загальна крайова задача для сингулярних параболічних рівнянь // Матем. студії. - 2003. - Т. 20, N 1 - С. 61 - 74.

18. Пукальський І.Д. Загальна крайова задача для параболічних рівнянь з виродженням // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2004. - Т. 47, N 1. - С. 17 - 24.

19. Пукальський І.Д. Задача Коші для параболічних рівнянь з степеневими виродженнями // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2004. - Т. 47, N 4. - С. 144 - 148.

20. Пукальський І.Д. Задача з косою похідною для сингулярних еліптичних рівнянь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2004. - Т. 47, N 2. - С. 116 - 123.

21. Пукальський І.Д. Одностороння крайова задача для сингулярних еліптичних рівнянь // Нелинейные граничные задачи. - 2004. Вып. 14. - С. 152 - 160.

22. Пукальський І.Д. Задача Коші для сингулярних параболічних рівнянь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2005. - Т. 48, N 1. - С. 36 - 41.

23. Пукальський І.Д. Задача Діріхле та задача оптимального керування для лінійних параболічних рівнянь з виродженням // Матем. студії. - 2005. - Т. 23, N 2. - С. 179 - 190.

24. Пукальський І.Д. Задача з косою похідною та задача оптимального керування для лінійних параболічних рівнянь з виродженням // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2005. - Т. 48, N 3. - С. 24 - 35.

25. Пукальский И.Д. Краевая задача для линейных параболических уравнений с вырождениями // Укр. мат. журн. - 2005. - Т. 57, N 3. - С. 377 - 387.