Крайові періодичні задачі для гіперболічних рівнянь другого порядку - Автореферат

При дослідженні крайових періодичних задач як для звичайних диференціальних рівнянь, так і рівнянь з частинними похідними, завжди виникають такі дві проблеми: відшукання методу знаходження розвязку крайової періодичної задачі та встановлення умов існування розвязку. Що ж стосується рівнянь з частинними похідними, особливо як лінійних, так і нелінійних рівнянь гіперболічного типу, то слід зазначити, що існують методи, за допомогою яких доводять лише існування розвязків крайових періодичних задач. Слід зазначити, що результати, отримані математиками, які використовували різні методи відшукання розвязків крайових періодичних задач для гіперболічних рівнянь, не повязані між собою. З вищесказаного випливає, що розвязність крайових періодичних задач вимагає встановлення нових умов розвязності та проведення порівняння даних результатів. 2) на підставі даних умов вперше сформульовано основну теорему про розвязність крайової періодичної задачі у випадку - ірраціональне число ( - період);У вступі висвітлено стан наукової проблеми, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та завдання дослідження, наведено основні результати, визначено їх новизну та практичне значення, охарактеризовано звязок роботи з науковими програмами, планами, темами, вказано кількість публікацій автора за темою дисертації, зазначено особистий внесок автора в роботах , опублікованих разом із співавторами, приведені дані про апробацію результатів дослідження, наведено список основних позначень, зокрема: - простір функцій двох змінних x і t, неперервних і обмежених на . У першому розділі проведено огляд літератури, присвяченої дослідженню крайових періодичних задач для гіперболічних рівнянь, викладено основні відомі результати, повязані з напрямом дослідження. У другому розділі встановлено умови існування класичних розвязків крайової періодичної задачі для лінійного неоднорідного гіперболічного рівняння другого порядку. Зауважимо, що дослідження умов розвязності крайової періодичної задачі при у попередніх пунктах проводилося на основі використання частинного розвязку , тобто на підставі формули. Дослідження, проведені у другому розділі, дають змогу зробити висновок, що крайова періодична задача для лінійного гіперболічного рівняння може бути розвязана різними операторними методами залежно від класу функцій і періоду.У роботі встановлено умови існування періодичних розвязків, що задовольняють крайові умови для лінійного неоднорідного гіперболічного рівняння другого порядку. Показано, що у випадку ірраціональності періоду завжди існує єдиний формальний розвязок. Митропольського та його учнів, а також у випадку існує новий клас функцій, для якого розвязок має вигляд, що не відповідне методам відшукання розвязку лише у вигляді (тобто раніше встановленим результатам Б. Показано, що крайова періодична задача для лінійного гіперболічного рівняння другого порядку може бути розвязана різними операторними методами залежно від класу функцій g (x, t) і періоду. Доведено існування узагальнених (неперервних) розвязків крайової періодичної задачі і встановлено, за яких умов узагальнено неперервні розвязки можуть бути класичними.

Основний зміст роботи

У роботі встановлено умови існування періодичних розвязків, що задовольняють крайові умови для лінійного неоднорідного гіперболічного рівняння другого порядку. Показано, що у випадку ірраціональності періоду завжди існує єдиний формальний розвязок.

У дисертації обґрунтовано, що з умов існування розвязку випливають раніше встановлені, але не доведені в літературі результати Ю. Митропольського та його учнів, а також у випадку існує новий клас функцій, для якого розвязок має вигляд, що не відповідне методам відшукання розвязку лише у вигляді (тобто раніше встановленим результатам Б. Пташника та П. Рабиновича).

Показано, що крайова періодична задача для лінійного гіперболічного рівняння другого порядку може бути розвязана різними операторними методами залежно від класу функцій g (x, t) і періоду. Доведено, що крайова періодична задача може мати і нескінченну множину розвязків, що є передумовою встановлення єдиності розвязку цієї задачі.

Доведено існування узагальнених (неперервних) розвязків крайової періодичної задачі і встановлено, за яких умов узагальнено неперервні розвязки можуть бути класичними.

У випадку на підставі умов розвязності (8) підтверджено результат П. Рабиновича, який сформульовано у вигляді теореми 2.6.

Наведено дослідження розвязків крайової періодичної задачі для лінійного неоднорідного рівняння. Вказаний метод побудови розвязку лінійної задачі дає змогу досліджувати умови існування неперервних розвязків багатьох нелінійних крайових періодичних задач для гіперболічних рівнянь.

Вказано на практичне застосування результатів (умов розвязності) для дослідження загальної крайової періодичної задачі для лінійного неоднорідного гіперболічного рівняння другого порядку.

Наведено новий запис заміни змінних, що дозволяє використовувати отримані результати для дослідження загальних крайових періодичних задач.

Сформульовано основну теорему, а також доведено існування гладких розвязків квазілінійної крайової періодичної задачі.