Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, термодинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Однако постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет специфические черты.В задаче линейной теплопроводности стержень предполагается настолько тонким, что в каждый момент времени температура всех точек данного поперечного сечения стержня будет одной и той же. Количество тепла, протекающее через поперечное сечение стержня за момент времени ?t (тепловой поток), пропорционально площади сечения, скорости изменения температуры в направлении, перпендикулярном к сечению, и промежутку времени ?t, т.е. равно (1.1.1) где S - площадь поперечного сечения, k - коэффициент теплопроводности.Пусть температура в каждой точке (х, у, z) тела в момент времени t определяется функцией и (х, у, z, t). Нам же сейчас придется рассматривать нестационарное поле, поскольку мы предполагаем, что температура точек тела изменяется со временем. В точках изотермической поверхности градиент направлен по нормали к этой поверхности в сторону увеличения значений и и модуль градиента равен производной по этому направлению: |grad u| = Для нормали, совпадающей с направлением градиента, тепло же переходит от более нагретых участков к менее нагретым, т.е. как раз в противоположную сторону, и, следовательно. по определению, ?Q 0 и опять-таки знак "минус" сохраняется. теплопроводность нагретое тело уравнение Тогда ?Q есть поток вектора А через элементарную площадку ?? за время ?t: Если теперь выделить в теле некоторую часть, ограниченную замкнутой поверхностью - S, то поток тепла изнутри через эту замкнутую поверхность за время ?t будет равен произведению потока вектораВ этих задачах изучают эволюцию температурного поля в ограниченном теле, занимающем некоторую область пространства , если в момент времени t = 0 задано начальное распределение температуры в теле, а температуру граничной поверхности тела ? при t ? 0 поддерживают постоянной.Математическая модель процесса остывания тела из однородного материала, основанная на уравнении теплопроводности при , может быть записана в виде следующей краевой задачи для нахождения температурного поля u (М, t) в остывающем теле: (2.2.1) Задачу (2.2.1-2.2.3) можно решать методом Фурье (разделения переменных), представляя частное решение уравнения (2.2.1), удовлетворяющее граничному условию (2.2.3), в виде произведения u (М, t) =v (M) T (t). Отсюда находим уравнение для функции T (t) Для функции v (M) из уравнения (2.2.5) с учетом однородного граничного условия (2.2.3) получим задачу на собственные значения Задача (2.2.7) имеет дискретный набор (спектр) собственных значений и собственных функций .Рассмотрим задачу об остывании однородного шара радиуса R, имеющего некоторую начальную температуру, зависящую только от расстояния r точки от центра шара, если на его поверхности поддерживается температура равная нулю. Согласно методу разделения переменных задача на собственные значения (2.2.7) имеет вид Полагая w = rv, приходим к следующей задаче: Собственные значения и собственные функции краевой задачи, как известно, даются формулами: Таким образом, далее, удовлетворяя начальному условию, находим согласно (2.2.10) Собственные функции этой задачи будем искать методом разделения переменных, представляя эти функции в виде произведения: v (x,y,z) =X (x) Y (y) Z (z). Подставляя (2.3.3) в уравнение (2.3.1), получаем откуда с учетом граничных условий приходим к трем задачам Штурма - Лиувилля на собственные значения: Эти задачи имеют следующие нетривиальные решения: В итоге для задачи (2.3.1), (2.3.2) находим собственные значения и соответствующие им собственные функцииВ рамках данного курсового проекта была рассмотрена постановка краевых задач остывания нагретых тел, в частности, остывание однородного шара, прямоугольного параллелепипеда и цилиндра.
План
Содержание
Введение
1. Уравнение теплопроводности
1.1 Физический смысл уравнения теплопроводности
1.2 Вывод уравнения теплопроводности
2. Краевые задачи остывания нагретых тел
2.1 Постановка задачи
2.2 Схема метода разделения переменных Фурье
2.3 Примеры решения задач
Заключение
Список используемой литературы
Введение
Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, термодинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.
Метод исследования, характеризующий эту отрасль науки, является математическим по своему существу. Однако постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет специфические черты.
При выводе дифференциальных уравнений с частными производными из общих законов, которым подчинены изучаемые явления природы, естественно возникают дополнительные условия, налагаемые на искомые решения. Важно заметить, что условия задач, которым должны удовлетворять искомые решения, существенно зависят от типа рассматриваемого уравнения.
В настоящей курсовой работе исследуется уравнение теплопроводности, которое относится к параболическому типу, и с помощью которого математически описывается процесс остывания нагретых тел. Рассматриваются такие задачи, как остывание однородного шара, прямоугольного параллелепипеда и цилиндра. В работе приводится также вывод уравнения теплопроводности в пространственном случае и метод разделения переменных Фурье, применительно к уравнению теплопроводности.
Вывод
В рамках данного курсового проекта была рассмотрена постановка краевых задач остывания нагретых тел, в частности, остывание однородного шара, прямоугольного параллелепипеда и цилиндра.
В данной работе исследован метод разделения переменных Фурье для уравнения теплопроводности. Как видно из рассмотренных примеров, основная трудность при решении задач об остывании нагретых тел состоит в нахождении собственных функций и собственных значений для данной области. Отметим, что форма решения, полученная методом разделения переменных, удобна для исследования достаточно развитой стадии процесса при больших t.
Список литературы
1. Араманович И.Г. Уравнения математической физики. /И.Г. Араманович, В.И. Левин - М.: Наука, 1969. - 288 с.
2. Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики. / В.А. Байков, А.В. Жибер - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003 - 252 с.
3. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. / Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002 - 368 с.
4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский - М.: Наука, 1972. - 736 с.
Размещено на
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
