Вивчення рівняння з однією невідомою довільного степеня та способів знаходження коренів таких рівнянь. Доведення основної теореми алгебри. Огляд способу Ньютона встановлення меж дійсних коренів алгебраїчних рівнянь. Відокремлення коренів методом Штурма.
Аннотация к работе
Безліч математиків доклали багато зусиль, щоб знайти формули для розвязання рівнянь високих степенів. Формули для розвязання рівнянь третього і четвертого степеня були знайдені в 16 столітті. Центральним в алгебрі многочленів виявляється питання не про практичний пошук коренів многочлена, а питання про їх існування. А чи не знайдеться таке рівняння пятого чи більш високого степеня, яке не має жодного кореня навіть серед комплексних чисел, і чи не доведеться для пошуку коренів даних рівнянь переходити від комплексних чисел до більш широкого запасу чисел? Відповідь на це питання дає важлива теорема (основна теорема алгебри), яка стверджує, що будь-яке рівняння з будь-якими числовими коефіцієнтами, не лише з дійсними, але і з комплексними, має хоча б один комплексний корінь.Розглянемо основні поняття, що стосуються даної теми. Многочленом від однієї змінної над областю цілісністю називається вираз , де - довільне ціле невідємне число, - елементи області цілісності, а (або ), - деякі символи; називається-м степенем змінної (або невідомого ), а --м коефіцієнтом многочлена або коефіцієнтом при (=0,1,…, ). Відмінний від нуля член многочлена, степінь якого більший за степінь усіх інших відмінних від нуля членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнти - старшим коефіцієнтом, а його степінь - степенем многочлена. Коренем многочлена називається елемент будь-якого розширення поля такий, що . Розглянемо питання про існування коренів многочлена з геометричного погляду.Саме це твердження і означає, що необмежено зростає, коли точка z необмежено віддаляється від початку координат, бо яким би великим не було число M, перевищуватиме M , як тільки віддаль точки z від початку координат буде більша відповідного N. Коли , задовольняючи нерівність (3), задовольняють і нерівність (6), тобто коли (8) то на підставі (5) і (7) можна записати : (9) Через те що нерівність (9) справедлива для тих , що задовольняють умову (8), а нерівність (11) - для тих, що задовольняють умову (10), то потрібна нам нерівність справджуватиметься для всіх , які задовольняють обидві ці умови, тобто для яких , де З нерівностей, встановлених при доведенні цієї теореми, можна безпосередньо дістати такий важливий наслідок : многочлен може мати лише такі корені, модуль яких менший від числа Зрозуміло, що в цій рівності ряд перших коефіцієнтів може дорівнювати нулю : Проте серед усіх коефіцієнтів повинен бути хоча б один коефіцієнт Справді, коли б усі коефіцієнти дорівнювали нулю, то це означало б, що , і для будь-якого за формулою (13) ми мали б , тобто многочлен є числом (многочленом нульового степеня), що суперечить умові теореми.З теореми 3 зразу дістаємо ряд важливих наслідків. Нехай - многочлен степеня За основною теоремою алгебри існує хоча б один корінь цього многочлена. ділиться на , тобто Через те що степінь більший за 1, то є многочлен ненульового степеня. Для того щоб многочлен був незвідним у полі комплексних чисел, необхідно і достатньо, щоб його степінь дорівнював одиниці. Кожний многочлен-го степенем над полем комплексних чисел єдиним способом розкладається на лінійні множники в цьому полі Многочлен-го степеня має в полі комплексних чисел точно коренів.Рівняння з дійсними коефіцієнтами є поширеним і дуже важливим для практичних застосувань окремим випадком алгебраїчних рівнянь з комплексними коефіцієнтами. Оскільки дійсні числа утворюють підполе поля K комплексних чисел, всі результати цього параграфа, зокрема теореми про існування комплексних коренів та їх число, залишаються справедливими і для многочленів з дійсними коефіцієнтами, тобто будь-який многочлен n-го степеня з дійсними коефіцієнтами має точно n комплексних коренів. Але в багатьох випадках особливий інтерес становлять саме дійсні корені рівнянь з дійсними коефіцієнтами. Ми знаємо, що рівняння з дійсними коефіцієнтами може взагалі не мати жодного дійсного кореня (наприклад, рівняння ). Проте виявляється, що основна теорема дозволяє зробити ряд висновків і щодо коренів рівнянь з дійсними коефіцієнтами.Теореми попереднього параграфа розвязують ряд принципіальних питань щодо існування і числа коренів алгебраїчних рівнянь. Але, щоб знайти корені рівняння з достатнім степенем точності, треба знати, як ці корені розміщені на комплексній площині або на дійсній осі. Зауважимо, що іноді навіть немає потреби знаходити числові значення коренів, а досить зясувати їх розміщення на площині. Ми обмежимось розглядом питань, повязаних з розміщенням на дійсній осі коренів рівнянь з дійсними коефіцієнтами, що мають особливо важливе значення для задач практичного характеру.Число , визначене теоремою 5, дає одночасно верхню межу додатних коренів многочлена і нижню межу його відємних коренів, бо вказує інтервал (), в якому лежать всі дійсні корені, якщо вони існують. Один із шляхів уточнень, звуження меж, між якими слід шукати дійсні корені, полягає в тому, щоб окремо знаходити нижню і верхню межі додатних коренів і нижню і верхню межі відємних коренів даного многочлена, тобто такі чо
План
Зміст
Вступ
1. Основна теорема алгебри
1.1 Доведення основної теореми алгебри
1.2 Наслідки з основної теореми алгебри. Формула Вієта
1.3 Многочлени з дійсними коефіцієнтами
2. Межі дійсних коренів
2.1 Спосіб Ньютона встановлення меж дійсних коренів алгебраїчних рівнянь