Корені многочленів довільного степеня - Курсовая работа

Безліч математиків доклали багато зусиль, щоб знайти формули для розвязання рівнянь високих степенів. Формули для розвязання рівнянь третього і четвертого степеня були знайдені в 16 столітті. Центральним в алгебрі многочленів виявляється питання не про практичний пошук коренів многочлена, а питання про їх існування. А чи не знайдеться таке рівняння пятого чи більш високого степеня, яке не має жодного кореня навіть серед комплексних чисел, і чи не доведеться для пошуку коренів даних рівнянь переходити від комплексних чисел до більш широкого запасу чисел? Відповідь на це питання дає важлива теорема (основна теорема алгебри), яка стверджує, що будь-яке рівняння з будь-якими числовими коефіцієнтами, не лише з дійсними, але і з комплексними, має хоча б один комплексний корінь.Розглянемо основні поняття, що стосуються даної теми. Многочленом від однієї змінної над областю цілісністю називається вираз , де - довільне ціле невідємне число, - елементи області цілісності, а (або ), - деякі символи; називається-м степенем змінної (або невідомого ), а --м коефіцієнтом многочлена або коефіцієнтом при (=0,1,…, ). Відмінний від нуля член многочлена, степінь якого більший за степінь усіх інших відмінних від нуля членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнти - старшим коефіцієнтом, а його степінь - степенем многочлена. Коренем многочлена називається елемент будь-якого розширення поля такий, що . Розглянемо питання про існування коренів многочлена з геометричного погляду.Саме це твердження і означає, що необмежено зростає, коли точка z необмежено віддаляється від початку координат, бо яким би великим не було число M, перевищуватиме M , як тільки віддаль точки z від початку координат буде більша відповідного N. Коли , задовольняючи нерівність (3), задовольняють і нерівність (6), тобто коли (8) то на підставі (5) і (7) можна записати : (9) Через те що нерівність (9) справедлива для тих , що задовольняють умову (8), а нерівність (11) - для тих, що задовольняють умову (10), то потрібна нам нерівність справджуватиметься для всіх , які задовольняють обидві ці умови, тобто для яких , де З нерівностей, встановлених при доведенні цієї теореми, можна безпосередньо дістати такий важливий наслідок : многочлен може мати лише такі корені, модуль яких менший від числа Зрозуміло, що в цій рівності ряд перших коефіцієнтів може дорівнювати нулю : Проте серед усіх коефіцієнтів повинен бути хоча б один коефіцієнт Справді, коли б усі коефіцієнти дорівнювали нулю, то це означало б, що , і для будь-якого за формулою (13) ми мали б , тобто многочлен є числом (многочленом нульового степеня), що суперечить умові теореми.З теореми 3 зразу дістаємо ряд важливих наслідків. Нехай - многочлен степеня За основною теоремою алгебри існує хоча б один корінь цього многочлена. ділиться на , тобто Через те що степінь більший за 1, то є многочлен ненульового степеня. Для того щоб многочлен був незвідним у полі комплексних чисел, необхідно і достатньо, щоб його степінь дорівнював одиниці. Кожний многочлен-го степенем над полем комплексних чисел єдиним способом розкладається на лінійні множники в цьому полі Многочлен-го степеня має в полі комплексних чисел точно коренів.Рівняння з дійсними коефіцієнтами є поширеним і дуже важливим для практичних застосувань окремим випадком алгебраїчних рівнянь з комплексними коефіцієнтами. Оскільки дійсні числа утворюють підполе поля K комплексних чисел, всі результати цього параграфа, зокрема теореми про існування комплексних коренів та їх число, залишаються справедливими і для многочленів з дійсними коефіцієнтами, тобто будь-який многочлен n-го степеня з дійсними коефіцієнтами має точно n комплексних коренів. Але в багатьох випадках особливий інтерес становлять саме дійсні корені рівнянь з дійсними коефіцієнтами. Ми знаємо, що рівняння з дійсними коефіцієнтами може взагалі не мати жодного дійсного кореня (наприклад, рівняння ). Проте виявляється, що основна теорема дозволяє зробити ряд висновків і щодо коренів рівнянь з дійсними коефіцієнтами.Теореми попереднього параграфа розвязують ряд принципіальних питань щодо існування і числа коренів алгебраїчних рівнянь. Але, щоб знайти корені рівняння з достатнім степенем точності, треба знати, як ці корені розміщені на комплексній площині або на дійсній осі. Зауважимо, що іноді навіть немає потреби знаходити числові значення коренів, а досить зясувати їх розміщення на площині. Ми обмежимось розглядом питань, повязаних з розміщенням на дійсній осі коренів рівнянь з дійсними коефіцієнтами, що мають особливо важливе значення для задач практичного характеру.Число , визначене теоремою 5, дає одночасно верхню межу додатних коренів многочлена і нижню межу його відємних коренів, бо вказує інтервал (), в якому лежать всі дійсні корені, якщо вони існують. Один із шляхів уточнень, звуження меж, між якими слід шукати дійсні корені, полягає в тому, щоб окремо знаходити нижню і верхню межі додатних коренів і нижню і верхню межі відємних коренів даного многочлена, тобто такі чо

Зміст

Вступ

1. Основна теорема алгебри

1.1 Доведення основної теореми алгебри

1.2 Наслідки з основної теореми алгебри. Формула Вієта

1.3 Многочлени з дійсними коефіцієнтами

2. Межі дійсних коренів

2.1 Спосіб Ньютона встановлення меж дійсних коренів алгебраїчних рівнянь

2.2 Число дійсних коренів

2.3 Відокремлення коренів методом Штурма

3. Наближені методи обчислення коренів

3.1 Методи відокремлення коренів многочлена

3.2 Метод Лобачевського

3.2.1 Випадок дійсних коренів

3.2.2 Випадок комплексних коренів

4. Приклади розвязання задач

Висновки

Список використаних джерел