Кореляційні властивості випадкових дискретних динамічних систем - Автореферат

З деякими застереженнями можна сказати, що при переході до імовірнісного опису системи з далекими взаємодіями стають системами з далекими кореляціями. Прикладами таких систем можуть слугувати системи електрично-заряджених частинок, гравітаційні системи, магнетики з дипольною взаємодією і мезоскопічні системи з розмірами порядку дальності взаємодії між частинками. Метою дисертаційної роботи є дослідження випадкових дискретних динамічних систем з далекими кореляціями, а також розробка математичного апарату, використання якого дає можливість встановити загальні закономірності, які проявляються при поширенні (розсіянні) класичних і квантових хвиль різної природи в (на) одновимірних лінійних дискретних випадкових корельованих структурах, і розробка методів розрахунку статистичних величин одновимірних систем, заснованих на порівнянні їх з випадковими багатокроковими адитивними ланцюгами. Обєктом дослідження є одновимірні дискретні випадкові корельовани системи, такі як дифракційні ґратці, шаруваті системи, квантові дроти, ланцюжки джозефсонівських контактів та шаруватих надпровідникових систем, а також фізичні процеси, що відбуваються в цих системах. Крім того, в дисертації досліджуються одновимірні статистичні ланцюжки з великим, але кінцевим радіусом взаємодії між його частинками і неадитивні статистичні величини для фрагментів таких ланцюгів в стані термодинамічної рівноваги.Вводиться поняття адитивності функції умовної ймовірності і побудованого з її допомогою багатокрокового ланцюга і наводиться короткий опис робіт, присвячених системам з далекими кореляціями, методам побудови корельованих послідовностей і транспортним властивостям таких систем. Такий багатокроковий ланцюг (на відміну від випадку функції умовної ймовірності довільного виду) дозволяє отримати аналітичні результати для основних статистичних характеристик ланцюга. Така незалежність повязана з властивістю моделі ланцюга (1) - незалежністю функції умовної ймовірності від порядку розташування символів у фрагменті ланцюга, що передує символу, який генерується. Для демонстрації того, яким чином це рівняння може бути вирішено аналітично, проводиться загальний аналіз рівняння і розглядаються його рішення в наступних окремих випадках: марківського ланцюга з експоненційно-осцилюючим корелятором, корелятором, який має ступінчастий і узагальнено-ступінчастий спектр потужності, а також ланцюга з ближніми кореляціями. Аналіз двосторонніх ланцюгів показав, що вони статистично еквівалентні марківським ланцюгам з тією ж глибиною памяті, а умовні ймовірності двостороннього і марківського (одностороннього) ланцюгів, в загальному випадку, звязані співвідношенням, .У дисертаційній роботі на основі розвиненого математичного апарату багатокрокових випадкових ланцюгів досліджено ряд фізичних проблем, повязаних з аналізом і синтезом складних корельованих систем, досліджено статистичні та термодинамічні властивості одновимірних спінових ланцюгів Ізінга і розроблені методи генерації випадкових дихотомічних послідовностей. Виявлено властивість самоподібності випадкового ланцюга, знайдена напівгрупа перетворення самоподібності і виведено рівняння, що описує процес дифузії броунівської частинки в середовищі з памяттю. Виведено рівняння, що звязує дисперсію кількості певних символів у фрагменті ланцюга (або кореляційну функцію) і функцію памяті. Використання перетворення Фурє системи рівнянь, що однозначно повязують функцію памяті адитивного багатокрокового ланцюга Маркова і її кореляційну функцію, дозволило отримати інтегральне рівняння для спектру функції памяті. Аналітично досліджено властивості адитивного марківського ланцюга у випадку малої довжини памяті при експоненційній і експоненційно-осцилюючій кореляційній функції і в разі ступінчастого спектру корелятора.

Основний зміст дисертації

У дисертаційній роботі на основі розвиненого математичного апарату багатокрокових випадкових ланцюгів досліджено ряд фізичних проблем, повязаних з аналізом і синтезом складних корельованих систем, досліджено статистичні та термодинамічні властивості одновимірних спінових ланцюгів Ізінга і розроблені методи генерації випадкових дихотомічних послідовностей. Основні результати дисертаційної роботи можуть бути сформульовані у вигляді наступних тверджень: 1. Розвинено математичний апарат адитивних дихотомічних багатокрокових ланцюгів зі ступінчастою функцією памяті. Виявлено властивість самоподібності випадкового ланцюга, знайдена напівгрупа перетворення самоподібності і виведено рівняння, що описує процес дифузії броунівської частинки в середовищі з памяттю. Показано, що в разі сильних кореляцій, обвідна для рангового розподілу підпорядковується степеневому закону з показником порядку одиниці, тобто розподіл описується законом Ципфа.

2. Розроблено теорію адитивних багатокрокових дихотомічних ланцюгів. Виведено рівняння, що звязує дисперсію кількості певних символів у фрагменті ланцюга (або кореляційну функцію) і функцію памяті. Воно дає можливість будувати випадкову послідовність із заданою парною кореляційною функцією.

3. Використання перетворення Фурє системи рівнянь, що однозначно повязують функцію памяті адитивного багатокрокового ланцюга Маркова і її кореляційну функцію, дозволило отримати інтегральне рівняння для спектру функції памяті. Аналітично досліджено властивості адитивного марківського ланцюга у випадку малої довжини памяті при експоненційній і експоненційно-осцилюючій кореляційній функції і в разі ступінчастого спектру корелятора.

4. Досліджено кореляційні властивості адитивних дихотомічних багатокрокових марківських ланцюгів. Використано два підходи. Перший з них заснований на звязку кореляційних функцій з ймовірностями реалізації різних N-фрагментів ланцюга. Другий підхід заснований на складанні та вирішенні рекурентних співвідношень для кореляційних функцій.

5. Вивчено статистичні властивості двох нових введених класів випадкових багатокрокових двосторонніх і переставних ланцюгів і досліджено їх звязок з ланцюгами Маркова. Знайдено загальний метод їх побудови та вивчено їх основні статистичні властивості. Правило відповідності марківських і двосторонніх ланцюгів дозволило проаналізувати таку важливу властивість марківських ланцюгів, як їх оборотність. Для трьох класів випадкових послідовностей доведена оборотність марківських ланцюгів.

6. Вперше запропоновані і розроблені методи побудови багатокрокових дихотомічних ланцюгів із заданою парної кореляційної функцією, а саме, метод побудови багатокрокових ланцюгів Маркова (заснований на використанні функції умовної ймовірності), метод фільтрації (в тому числі, нескінченно-крокової) і сігнум-генерації. Вирішені пряма і зворотна задачі генерації: знаходження кореляційної функції K (r) адитивного марківського ланцюга з відомою функцією памяті F (r) (пряма задача) та знаходження функції памяті F (r) ланцюга, для якої відома кореляційна функція K (r) (зворотна задача). Запропонований метод багатокрокової фільтрації, який полягає в багаторазовому застосуванні фільтраційного методу, істотно розширює клас кореляційних функцій, які можуть бути побудовани.

7. Показано, що далекі кореляції дають можливість керувати різними динамічними властивостями квазіодновимірних систем, такими як селективне пропускання та відбиття хвиль різної природи. Досліджено поведінку джозефсонівських плазмових хвиль у послідовності джозефсонівських контактів. Показана можливість керування локалізаційними властивостями терагерцевих і суб-терагерцевих електромагнітних хвиль і прозорістю джозефсонівських ланцюгів, контролюючи кореляції в них.

8. Вивчено кореляційні властивості нуклеотидних послідовностей ДНК на основі двоканальної моделі Андерсона. Показано, що провідність екзонних частин ДНК, відповідальних за зберігання генетичної інформації про побудову білків, істотно перевищує провідність інтронів, тобто провідність областей, які не мають чітко вираженого інформаційно-біологічного сенсу. Локалізаційні властивості електронів описуються в термінах кореляційних функцій нуклеотидних потенціалів без використання процедури огрублення послідовності.

9. Розроблено метод створення керованої дифракції в системі з далекими кореляціями. З цією метою вирішено задачу дифракції електромагнітної хвилі на нерегулярній дифракційній ґратці, в якій відстань між щілинами (або розсіювачами) менше або порядку довжини хвилі. У впорядкованих періодичних системах це призводить до відсутності дифракційної картини, в той час як у невпорядкованій корельованій системі можливе спостереження керованої дифракції, за рахунок керування далекими кореляціями. У наближенні Фраунгофера розподіл інтенсивності дифрагованого поля на екрані виражено через кореляційну функцію нерегулярної ґратці. Для ілюстрації ефективності методів синтезовані дві нерегулярні корельовані ґратці: ґратка, "змішана" з періодичної, квазіперіодичної і чисто випадкової ґраток, а також ґратка, для якої розсіяне поле формує на екрані заданий розподіл інтенсивності.

10. Вивчено магнітні властивості спінового ланцюга з довільним, але скінченним радіусом взаємодії. Для кожного спінового ланцюга, що задається залежністю енергії взаємодії між спинами від відстані між ними, знайдено багатокроковий ланцюг, кореляційні властивості якого у всіх порядках збігаються з властивостями спінового ланцюга. Цей багатокроковий ланцюг має ту ж глибину памяті, що і дальність взаємодії елементів спінового ланцюга, а його функція умовної ймовірності нелінійним чином повязана з двосторонніми умовними ймовірностями реалізації ізінгового ланцюга. Знайдена залежність намагніченості від величини зовнішнього магнітного поля, що переходить у відомі результати для випадку взаємодії лише найближчих сусідів. Знайдено середній квадрат намагніченості фрагмента ланцюга довільної довжини, який зростає з ростом довжини фрагмента нелінійно, що повязано з наявністю далеких кореляцій у ланцюзі. Ця залежність переходить у лінійну на відстанях, що переважають дальність взаємодії спінів у ланцюзі.

1. Random finite-valued dynamical systems: additive Markov chain approach / [O. V. Usatenko, S.S. Apostolov, Z. A. Mayzelis, and S. S. Melnik] - Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2010. - 166 p.

2. Usatenko O.V. Binary N-step Markov chains and long-range correlated systems / O. V. Usatenko, V.A. Yampolskii // Phys. Rev. Lett. - 2003. - V.90, V 11. - P.110601 (1) - 110601 (4).

3. Symbolic stochastic dynamical systems viewed as binary N-step Markov chains / [O. V. Usatenko, V. A. Yampolskii, K. E. Kechedzhy, S. S. Melnyk] // Phys. Rev. E. - 2003. - V.68. - P.061107 (1) - 061107 (14).

4. Competition between two kinds of correlations in literary texts / [S. S. Melnyk, O. V. Usatenko, V. A. Yampolskii, V. A. Golick] // Phys. Rev. E. - 2005. - V.72. - P.026140 (1) - 026140 (7).

5. Kechedzhy K. E. Rank distributions of words in correlated symbolic systems and the Zipf law / K. E. Kechedzhy, O. V. Usatenko, V. A. Yampolskii // Phys. Rev. E. - 2005. - V.72. - P.046138 (1) - 046138 (6).

6. Memory functions and correlations in additive binary Markov chains / [S. S. Melnyk, O. V. Usatenko, V.A. Yampolskii, S S Apostolov, and Z A Maiselis] // J. Phys. A. - 2006. - V.39. - P.14289-14301.

7. Melnyk S. S. Memory functions of the additive Markov chains: applications to complex dynamic systems / S. S. Melnyk, O. V. Usatenko, V. A. Yampolskii // Physica A. - 2006. - V.361. - P.405-415.

8. Equivalence of the Markov Chains and Two-Sided Symbolic Sequences / [S. S. Apostolov, Z.A. Maizelis, O.V. Usatenko, V. A. Yampolskii] // Europhys. Lett. - 2006. - V.76. - P.1015-1021.

9. Isotropy Properties of the Multi-Step Markov Symbolic Sequences / [S.S. Apostolov, Z.A. Mayzelis, S.S. Melnyk, O.V. Usatenko, V.A. Yampolskii] // Physica A. - 2007. - V.376. - P.165-172.

10. High Order Correlation Functions of Binary Multi-Step Markov Chains / [S. S. Apostolov, Z.A. Mayzelis, O.V. Usatenko, V.A. Yampolskii] // Int. J. Mod. Phys. B. - 2008. - V.22. - P.3841-3853.

11. Неэкстенсивная термодинамика одномерных систем и марківские цепи / [С.С. Апостолов, З.А. Майзелис, О.В. Усатенко, В.А. Ямпольский] // Вісник Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна. Серія "Фізика". - 2006. - № 739. - С.26-30.

12. Non-additive properties of finite 1D Ising chains with long-range interactions / [S. S. Apostolov, Z. A. Mayzelis, O. V. Usatenko, V. A. Yampolskii] // J. Phys. A: Math. Theor. - 2009. - V.42. - P.095004-095017.

13. Additive N-step Markov chains as prototype model of symbolic stochastic dynamical systems with long-range correlations / [Z. A. Maiselis, S. S. Apostolov, S. S. Melnyk, O. V. Usatenko, V. A. Yampolskii] // Chaos, Solitons and Fractals. - 2007. - V.34. - P.112-128.

14. Three types of spectra in one dimensional system with random correlated potential / [O.V. Usatenko, S.S. Melnyk, V.A. Yampolskii, M. Johansson, L. Kroon, R. Riklund] // Радиофизика и электроника. - 2006. - V.11. - P.96-100.

15. Controlled terahertz frequency response and transparency of Josephson chains and superconducting multilayers / [V.A. Yampolskii, S. Savelev, O.V. Usatenko, S.S. Melnik, F.V. Kusmartsev, A.A. Krokhin, and F. Nori] // Phys. Rev. B. - 2007. - V.75. - P.014527 (1) - 014527 (7).

16. Spectral analysis and synthesis of 1D dichotomous long-range correlated systems: From diffraction gratings to quantum wires / [O. V. Usatenko, S. S. Melnik, L. Kroon, M. Johansson, R. Riklund and S. S. Apostolov] // Physica A. - 2008. - V.387. - P.4733-4739.

17. Memory function versus binary correlator in additive Markov chains / [F. M. Izrailev, A. A. Krokhin, N. M. Makarov, S. S. Melnyk, O. V. Usatenko, V. A. Yampolskii] // Physica A. - 2006. - V.372. - P.279-297.

18. Generation of correlated binary sequences from white noise / [F. M. Izrailev, A. A. Krokhin, N. M. Makarov, and O. V. Usatenko] // Phys. Rev. E. - 2007. - V.76. - P.027701 (1) - 027701 (4).

19. The signum function method for the generation of correlated dichotomic chains / [S. S. Apostolov, F. M. Izrailev, N. M. Makarov, Z. A. Mayzelis, S. S. Melnyk, and O. V. Usatenko] // J. Phys. A: Math. Theor. - 2008. - Vol.41. - P.175101 (1) - 175101 (23).

20. Шкоп А.В. Итерационный метод построения случайных коррелированных бинарных последовательностей / А.В. Шкоп, Д.А. Тканов, О.В. Усатенко // Вісник Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна. Серія "Фізика". - 2010. - № 914. - С.7-13.

21. Inhomogeneous DNA: Conducting exons and insulating introns / [A.A. Krokhin, V.M. K. Bagci, F.M. Izrailev, O.V. Usatenko, and V.A. Yampolskii] // Phys. Rev. B. - 2009. - V.80. - P.085420 (1) - 085420 (5).

22. Корреляционная структура текстов естественных языков / [О.В. Усатенко, Ю.Л. Рыбалко, С.И. Мельник, С.С. Мельник] // Застосування персональних компєютерів у наукових дослідженнях та навчальному процессе, Харьков, 24-26 жовтня 2000 р.: матеріали конференції. - Х., 2000. - С.10.

23. Усатенко О.В. Каноническое распределение в неэкстэнсивной обобщенной термодинамике / О.В. Усатенко // Международный Юбилейный Семинар ``Современные проблемы физики твердого тела"" Харьков, 19-20 ноября 2001г.: материалы конференции. - Х., 2001. - С.23.

24. Марковские цепи и генетические тексты / [О.В. Усатенко, В.А. Ямпольский, С.С. Мельник, М.Е. Сербин] // Применение персональных компьютеров в научных исследованиях и учебном процессе, Харьков, 30-31 октября 2002 г.: материалы конференции. - Х., 2002. - С.13.

25. Physical systems with long-range correlations and many-step binary Markov chains / [O. V. Usatenko,V. A. Yampolskii, S. S. Melnyk, K. E. Kechedzhy] // The materials of VI-th International Conference "Physical Phenomena in the Solid State", Kharkov National University, Kharkov, 28-29 October 2003, p.16.

26. Usatenko O. V. Correlation properties of DNA nucleotide sequences / O. V. Usatenko, A. L. Patsenker, V. A. Yampolskii // The materials of 2nd Scientific Conference "Physics ang Chemistry of our Days", Kharkov Poly-Technical University, Kharkov, 26-27 November 2003, p.80.

27. Usatenko O.V. Binary many-step Markov chain as a model of correlated literature texts / O.V. Usatenko, V.A. Golick, V.A. Yampolskii // The materials of 2nd Scientific Conference "Physics and Chemistry of our Days", Kharkov Poly-Technical University, Kharkov, 26-27 November 2003, p.82.

28. Symbolic stochastic dynamical systems viewed as N-step Markov chains: application to written and DNA texts / [O. V. Usatenko, V. A. Yampolskii, K. E. Kechedzhy, S. S. Melnyk, V. A. Golick] // IV International Workshop on Disordered Systems, Leganes, Madrid (Spain) 19-24 September 2004, Abstracts.

29. Мельник С.С. Функция памяти бинарных многошаговых марковских цепей / С.С. Мельник, З.А. Майзелис, О.В. Усатенко // Студенческая научная конференция физического факультета ХНУ, Харьков,19 апреля 2004 г.: материалы конференции. - Х., 2004. - С.16.

30. Symbolic stochastic dynamical systems viewed as additive N-step Markov chains / [O.V. Usatenko, V.A. Yampolskii, K.E. Kechedzhy, S.S. Melnyk] // Book of Abstracts, XXV Dynamics Days Europe 2005, Berlin, Germany, July 25 - 28, 2005, p.106.

31. Kechedzhi K.E. Zipf-like distributions as a result of correlations in the stochastic dynamic system / K. E. Kechedzhi, O. V. Usatenko, V. A. Yampolskii // Book of Abstracts, XXV Dynamics Days Europe 2005, Berlin, Germany, July 25 - 28, 2005, p.107.

32. Statistical Equivalence of the Markov sequences and Spin Chains / [Z. A. Mayzelis, O. V. Usatenko, V. A. Yampolskii, S. S. Melnik] // XXV Dynamics Days Europe 2005: Internat. conf.25-28 July 2005: Book of Abstracts - Berlin (Germany), 2005. - P.108-109.

33. Three types of spectra in one-dimensional systems with correlated disorder / [S. S. Melnyk, O. V. Usatenko, M. Johansson, L. Kroon, R. Riklund] // Book of Abstracts, XXV Dynamics Days Europe 2005, Berlin, Germany, July 25-28, 2005, p.131; http://wwwnlds. physik. tu-berlin. de/ddays05

34. Competition of two types of correlations in coarse-grained literary texts / [S.S. Melnik, O.V. Usatenko, V.A. Yampolskii, V.A. Golick] // Book of Abstracts, XXV Dynamics Days Europe 2005, Berlin, Germany, July 25 - 28, 2005, p.178.

35. Три вида спектров в бинарных одномерных системах с коррелированным беспорядком / [О.В. Усатенко, С.С. Мельник, В.А. Ямпольский, М. Йоханссон, Л. Крун, Р. Риклунд] // Физические явления в твердых телах: 7-я международная конференция, Харьков, 14-15 декабря 2005 г.: тезисы докладов. - Х., 2005. - С.12.

36. . Марковские цепи и неэкстенсивная термодинамика низкоразмерных систем / [С.С. Апостолов, З. A. Майзелис, O.В. Усатенко, В. A. Ямпольский] // Фізичні явища в твердих тілах: 7-ма міжнародна конференція, 14-15 грудня 2005 р.: матеріали конференції - Харків, 2005. - C.31.

37. Random symbolic dynamic systems and additive multi-step Markov chains / [O.V. Usatenko, V.A. Yampolskii, S.S. Melnyk, S.S. Apostolov, Z.A. Mayzelis, K.E. Kechedzhy] // Modern stochastics: theory and applications: Internat. conf., 19-23 June 2006: conf. materials - Kyiv, 2006. - P.264.

38. Three types of spectra in 1D random correlated binary potential / [O.V. Usatenko, S.S. Melnyk, V.A. Yampolskii, M. Johansson, L. Kroon, R. Riklund] // Condensed matter: theory and applications: international conference, September 12-15, 2006: book of abstracts. - Kharkiv, 2006. - P.109.

39. . Additive multi-step Markov chains and their applications / [O. V. Usatenko, V.A. Yampolskii, S.S. Melnik, S.S. Apostolov, Z.A. Mayzelis] // Current problems of Solid State Physics: Internat. Jubilee Seminar E. A. Kaner memorial conf., 16-18 November 2006: Program and Abstracts - Kharkov, 2006. - P.52-53.

40. Стохастические системы с дальними корреляциями: от локализации Андерсона и модели Изинга до ДНК и литературных текстов / [O.В. Усатенко, В.А. Ямпольский, С.С. Мельник, С.С. Апостолов, З. A. Майзелис] // Теория конденсированного состояния. Материалы 2-ой международной конференции, 16-17 января 2007 г.: тезисы докладов. - Харьков, 2007. - C.31.

41. Stochastic dynamic systems viewed as additive multi-step Markov chains / [O. V. Usatenko, V. A. Yampolskii, S. S. Melnik, S. S. Apostolov, Z. A. Mayzelis] // International Conference on the occasion of the 150 Birthday of A. M. Lyapunov: Internat. conf., June 24-30, 2007: Book of Abstracts. - Kharkov, 2007. - P.169-170.

42. Spectral analysis and synthesis of one-dimensional long-range correlated systems: from diffraction gratings to the Anderson model / [O. V. Usatenko, S. S. Melnik, M. Johansson, L. Kroon, R. Riklund] // The six international Kharkov symposium on physics and engineering of microwaves, millimeter and sub-millimeter waves (MSMW"07). Symposium proceedings, June 25-30, 2007 - Kharkov, 2007. - P.246-248.

43. Spectral analysis and synthesis of 1D dichotomous long-range correlated systems: from diffraction gratings to quantum wires / [O. V. Usatenko, S. S. Melnik, L. Kroon, M. Johansson, R. Riklund and S. S. Apostolov] // Modern Challenges in Microwave Superconductivity, Photonics and Electronics: Mini-Colloq. & Internat. Workshop, June 11-12, 2009: Book of Abstracts. - Kharkov, 2009. - P.15.

СПИСОК ЦИТОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1*. Ehrenfest P. Encyklopadie der Mathematischen Wissenschaften / P. Ehrenfest,T. Ehrenfest. Berlin: Springer, 1911. - 742 p. - Bd. II.

2*. Денисов С. Самоорганицация экономических систем и закон распределения конкурентов: банковская система Украины / С. Денисов, О. Усатенко // Бизнес информ - 1997. - № 17. - C.37-39.

3*. Rice S.O. Mathematical analysis of random noise / S. O. Rice // Bell Syst. Tech. J. - 1944. - V.23. - P.282-332.

4*. Anderson P. Absence of Diffusion in Certain Random Lattices / P. Anderson // Phys. Rev. - 1958. - V.109. - P.1492-1505.

5*. Izrailev F.M. Localization and the Mobility Edge in One-Dimensional Potentials with Correlated Disorder / F.M. Izrailev, A.A. Krokhin // Phys. Rev. Lett. - 1999. - V.82. - P.4062-4065.

6*. Griniasty M. Localization by pseudorandom potentials in one dimension / M. Griniasty, S. Fishman // Phys. Rev. Lett. - 1988. - V.60. - P. - 1334-1337.

7*. Luck J.M., Cantor spectra and scaling of gap widths in deterministic aperiodic systems / J.M. Luck // Phys. Rev. B. - 1989. - V.39. - P.5834-5849.

8*. Tsallis C. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics / C. Tsalis // J. Stat. Phys. - 1988. - V.52. - P.479-487.

9*. Russian Synodal, http://lib.ru/hristian/biblia/nowyj_zawet. txt.