Розробка теоретичних основ для дослідження контракцій алгебри Лі та їх застосування до вивчення контракцій та структур многовидів низькорозмірних алгебри Лі. Перегляд класифікації векторних полів на площині та опис їх диференціальних інваріантів.
Алгебри Лі є потужним інструментом та дають істотну інформацію для вивчення задач і моделей сучасної математичної та теоретичної фізики. Це стимулювало стрімкий розвиток досліджень, повязаних з алгебрами Лі і особливо алгебрами Лі невисоких розмірностей, як такими, що широко застосовуються в теорії зображень та індукованих зображень, при вивченні порушених симетрій тощо. У звязку з цим протягом останніх десятиліть інтенсивно вивчались класифікації, підалгебри, реалізації, інваріанти, контракції, деформації та інші обєкти, які стосуються низькорозмірних алгебр Лі. Опис таких зображень для низькорозмірних алгебр має ряд застосувань, наприклад, у задачі Левіне, до інтегрування систем, що допускають принцип суперпозиції, і до побудови різницевих схем, та дозволяє істотно розширити область застосування класичних групових методів. Розроблено теоретичні основи для вивчення контракцій алгебр Лі над комплексним і дійсним полями та запропоновано нові необхідні критерії існування таких контракцій.А саме, проаналізовано роботи, в яких розглядаються класифікації структур алгебр Лі. Також у цьому розділі впорядковано відомі результати з дослідження і класифікації реалізацій алгебр Лі векторними полями та з теорії диференціальних інваріантів. В другому розділі дисертації розвинуто теоретичні основи контракцій алгебр Лі. Теорема 1 Якщо алгебра Лі є власною (неперервною чи послідовною) контракцією алгебри Лі g, то мають місце наступні співвідношення: 1. Відзначимо, що в розділі 2 дисертаційної роботи сформульовано ряд нових необхідних критеріїв існування контракцій (наприклад, критерій 12 теореми 1), які є ефективним інструментом при дослідженні контракцій алгебр Лі фіксованих розмірностей.Розроблено теоретичні основи для вивчення контракцій алгебр Лі над дійсним і комплексним полями та запропоновано нові необхідні критерії існування контракцій алгебр Лі. На основі цієї теореми виокремлено усі випадки, коли між двома фіксованими алгебрами не існує контракцій.
План
Основний зміст роботи
Вывод
1. Розроблено теоретичні основи для вивчення контракцій алгебр Лі над дійсним і комплексним полями та запропоновано нові необхідні критерії існування контракцій алгебр Лі. Побудовано ряд важливих прикладів, які спростовують відомі гіпотези та твердження.
2. Доведено теорему, що містить повний перелік необхідних критеріїв існування контракцій низькорозмірних алгебр Лі. На основі цієї теореми виокремлено усі випадки, коли між двома фіксованими алгебрами не існує контракцій.
3. Сформульовано алгоритм знаходження контракцій скінченновимірних алгебр Лі, за допомогою якого описано всі слабо нееквівалентні контракції дійсних низькорозмірних алгебр Лі. Використовуючи отримані контракції, досліджено рівні та корівні низькорозмірних алгебр Лі відносно контракцій та розширено класифікацію контракцій на випадок комплексного поля.
4. Знайдено всі нееквівалентні реалізації дійсних нерозвязних алгебр Лі розмірностей не вищих ніж чотири векторними полями в просторі довільної скінченної кількості змінних.
5. Отримано повну класифікацію алгебр Лі векторних полів, що діють на площині, та вичерпно описано множину їх диференціальних інваріантів, а саме: базиси диференціальних інваріантів, визначники Лі та оператори інваріантного диференціювання.
Список литературы
1. Nesterenko M. Transformation groups on real plane and their differential invariants // Int. J. Math. Math. Sci. - 2006. - 2006, Article ID 17410. - 17 pages.
2. Nesterenko M., Popovych R. Realizations of real unsolvable low-dimensional Lie algebras // Праці Ін-ту математики НАН України. - 2005. - 55. - С. 163-168.
3. Nesterenko M. Differential invariants of transformation groups on the real plane // Праці Ін-ту математики НАН України. - 2004. - 50, ч. 1. - С. 211-213.
4. Popovych R., Boyko V., Nesterenko M., Lutfullin M. Realizations of real low-dimensional Lie algebras // J. Phys. A: Math. Gen. - 2003. - 36. - P. 7337-7360.
5. Nesterenko M., Boyko V. Realizations of indecomposable solvable 4-dimensional real Lie algebras // Праці Ін-ту математики НАН України. - 2002. - 43, ч. 2. - С. 474-477.
6. Nesterenko M., Popovych R. Contractions of low-dimensional Lie algebras // math-ph/0608018. - 2006. - 46 pages.
7. Popovych R., Boyko V., Nesterenko M., Lutfullin M. Realizations of real low-dimensional Lie algebras // math-ph/0301029v7. - 2005. - 39 pages.
8. Nesterenko M. Realizations of real unsolvable low-dimensional Lie algebras / Voronoi Conference on Analytic Number Theory and Spatial Tessellations: Abstracts. - Kyiv: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2003. - P. 55.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
