Конформні модулі та екстремальні метрики у неорієнтовних ріманових многовидах - Автореферат

Дисертація присвячена дуже важкій проблематиці - знаходженню екстремальних метрик та конформних модулів сімей кривих, що лежать у неорієнтовних ріманових многовидах. Метою роботи є дослідження проблеми конформного модуля сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, сімей “складених” кривих, що лежать у багатозвязних областях на цьому рімановому многовиді, сімей кривих, що лежать на неорієнтовних n-вимірних ріманових многовидах. Досліджено парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, та вивчено їх поведінку в залежності від геометрії цього ріманового многовиду. Досліджено парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей “складених” кривих, що лежать у багатозвязних областях на рімановому листку Мьобіуса, та вивчено їх поведінку в залежності від геометрії цих ріманових областей. Тамразова та дисертанта теорема про екстремальні метрики та конформні модулі “поперечних” сімей дуг, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, належить особисто дисертанту (цей результат наведено у розділі 2, підрозділі 2.2); теореми про парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, отримані дисертантом сумісно з П. М.Дана робота присвячена проблемі знаходження екстремальних метрик та конформних модулів деяких сімей кривих, що лежать у неорієнтовних ріманових многовидах. Введемо наступні сімї кривих: - сімя усіх локально спрямлюваних, замкнених, гомотопічно нетривіальних кривих;-сімя усіх , які гомотопні на P. Тепер через позначимо сімю усіх замкнених кривих , які гомотопні . Екстремальні метрики та конформні модулі вищезазначених сімей кривих обчислив П. М. Тамразов. Грьотчем) область типу “кільце з радіальними розрізами (у цьому випадку кожна неодноточкова межова компонента області , що лежить у кільці , має вигляд радіального відрізку); та виступають ізольованими межовими компонентами образу; інваріантна відносно перетворення і виконується співвідношення .Розвязано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів “поперечних” сімей дуг, що лежать на рімановому листку Мьобіуса. Досліджено парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, та вивчено їх поведінку в залежності від геометрії цього ріманового многовиду. Розвязано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів деяких гомотопічних сімей “складених” кривих, що лежать у багатозвязних областях на рімановому листку Мьобіуса.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Отже, у даній дисертаційній роботі отримані наступні результати.

- Розвязано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів “поперечних” сімей дуг, що лежать на рімановому листку Мьобіуса.

- Досліджено парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, та вивчено їх поведінку в залежності від геометрії цього ріманового многовиду.

Знайдено також оцінки для цих добутків, у тому числі універсальні оцінки, вид яких не залежить від геометрії ріманового листка Мьобіуса. Також отримано непокращувану нижню оцінку парного добутку конформних модулів “спряжених” сімей кривих через абсолютну константу, яка не залежить від геометрії цього ріманового многовиду.

- Розвязано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів деяких гомотопічних сімей “складених” кривих, що лежать у багатозвязних областях на рімановому листку Мьобіуса.

- Розвязано задачу про обчислення екстремальної метрики та конформного модуля “поперечної” сімї дуг, що лежать у багатозвязних областях на рімановому листку Мьобіуса.

- Досліджено парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей “складених” кривих, що лежать у багатозвязних областях на рімановому листку Мьобіуса, та вивчено їх поведінку в залежності від геометрії цих ріманових областей.

Знайдено також оцінки для цих добутків, у тому числі універсальні оцінки, вид яких не залежить від геометрії багатозвязних областей на рімановому листку Мьобіуса.

Також отримано непокращувану нижню оцінку парного добутку конформних модулів “спряжених” сімей “складених” кривих через абсолютну константу, яка не залежить від геометрії цих ріманових областей.

- Розвязано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів деяких сімей замкнених, гомотопічно нетривіальних кривих, що лежать на неорієнтовних n-вимірних ріманових многовидах.

Основні результати дисертації опубліковані у наступних роботах.

1. Тамразов П. М., Охрименко С. А. Парные произведения модулей семейств кривых наримановом листе Мебиуса // Укр. мат. журн. - 1999. - Т. 51, № 1. - С. 110 - 116.

2. Охрименко С. А. Модули многосвязных областей наримановом листе Мебиуса // Укр. мат. журн. - 2000. - Т. 52, № 3. - C. 354 - 358.

3. Okhrimenko S. A. Pairwise products of moduli of families of curves in multiply connected domains on a Riemannian Mobius strip // Bulletin de la Societe des Sciences et Lettres de Lodz. - 2000. - Vol. 50. - P. 31 - 38.

4. Охрименко С. А. Некоторые проблемы модулей в многосвязных областях наримановом листе Мебиуса // Теорія наближення функцій та її застосування: Зб. наук. пр. Інст. математики НАН України. - Київ. - 2000. - Вип. 31. - С. 366 - 373.

5. Охрименко С. А. Модули многосвязных областей наримановом листе Мебиуса // Тези Міжнар. конф. з теорії наближення функцій та її застосування, присвяченій памяті В. К. Дзядика. - Київ. - 1999. - С. 100.

6. Okhrimenko S. A. Moduli of families of composite curves in multiply connected domains on a Riemannian Mobius strip // International conference dedicated to M. A. Lavrentyev on the occasion of his birthday centenary, abstracts. - Kiev. - 2000. - P. 46 - 47.

7. Okhrimenko S. A. Extremal metrics and moduli of families of curves on nonorientable three-dimensional Riemannian manifold // International conference on complex analysis and potential theory, abstracts. - Kiev. - 2001. - P. 42 - 43.

Охріменко С. А. Конформні модулі та екстремальні метрики у неорієнтовних ріманових многовидах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01. 01. 01. - математичний аналіз. - Інститут математики НАН України, Київ, 2002.

Робота присвячена проблемі знаходження екстремальних метрик та конформних модулів сімей кривих, що лежать на неорієнтовних ріманових многовидах.

У дисертації вищезазначена проблема розвязана для сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, для сімей “складених” кривих, що лежать у багатозвязних областях на рімановому листку Мьобіуса та для сімей кривих, що лежать на неорієнтовних n-вимірних ріманових многовидах.

Досліджено також парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса та у багатозвязних областях на цьому рімановому многовиді, та знайдено оцінки для цих добутків.

Ключові слова: “складена” крива, екстремальна метрика та конформний модуль сімї “складених” кривих, ріманів листок Мьобіуса, багатозвязні області на рімановому листку Мьобіуса, неорієнтовний n-вимірний рімановий многовид, парний добуток конформних модулів “спряжених” сімей кривих.

Охрименко С. А. Конформные модули и экстремальные метрики в неориентируемых римановых многообразиях. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01. 01. 01. - математический анализ. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2002.

Работа посвящена проблеме нахождения экстремальных метрик и конформных модулей семейств кривых, которые лежат на неориентируемых римановых многообразиях.

Отождествим каждую точку с соответствующей точкой и в склеенном множестве введем естественную структуру гладкого топологического многообразия. Полученное многообразие с линейным элементом длины является неориентируемым римановым многообразием. Обозначим его через P (с топологической точки зрения это лист Мебиуса). С теоретико-множественной (но не с топологической) точки зрения в дальнейшем будем отождествлять с P.

В работе решены задачи о вычислении экстремальных метрик и конформных модулей “поперечных” семейств дуг, которые лежат в P.

В диссертации исследованы парные произведения конформных модулей “сопряженных” семейств кривых, которые лежат в P, причем одной компонентой пары выступает произвольное семейство замкнутых, гомотопически нетривиальных кривых, а другой - “поперечное” семейство дуг, и изучено их поведение в зависимости от геометрии этого риманового многообразия. Найдены также оценки для этих произведений, в том числе универсальные оценки, вид которых не зависит от геометрии риманового листа Мебиуса. Также получена неулучшаемая нижняя оценка парного произведения конформных модулей “сопряженных” семейств кривых через абсолютную константу, которая не зависит от геометрии этого риманового многообразия.

В работе решены задачи о вычислении экстремальных метрик и конформных модулей некоторых семейств “составных” кривых, которые лежат в многосвязных областях наримановом листе Мебиуса.

Пусть задан компакт такой, что множество является неориентируемой многосвязной областью в P.

В работе решены задачи о вычислении экстремальных метрик и конформных модулей некоторых гомотопических семейств “составных” кривых, которые лежат в D. Аналогичная задача решена для “поперечного” семейства дуг, которые лежат в D.

В диссертации исследованы парные произведения конформных модулей “сопряженных” семейств “составных” кривых, которые лежат в D, причем одной компонентой пары выступает произвольное гомотопическое семейство “составных” кривых, а другой - “поперечное” семейство дуг, и изучено их поведение в зависимости от геометрии этой римановой области. Найдены также оценки для этих произведений, в том числе универсальные оценки, вид которых не зависит от геометрии многосвязной области наримановом листе Мебиуса. Также получена неулучшаемая нижняя оценка парного произведения конформных модулей “сопряженных” семейств “составных” кривых через абсолютную константу, которая не зависит от геометрии этой римановой области.

В работе также решены задачи о вычислении экстремальных метрик и конформных модулей некоторых семейств замкнутых, гомотопически нетривиальных кривых, которые лежат на неориентируемых n-мерных римановых многообразиях.

Ключевые слова: “составная” кривая, экстремальная метрика и конформный модуль семейства “составных” кривых, риманов лист Мебиуса, многосвязные области наримановом листе Мебиуса, неориентируемое n-мерное риманово многообразие, парное произведение конформных модулей “сопряженных” семейств кривых.

Okhrimenko S. A. Conformal moduli and extremal metrics on nonorientable Riemannian manifolds. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01. 01. 01. - Mathematical Analysis. - Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2002.

The thesis is devoted to the problem of finding the extremal metrics and the conformal moduli of families of curves lying on nonorientable Riemannian manifolds.

The problem is solved for the families of curves lying on a Riemannian Mobius strip, for the families of “composite” curves lying in multiply connected domains on this Riemannian manifold and for the families of curves lying on nonorientable n-dimensional Riemannian manifolds.

Pairwise products of conformal moduli of “conjugate” families of curves lying on a Riemannian Mobius strip and in multiply connected domains on this Riemannian manifold are investigated and estimates for these products are obtained.

Key words: “composite” curve, extremal metric and conformal modul of family of “composite” curves, a Riemannian Mobius strip, multiply connected domains on a Riemannian Mobius strip, a nonorientable n-dimensional Riemannian manifold, pairwise product of conformal moduli of “conjugate” families of curves.

Размещено на .ru