Технология применения в учебно-исследовательском процессе подготовки учителей физики современных компьютерных инструментов. Особенности решения экспериментальной задачи, анализ которой невозможно провести без применения методов вычислительной математики.
Используя вычислительную математику, студент может провести анализ сложной учебно-исследовательской физической задачи. Только студент, получивший опыт применения компьютерных технологий для анализа сложной физики, в сочетании с последующим экспериментальным исследованием, будет применять обретенные навыки в своей работе со школьниками. В качестве примера, раскрывающего суть предлагаемого метода анализа сложного физического явления, рассмотрим задачу, являющуюся классической и в полной мере отвечающую заявленным требованиям. Исследование параметров этого поля интересно в силу того, что уравнения Максвелла, описывающие динамику изменения поля в проводнике с ростом w, содержит обратные связи, обусловленные явлением электромагнитной индукции. Обратные связи, как правило, приводят к синергетическим эффектам [3], что означает - магнитное поле в проводнике должно иметь сложную структуру.
Введение
компьютерный задача физика
В настоящее время учебный процесс подготовки будущих учителей физики в силу объективных и субъективных причин не позволяет студентам приблизиться к глубокому пониманию современных достижений физики. Заканчивая обучение в вузе, студент не получает достаточного опыта научной работы по физике. Пожалуй, единственным инструментом, позволяющим разрешить эту проблему, являются компьютерные технологии, лежащие в основе вычислительной математики. Используя вычислительную математику, студент может провести анализ сложной учебно-исследовательской физической задачи. Необходимо подобрать задачу, которая находилась бы на грани понимания студентом, но в то же время вполне соответствовала его интеллектуальным возможностям. Кроме того, задача должна содержать современную физику. Желательно, чтобы результаты компьютерного анализа стали основой для экспериментального исследования выбранной задачи. Только студент, получивший опыт применения компьютерных технологий для анализа сложной физики, в сочетании с последующим экспериментальным исследованием, будет применять обретенные навыки в своей работе со школьниками. Цель данной работы - рассмотреть технологию применения современных компьютерных инструментов при анализе сложной физической задачи.
1. Постановка задачи
В качестве примера, раскрывающего суть предлагаемого метода анализа сложного физического явления, рассмотрим задачу, являющуюся классической и в полной мере отвечающую заявленным требованиям. Длинный, однородный, проводящий цилиндр, радиус которого a, проводимость s, помещен в переменное квазистационарное магнитное поле
IMG_b29005bf-7fb0-481d-8c65-a8db3aff5604 , параллельное оси цилиндра. Необходимо определить параметры магнитного поля в цилиндре
IMG_97d49874-8294-4599-aaf7-8b3337b1acfd , где
IMG_bb65760b-6f34-40a9-ae72-bf2bb8df8772 - радиальная координата. Исследование параметров этого поля интересно в силу того, что уравнения Максвелла, описывающие динамику изменения поля в проводнике с ростом w, содержит обратные связи, обусловленные явлением электромагнитной индукции. В силу математической сложности анализа этот аспект задачи до сих пор не исследован. Обратные связи, как правило, приводят к синергетическим эффектам [3], что означает - магнитное поле в проводнике должно иметь сложную структуру. Точное решение нелинейного дифференциального уравнения, определяющего магнитное поле в проводящем цилиндре, выражается через специальные функции от комплексных переменных [1, 4]. Аналитические зависимости получены для двух предельных случаев
IMG_f3afa192-8a74-4fa4-8d46-9de3fc4ce6dd и
IMG_73cba6e0-e1a1-4f4a-84dd-c8e16987c11c . Первая асимптотика очевидна - индукционные токи малы, поле равно внешнему полю. Вторая асимптотика показывает, что магнитное поле при
IMG_1861fe81-5d57-4d60-aca7-c4dc88287255 локализуется в тонком поверхностном скин-слое проводника. Поток магнитного поля
IMG_b82bd745-6c8d-48aa-a85c-43b1d2b48a35 через поперечное сечение цилиндра исследовался в работах [5,6]. В [5] предложен способ бесконтактного измерения электропроводности материала цилиндра. Для измерения s анализируется амплитуда ЭДС, наведенной в индукционном датчике магнитным полем
IMG_d26ee6a5-a771-4e63-80de-d597f38d7856 для широкого интервала частот внешнего поля. Индукционный датчик - проволочная катушка, плотно намотанная поверх исследуемого цилиндра и подключенная в осциллографу или ламповому вольтметру. В [6] подробно проведены численные расчеты параметров ЭДС (амплитуда и фазовый сдвиг ЭДС относительно внешнего поля) с последующим обсуждением алгоритма построения компьютерной программы численного построения графиков параметров ЭДС. Исследуя ЭДС, мы теряем информацию о структуре магнитного поля внутри цилиндра, так как ЭДС определяется интегральной характеристикой поля - потоком через поперечное сечение проводника.
2. Математическая постановка задачи
При гармонической зависимости внешнего магнитного поля от времени, напряженность поля удобно представить в комплексном виде
IMG_e2d1c77f-fb23-421e-9c1f-265f2834bcec . Магнитное поле внутри проводящего цилиндра определяется уравнениями Максвелла в квазистационарном приближении [1, 4]. Зависимость этого поля от радиальной координаты r и t имеет вид
IMG_f890cbd9-92fc-401c-8e3c-f86ea44e4a50 где
IMG_f538151d-c83a-4a7e-8e18-a8be44e1f60e ,
IMG_d575e3dd-5c05-47ab-94f5-efb97a33ce2b - толщина скин-слоя определяется соотношением
IMG_51110e81-1f9a-4b79-bd1c-d8482a6c0363 .
В формулу (1) входят функции Бесселя нулевого порядка, определяемые степенным рядом
IMG_0e9eaa70-1f3b-47bf-812e-89b7a4927aba
Для анализа выражения (1) приведем его к виду, удобному для применения методов вычислительной математики. Рассмотрим
IMG_99c6a9c4-7772-457c-9172-56e82f92ae5a - ряд, являющийся знаменателем в формуле (1). Учтем, что
IMG_b8a3b326-ee34-4bc5-aae0-9ec23e72939c .
Введем безразмерную переменную
IMG_1ffd04ba-88ce-4874-ac39-274783fa6df5 , тогда
IMG_0e19ff30-659f-4018-830b-cd029cdf59a6 как функция z, примет вид
IMG_cd83d69c-bf3f-4fa7-b73d-ff750b881687
В сумме (3) выделим действительную и мнимую части, т.е. представим
IMG_efa5d1f4-39be-4065-a417-48cc5a11c095
.
Несложно показать, что
IMG_303c786b-881d-4920-9bb6-1cb3247c374e
IMG_c7d7d56f-0479-476b-b945-eae84b3c1b00
Ряды (4) и (5) знакопеременные, поэтому их можно численно суммировать с заданной точностью. Функцию
IMG_c4ada791-17cb-4926-8964-0f4fa1903a30 , стоящую в числителе соотношения (1), также представим в виде комплексного числа
IMG_fbe2c83e-2fe2-4eda-bdca-819857d1cd71 . Величина
IMG_f1e91c91-18cc-43ba-ae7e-7c1b8f811018 определяется рядом (4), где аргументом является величина
IMG_ff3c0c39-60c3-4b0b-ad4e-ae7e3e5ba81c , h - безразмерная радиальная координата, равная
IMG_107b0338-149c-48c8-b2e8-53fc6a3388d8 , (
IMG_594f2947-bfc4-4896-8d43-2d7134e7bb8d ). Величина
IMG_9df3c10d-dcaf-4fd5-920f-326f9b2290bc определяется суммой (5), где z заменена на величину
IMG_08b415ea-f402-444e-a59c-67078354de9e .
IMG_be812a5c-a3ed-4d6e-8090-3069535dcec1 в новых переменных примет вид
IMG_b043da39-ca95-4da5-b482-8546b1d4eb08
Формула (6) стандартным образом [2] приводится к виду
IMG_1e5bb8eb-fd80-40ed-bb3a-cf43fbf069ec aaa
IMG_da6b8dd8-8a40-49e5-8093-705882e29356
Величина
IMG_1ba14b96-94d5-4fb8-9c5c-dbf6cddf0099 является безразмерной амплитудой поля (6).
IMG_1d72151f-5b71-4963-8e49-ebac10e940f6 определяет сдвиг фазы магнитного поля внутри цилиндра относительно внешнего магнитного поля. Действительная часть выражения (7) определяет магнитное поле внутри цилиндрического образца. Величины
IMG_128ad5a1-01c0-47b2-ae80-4b4d5304edc2 и
IMG_4e72d004-19c7-48a4-8b0f-ab15b1244a2d являются функциями z. Величины
IMG_0d47bfeb-13c9-4bd2-84e5-3569518d5c4c и
IMG_e415e1f3-7f43-4ab2-aea3-65dc59dc3078 зависят от z и h. Это означает, что z и h являются управляющими параметрами исследуемой физической системы. Магнитное поле внутри цилиндра определяется тремя параметрами a, w, s, входящими в
IMG_25685c13-d587-4f4e-b596-85126df291b9 . Помимо этого, магнитное поле сложным образом зависит от радиальной координаты. Все эти зависимости можно определить, только используя компьютерные технологии.
3. Численное построение графиков
IMG_2d029f70-f01f-4ec6-9e68-3235cf1bd2ce и
IMG_be9a7e95-f770-4e24-bbda-fdc718d07328 Прежде всего, студент должен предложить алгоритм суммирования рядов (4) и (5). Эти ряды напоминают ряды, определяющие тригонометрические функции
IMG_f7421f1a-ee1f-4371-aeff-46308e4afa37 и
IMG_535fa642-ec8e-4949-b563-4ab7be84b1a9 . Отличие состоит в том, что знаменателями в слагаемых ряда стоят квадраты соответствующего факториала. Поэтому в учебных целях студенту можно сначала предложить написать программу построения графика
IMG_371b5a96-b17c-4678-ba91-32b46aea2f24 , который определяется рядом
IMG_502f015b-2864-4976-aa18-5cd3c596930d Этот ряд почти совпадает с рядом, определяющим
IMG_3a828ef6-6ce8-43e4-bdb7-2821a7a16c61 .
Листинг программы построения графиков screen 9 графический редактор window (-0.1,-1.6)-(1.1,1.6)
Line(-0.1,0)-(1.1,0):Line(0,1)-(1,1) координатные оси p=4*atn(1) число
IMG_19a53654-1725-4213-8a7d-56131e698a3e line(-0.1,p/2)-(1,p/2):line(-0.1,-p/2)-(1,-p/2) вспомогательные линии z=2.02 величина z, при которой строятся графики n1=1000000 число слагаемых в рядах (4), (5) for h=0 to 1 step 0.01 цикл по h z1=h*h*z:a=1:x=-z1*z1:s=1 цикл вычисления
IMG_de49e56d-bdaa-4af5-a24d-dcd9677ce4fc for n=2 to n1 step 2 b=(n-1)*n*n*(n-1) a=a*x/b s=s a a1=s next n d1=a1*a1 a=-z1:s=-z1:x=-z1*z1 цикл вычисления
IMG_c1a1b39f-e956-4553-8ffb-6aebaca5ceaa for n=3 to n1 step 2 b=(n-1)*n*n*(n-1) a=a*x/b s=s a b1=s next n d2=b1*b1 a=1:s=1:x=-z*z цикл вычисления
IMG_8f947a90-9984-4e81-a3d0-d092e7045ff2 for n=2 to n1 step 2 b=(n-1)*n*(n-1)*n a=a*x/b s=s a a0=s next n d3=a0*a0 a=-z:s=-z:x=-z*z цикл вычисления
IMG_e55cf7d5-44a9-4549-be4a-e51897be77de for n=3 to n1 step 2 b=(n-1)*n*(n-1)*n a=a*x/b s=s a b0=s next n d4=b0*b0 f0=(d1 d2)/(d3 d4) y=(f0^0.5) pset(h,y),2 построение графика
Предложен оригинальный алгоритм построения программы численного изучения радиальной зависимости амплитуды и фазового сдвига магнитного поля в цилиндрическом проводнике, помещенном во внешнее квазистационарное магнитное поле. Программа позволяет «посмотреть», что происходит с полем внутри проводника с изменением управляющих параметров z и h. Из построенных графиков следует, что с ростом z и h поле внутри проводника структурируется. Амплитуда локализуется в поверхностном слое цилиндра. Фазовый сдвиг поля с ростом z разбивается на ячейки, внутри которых фазовый сдвиг меняется от
IMG_eec320c2-cc05-4f63-8105-197061a30efb до
IMG_f3d11332-2511-4a70-bc3f-ae892775ddd3 . Это означает, что обратные связи, обусловленные явлением электромагнитной индукции, качественно меняют радиальное распределение поля. Скачки фазы приводят к тому, что поле в координате скачка меняет направление на противоположное. Проверка полученного результата предполагает измерение ЭДС, наведенной в индукционном датчике исследованным полем
IMG_7e556c67-d58d-4b2c-a99e-627ec64ba753 .
Использование данного метода анализа физической задачи рекомендуется студентам педагогических (физика), естественнонаучных и технических специальностей. Изучая квазистационарные магнитные поля в проводниках, и применяя современные информационные технологии, студент имеет возможность качественно поднять свой уровень по физике.
Список литературы
1. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике: учеб. пособие / под ред. М.М. Бредова. - М.: Наука, 1970. - 502 с.
2. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики - М.: Наука, 1972. - 592 с.
3. Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. - М.: Янус-К, 2002. - 284 с.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 8. Электродинамика сплошных сред / под ред. Л.П. Питаевского. - М.: Физматлит, 2003. - 649 с.
5. Черных А.Г. Бесконтактное измерение электросопротивления проводников в переменном магнитном поле. Часть 2 // Физическое образование в вузах. - 2013. - Т. 19. - N 3. - С. 138-150.
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
