Компьютерное моделирование визуальных образов из курса математического анализа: функции и множества одной переменной - Курсовая работа

Однако не редко, в виду их сложности, материал усваивается тяжело, происходит неправильное восприятие, формируются стереотипы, которые ведут к заблуждениям и недопониманию. Как донести информацию до учащихся в доступном и понятном виде так, чтобы это легко воспринималось, закладывалось в памяти и не вызывало ошибочных стереотипов? А если материал преподать еще и в интересном и интерактивном виде, то это запомнится на долго и будет лучше и практичнее как в плане подачи материала, так и в плане его восприятия, ведь всем известно, что большую часть информации мы получаем визуально. Никитиным был разработан спецкурс «Избранные главы математического анализа», который проводился в прошлом году на нашем курсе в качестве факультатива. Исходя из этого, я поставила перед собой задачу - визуализировать некоторые примеры из курса «Избранные главы математического анализа», составить интерактивные модули, с помощью которых студент без особых сложностей сможет разобраться в особенности каждой конкретной задачи.Два оставшихся сегмента назовем сегментами первого ранга , а выброшенный интервал - смежным интервалом первого ранга. Далее так же продолжаем делить каждый из отрезков первого ранга и удалять из них средние интервалы (смежные сегменты второго ранга). Продолжая процесс счетное число раз, мы получим на шаге n в качестве - объединение отрезков n-го ранга. Множество называется предканторовым множеством n-го ранга, а их счетное пересечение канторовым множеством. Точку множества Кантора можно получить как предел точек множества Кантора (т.к. в любой окрестности их нечетное число), так и как предел середин смежных интервалов (т.к. в любой окрестности найдется смежный интервал).Построим на плоскости интересное множество В следующим образом: разделим, квадрат прямыми на 9 равных квадратов и выбросим их них пять открытых, не примыкающих к вершинам исходного квадрата.Назовем Канторовой гребенкой множество D на плоскости Oxy, состоящее из всех точек ,координаты которых удовлетворяют следующим условиям: , где - множество Кантора на оси Oy.На первом шаге построения положим в точках смежного интервала первого рода значение функции равное 0,5. На втором шаге каждому смежному интервалу второго рода положим значение функции соответственно 0.25 и 0.75. Т.е. мы как бы делим каждый отрезок на оси Oy пополам (yi) и ставим в соответствующем смежном интервале значение функции равное значению yi. В результате мы получили неубывающую функцию (было доказано в рамках курса «Избранные главы математического анализа»), определенную на отрезке [0, 1] и постоянную в некоторой окрестности каждой точки из множества [0, 1]\ .На нулевом шаге зададим две точки: и . На первом и последующем шагах будем задавать точки по следующему правилу: для каждых двух соседних по оси абсцисс ранее построенных точек и мы будем строить две новые точки и центрально-симметрично относительно центра прямоугольника, задаваемого точками и с коэффициентом k. , строятся по две точки во всех промежутках по оси абсцисс между соседними уже построенными точками. Это построение выполняется так: промежутки по оси абсцисс между соседними точками (прямоугольники со сторонами a и b) делятся на 3 равные части каждый. · построенная непрерывная на сегменте [0, 1] функция не имеет ни в одной точке данного отрезка даже односторонних производных;В своей работе я реализовала некоторые примеры из курса «Избранные главы математического анализа». Алгоритмы построения, а также некоторые функции библиотеки Skeleton были специально подобраны и усовершенствованы под данный тип задач (рассматривались в основном фракталы).

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1. СОВЕРШЕННЫЕ НИГДЕ НЕ ПЛОТНЫЕ МНОЖЕСТВА НА ПРЯМОЙ

1.1 Множество Кантора

1.2 Задача 1

1.3 Задача 2

2. СОВЕРШЕННЫЕ НИГДЕ НЕ ПЛОТНЫЕ МНОЖЕСТВА НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Кладбище Серпинского

2.2 Гребенка Кантора

3. ФУНКЦИЯ КАНТОРА

4. ВСЮДУ НЕПРЕРЫВНАЯ, НО НИГДЕ НЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Сегодня математика занимает особое место в жизни человека, она следует за ним везде. С развитием новых технологий ее важность увеличилась в разы. Чтобы решать какие-либо проблемы в нашей жизни, мы часто применяем математические методы. Для этого нужно иметь хорошую базу - знание основных дисциплин, таких как математический анализ, алгебра и т.д. Однако не редко, в виду их сложности, материал усваивается тяжело, происходит неправильное восприятие, формируются стереотипы, которые ведут к заблуждениям и недопониманию.

И тут возникает вопрос, как решить эту проблему? Как донести информацию до учащихся в доступном и понятном виде так, чтобы это легко воспринималось, закладывалось в памяти и не вызывало ошибочных стереотипов?

Последнего можно добиться путем рассмотрения нетривиальных задач-контрпримеров, которые направлены на разрушение сформировавшихся у студента стереотипов. А если материал преподать еще и в интересном и интерактивном виде, то это запомнится на долго и будет лучше и практичнее как в плане подачи материала, так и в плане его восприятия, ведь всем известно, что большую часть информации мы получаем визуально.

Моим научным руководителем А.А. Никитиным был разработан спецкурс «Избранные главы математического анализа», который проводился в прошлом году на нашем курсе в качестве факультатива. Его цель - повышение математической культуры слушателей путем преодоления устоявшихся стереотипов. В нем особое внимание как раз, уделяется решению нестандартных задач, выходящих за пределы классической программы. Многие из них требуют понимания основных понятий фрактального счисления. Эта область мало освещена в большинстве программ высших учебных заведений, и почти не изучается в школах. В виду новизны, очень мало учебной литературы по и наглядных материалов по этому курсу, что вызывает трудности в преподавании этой дисциплины.

Исходя из этого, я поставила перед собой задачу - визуализировать некоторые примеры из курса «Избранные главы математического анализа», составить интерактивные модули, с помощью которых студент без особых сложностей сможет разобраться в особенности каждой конкретной задачи.

Идея визуализации сложных учебных понятий показалась нам очень перспективной и полезной, как для преподавателей, так и для студентов (школьников). В этом году на научно-исследовательском семинаре «Компьютерное моделирование непрерывных процессов» группа студентов и преподавателей факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ, в которую я так же вхожу, а также специалистов и экспертов МЛАВР, работала (и продолжает работать) над реализацией этой идеи в проекте www.visualmath.ru.

Проект включает в себя как техническую сторону - разработку мощной программной платформы, так и методическую - тематическое наполнение курсов на примере предмета математического анализа (создание библиотеки визуальных модулей и нужного материала). Так, преподаватель уже может конструировать текущее занятие, выбирая и вставляя нужные модули на полотно лекции, а затем запускать ее для демонстрации как презентацию. Студенты, слушающие данный курс, могут также получить авторизованный доступ в системе, соединиться с сервером через web-браузер на любом мобильном устройстве. При этом, демонстрация лекции в браузерах слушателей синхронизируется с состоянием лекции преподавателя. Еще одна из существенно важных возможностей заключается в том, что студенты могут интерактивно отвечать на вопросы преподавателя в режиме реального времени, которые предоставляются как закрытые тесты в рамках демонстрируемой лекции. После завершения опроса рассчитывается статистика ответов, происходит обсуждение полученных результатов. Все это позволяет преподавателю наполнить свою лекцию яркими визуальными примерами, которые будут способствовать более глубокому пониманию материала. Текст, который возникает у студента перед глазами, будет способствовать экономии времени, которое можно потратить на блиц-вопросы во время лекции, а также в конце занятия для закрепления изложенного материала.

На данный момент по программной части проекта для создания визуализации как анимированных, так и статических математических учебных моделей изготовлены две уникальные библиотеки для разработчиков двумерной (Skeleton) и трехмерной графики (Grafar) на JAVASCRIPT и серверная программная платформа, которая предоставляет широкий спектр функционала, как для преподавателей, так и для студентов. Мои программы написаны на библиотеке Skeleton, которая отлично подошла для выполнения поставленных мною задач.

В своей работе я реализовала некоторые примеры из курса «Избранные главы математического анализа». В данную работу были вставлены скриншоты визуализированных мною программ. На деле они все интерактивные, студент может посмотреть вид функции на конкретном шаге, строить их сам итерационно и приближать масштаб. Алгоритмы построения, а также некоторые функции библиотеки Skeleton были специально подобраны и усовершенствованы под данный тип задач (рассматривались в основном фракталы).

Данный материал, несомненно будет полезен преподавателям и учащимся и является хорошим сопровождением лекций курса «Избранные главы математического анализа». Интерактивность данных визуализаций помогает лучше понять природу построенных множеств и облегчают процесс восприятия материала учащимися.

Описанные программы вошли в библиотеку визуальных модулей проекта www.visualmath.ru, например, вот уже рассмотренная нами функция Кантора:

В дальнейшем предполагается расширять список визуализируемых задач и улучшать алгоритмы построения для более эффективной работы программ. Работа в проекте www.visualmath.ru, несомненно, принесла много пользы и опыта, навыки работы в команде, умение оценивать и максимально понятно преподносить учебный материал.

1. Б. Гелбаум, Дж Олмстед, Контрпримеры в анализе. М.: Мир.1967.

2. Б.М. Макаров и др. Избранные задачи по вещественному анализу. Невский диалект, 2004.

3. Б.Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. Институт компьютерных исследований, 2002.

4. Ю.С. Очан, Сборник задач и теорем по ТФДП. М.: Просвещение. 1963.

5. В.М. Шибинский Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. М.: Высшая школа, 2007.

6. Р.М.Кроновер, Фракталы и хаос в динамических системах, М.:Постмаркет, 2000.

7. А. А. Никитин, Избранные главы математического анализа // Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, 2011 / ред. С. А. Ложкин. М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011. С. 71-73.

8. Р.М. Кроновер, Фракталы и хаос в динамических системах, М.:Постмаркет, 2000.

9. Фрактал и построение всюду непрерывной, но нигде недифференцируемой функции // XVI международные Ломоносовские чтения: Сборник научных трудов. - Архангельск: Поморский госуниверситет, 2004. С.266-273.

Размещено на