Компактні різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь - Автореферат

У звязку з цим великого значення набули компактні різницеві схеми високого порядку точності, тобто схеми, які для звичайних диференціальних рівняннь-го порядку є-точковими. Вперше підхід до побудови точних триточкових різницевих схем та триточкових різницевих схем високого порядку точності на рівномірній сітці для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з крайовими умовами першого роду було анонсовано В.Л. Крім того, оскільки будь-яке нелінійне звичайне диференціальне рівняння-го порядку, розвязне відносно старшої похідної може бути зведене до системи диференціальних рівнянь першого порядку, то виникає питання побудови точної двоточкової (компактної) різницевої схеми та її реалізації через двоточкові схеми довільного порядку точності для таких систем з додатковими двоточковими крайовими умовами. У дисертаційній роботі для чисельного розвязування крайових задач для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь запропоновано компактні різницеві схеми високого порядку точності, які ґрунтуються на точних різницевих схемах. В роботах, виконаних у співавторстві, автор дисертації приймав участь в отриманні всіх результатів і особисто одержав такі: в [8] доведено існування точної триточкової різницевої схеми на рівномірній сітці, а також існування та єдиність її розвязку, обґрунтування алгоритмічної реалізації точних триточкових різницевих схем через триточкові різницеві довільного порядку точності; в [5-7,24] - формулювання задачі та аналіз результатів; в [26,27] - дослідження існування та єдиності розвязку задачі, побудова та обґрунтування точних двоточкових схем та двоточкових різницевих схем високого порядку точності; в [22,28] - розробка та обґрунтування нової алгоритмічної реалізації точних двоточкових різницевих схем через двоточкові різницеві схеми довільного порядку точності; в [23,29,30] - дослідження існування та єдиності розвязку задачі, побудова та обґрунтування точних триточкових схем та триточкових різницевих схем високого порядку точності; в [4] - розробка алгоритму розвязування задачі Коші; в [3] - дослідження математичної моделі, побудова різницевої схеми та розробка алгоритму розвязування задачі, в [1,2] - розробка чисельних методів розвязування.Далі в цьому підрозділі обговорюються питання побудови ТТРС та її алгоритмічної реалізації через відсічені ТРС довільного порядку точності для систем лінійних ЗДР другого порядку з крайовими умовами Діріхле. Крім того, розглядаються проблеми побудови ТРС високого порядку точності для нелінійних ЗДР другого порядку та двоточкових різницевих схем високого порядку точності для систем нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку. В другому розділі для нелінійних ЗДР другого порядку з крайовими умовами першого та третього роду побудовано та обгрунтовано ТТРС на нерівномірній сітці. Третій розділ роботи присвячено побудові та обгрунтуванню точної двоточкової різницевої схеми (ТДРС) для систем ЗДР першого порядку з нероздільними крайовими умовами та її алгоритмічної реалізації через двоточкові різницеві схеми (ДРС) довільного порядку точності. Зазначимо, що крайову задачу для системи нелінійних ЗДР другого порядку можна звести до крайової задачі для системи нелінійних ЗДР першого порядку і використати двоточкові різницеві схеми, проте ці схеми обґрунтовано лише для задач з малими сталими Ліпшиця (див.В дисертаційній праці побудовано точні компактні різницеві схеми та компактні різницеві схеми високого порядку точності для чисельного розвязування крайових задач для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь.

Основний зміст роботи

В дисертаційній праці побудовано точні компактні різницеві схеми та компактні різницеві схеми високого порядку точності для чисельного розвязування крайових задач для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь.