Основные аксиомы, теоремы, тождества алгебры логики. Переключательные функции. Расчет комбинационной логической схемы по заданной переключательной функции. Минимизация переключательных функций с помощью карт Карно. Скобочные формы логических уравнений.
Методы синтеза и анализа всех классов цифровых схем построены на базе алгебры логики, которая является основным математическим аппаратом описания и преобразования структуры цифровых схем [1]. В алгебре логики рассматриваются переменные, которые могут принимать только два значения: 0 и 1 (например, 0 - событие не происходит, 1 - происходит; 0 - ложное высказывание, 1 - истинное; 0 - низкий уровень напряжения, 1 - высокий; 0 - разомкнутый контакт, 1 - замкнутый). При преобразовании логических выражений, как и в обычной алгебре, должен соблюдаться порядок выполнения операций (порядок старшинства операций) - сначала отрицание, затем конъюнкция и потом дизъюнкция. Все тождества записаны парами на основании того, что по принципу двойственности из одного тождества пары можно получить другое взаимной заменой операций дизъюнкции и конъюнкции, а также значений 0 и 1.Двоичная функция может принимать только два значения: 0 и 1 - в зависимости от значений переменных. Совокупность значений переменных, в которой каждая переменная может принимать значения 0 или 1, называется набором. Таблица истинности ПФ, значения которой соответствуют значениям, принимаемым большинством переменных в наборе (функция голосования), определяет ПФ мажоритарного элемента “два из трех” (переноса двоичного разряда. Кодовые комбинации, задающие координаты двух соседних столбцов (строк), соответствуют двум соседним кодовым комбинациям циклического кода Грея .Соседние комбинации такого кода отличаются значениями только одной переменной. Числовой способ, когда ПФ задается в виде десятичных номеров тех наборов переменных, на которых функция принимает значение 1.ПФ y(xn-1... x0) называется полностью определенной, если ее значения 0 или 1 заданы на всех 2n наборах. Если же значения функции не заданы хотя бы на одном наборе, то она называется не полностью определенной. Значения функции могут считаться неопределенными, если: а) в процессе работы логической схемы на ее входы никогда не подаются некоторые наборы сигналов, и, следовательно, функции y в таких случаях можно приписать неопределенные значения; б) разработчика логической схемы не интересует, какое значение примет выходной сигнал при некоторых наборах входных сигналов; в) при некоторых наборах входных сигналов значения выходного сигнала логической схемы 0 и 1 вызывают один и тот же результат в логическом устройстве, для которого он используется в качестве входного.Структурные формулы для заданной ПФ позволяют осуществить переход к тому цифровому логическому устройству, которое выполняет логические операции, входящие в структурную формулу. Например, для реализации выражения (1) требуются 3 элемента НЕ (для получения инверсий переменных - ), 4 трехвходовых элемента И (для получения конъюнкций - Сказанное приводит к выводу, что при прямом способе построения логического устройства на основе использования структурной формулы, сложность логического устройства определяется сложностью структурной формулы. Задача проектировщика состоит не только в том, чтобы создать устройство, выполняющее заданную ПФ, но и в том, чтобы из всех возможных вариантов выбрать наилучший, требующий меньшего числа элементов для реализации. При этом могут улучшаться не только технико-экономические (стоимость, масса, габариты), но и чисто технические показатели (например, быстродействие) разрабатываемого устройства, так как длинные цепи логических элементов вносят большее время задержки сигнала на выходе при переключениях устройства.Задача минимизации структурной формулы ПФ состоит в том, чтобы получить логическое выражение в минимальной дизъюнктивной нормальной форме (МДНФ) или в минимальной конъюнктивной нормальной форме (МКНФ), соответствующее заданной ПФ и содержащее наименьшее количество инверсий, конъюнкций и дизъюнкций и наименьшее число переменных (или их инверсий), над которыми выполняются операции конъюнкции и дизъюнкции. Суть минимизации ПФ заключается в использовании закона склеивания соседних минтермов, которым на карте Карно соответствуют клетки, заполненные единицами, или соседних макстермов, которым соответствуют нулевые клетки (пустые). Подкуб - это совокупность 2i соседних клеток карты Карно, заполненных единицами (нулями), для которых по крайней мере одна переменная в координатах всех этих 2i клеток имеет неодинаковые значения (0 и 1). Действительно, подкуб, состоящий из двух клеток, соседних по горизонтали или вертикали (рис.2,а,б,в,г) характеризуется тем, что координаты его клеток различаются значением одной переменной, а остальные переменные имеют одинаковое значение. Четырехклеточный подкуб содержит клетки, координаты которых различаются значениями двух переменных (рис.3,а,б,в), следовательно, четырехклеточный подкуб позволяет исключить две переменные.Если при проектировании логических схем предъявляется требование получения максимального быстродействия, логическая схема строится на основе представления ПФ в нормальной алгебраической форме. Получим их на примере проектирования мажоритарной логической схемы (
План
Содержание
1. Основные аксиомы, теоремы и тождества алгебры логики
2. Переключательные функции
3. Не полностью определенные переключательные функции
4. Построение комбинационной логической схемы по заданной переключательной функции
5. Минимизация переключательных функций с помощью карт Карно
6. Нормальные формы логических уравнений. Преобразование логических уравнений к заданному базису
7. Скобочные формы логических уравнений
8. Комбинационные схемы
Список литературы
1. Основные аксиомы, теоремы и тождества алгебры логики
