Специфіка знаходження точних оцінок середніх інтегральних коливань істотно обмежених функцій та характеристика одержання точних оцінок локальної гладкості сингулярних інтегралів. Особливості вивчення різницевих властивостей деяких максимальних функцій.
Аннотация к работе
Початок активних досліджень класів функцій, які визначаються в термінах середніх інтегральних коливань, було покладено у роботі Ф. В цій роботі встановлена важлива властивість функцій з обмеженим середнім коливанням (BMO - Bounded Mean Oscillation) - експоненціальну швидкість спадання функції розподілу. Спанне розглядали класи функцій, середні коливання яких спадають с заданою швидкістю, а Д. Вивченню таких класів присвячена велика кількість робіт, а простір BMO відіграє важливу роль в сучасному аналізі. Мечникова в рамках науково-дослідної роботи за темою № 229 (2001-2005 р.) "Теорія наближення функцій і теорія сингулярних операторів із зсувом" наказ ОНУ № 550-18 від 26.03.01, а також є складовою частиною досліджень, що виконуються за проектом Державного Фонду Фундаментальних Досліджень, грант Ф7/329-2001.Також вивчаються деякі властивості просторів, що визначені в термінах середніх і нижніх коливань функції. У випадку q>2p-2 існує така функція , що опукла вгору, і знайдуться такі , для яких нерівність (1) не виконується. Нехай фіксоване число і для функції виконується умова (1). Тоді для будь-якої функції справедлива нерівність Якщо, крім того, функція задовольняє нерівність (1) при p=2, то (2) набуває більш простого вигляду.Перший розділ дисертаційної роботи присвячений вивченню властивостей середніх і нижніх коливань, а також дослідженню класів функцій, які визначаються в термінах таких коливань. Отримано точні оцінки середніх інтегральних коливань істотно і слабко обмежених функцій. Далі, у термінах рівновимірних переставлень отримана умова, що гарантує зникаюче середнє коливання функції, та необхідна і достатня умова обмеженості нижнього коливання. Знайдено точну оцінку норми рівновимірного переставлення в просторі функцій з обмеженим нижнім коливанням.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ роботи
Вывод
Перший розділ дисертаційної роботи присвячений вивченню властивостей середніх і нижніх коливань, а також дослідженню класів функцій, які визначаються в термінах таких коливань. Отримано точні оцінки середніх інтегральних коливань істотно і слабко обмежених функцій. У багатовимірному випадку ці оцінки доведені завдяки застосуванню рівновимірних переставлень. При доведенні використовувалась нерівність М. П. Корнєйчука. Також знайдені необхідна та достатня умови для справедливості цієї нерівності. Далі, у термінах рівновимірних переставлень отримана умова, що гарантує зникаюче середнє коливання функції, та необхідна і достатня умова обмеженості нижнього коливання. Знайдено точну оцінку норми рівновимірного переставлення в просторі функцій з обмеженим нижнім коливанням.
У другому розділі вивчається локальна гладкість згортки. Отримано точні за порядком оцінки для випадків непарного і сумовного ядер в термінах максимальної функції Кальдерона, які уточнюють деякі відомі раніше аналогічні оцінки. Також розглянута одна спеціальна максимальна функція, яка вимірює локальну гладкість. Отримано оцінку рівновимірного переставлення в термінах цієї максимальної функції, з якої, зокрема, випливає одна відома лема Макенхаупта. Досліджується поведінка в околі точки розриву максимальних функцій Харді-Літтлвуда і Феффермана-Стейна. Побудовано приклади, що показують остаточність результатів.
Список литературы
1. Леончик Е. Ю. Ободном неравенстве из теории приближения // Укр. мат. журн. - 2003. - Т. 55, № 11. - C. 1580-1585.
2. Leonchik E. Some conditions implying BLO, VMO, boundedness and continuity // Matematychni Studii. - 2003. - Vol. 20, № 1. - P. 27-32.
3. Леончик Е. Ю. Об оценке локальной гладкости сингулярных интегралов // Известия ВУЗОВ. Матем. - 2003. - Т. 490, № 3. - С. 20-30.
4. Леончик Е. Ю. О поведении максимальной функции Харди-Литтлвуда в точке разрыва // Вісник Одеськ. держ. ун-ту. - 2000. - Т. 5, вип. 3, фіз.-мат. науки. - С. 12-17.
5. Леончик Е. Ю. О поведении максимальной функции Харди-Литтлвуда в точке разрыва // Abstracts of conference "Functional Methods in Approximation Theory, Stochastic Analysis and Statistics". Kyiv: Kyiv National Taras Shevchenko Uneversity. - 2001. - P. 41-42.
6. Леончик Е. Ю. Ободном неравенстве из теории приближения // Матеріали IX Міжнародної наукової конференції ім. академіка М. Кравчука. - Київ: Інститут математики НАН України. - 2002. - С. 316.
7. Леончик Е. Ю. Ободном неравенстве из теории приближения // Book of abstracts of International Conference dedicated to the 110th anniversary of Stefan Banach "Functional Analysis and its Applications". Lviv: Lviv Ivan Franko National University. - 2002. - P. 226.