Розробка моделей неосесиметричних коливань шаруватих тонкостінних п’єзоелектричних елементів з врахуванням дисипації. Виявлення впливу на їх стан дисипативного розігріву. Розробка ефективних методів розв’язання лінійних і нелінійних крайових задач.
При низкой оригинальности работы "Коливання і дисипативний розігрів в’язкопружних шаруватих тонкостінних п’єзоелементів", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Дисертаційна робота присвячена розробці моделей вимушених неосесиметричних коливань і дисипативного розігріву тонкостінних шаруватих пєзоелектричних елементів; розробці чисельно-аналітичних методів розвязування крайових задач, до яких приводять ці моделі; розвязанню конкретних задач на основі розроблених моделей і методів та виявленню основних закономірностей впливу дисипативного розігріву на механічний і тепловий стан таких елементів. Поряд з потребами техніки, необхідність у вивченні впливу дисипативного розігріву на коливальні процеси в тонкостінних елементах диктується і внутрішньою логікою розвитку термомеханіки, бо це дозволяє вивчити більш широке коло явищ в них, дослідити вплив дисипативного розігріву на їхній електромеханічний і тепловий стан, дати оцінку меж застосування постановок задач, в яких розігрів не враховується. Мета й задачі дослідження полягають у розробці моделей неосесиметричних коливань шаруватих тонкостінних пєзоелектричних елементів з врахуванням дисипації і породженого нею дисипативного розігріву; розробці ефективних чисельно-аналітичних методів розвязання лінійних і нелінійних крайових задач, що виникають при застосуванні цих моделей; розвязанні на основі розроблених моделей і методів конкретних задач і виявленні основних закономірностей впливу дисипативного розігріву на неосесиметричний механічний і тепловий стан вказаних елементів. Основні результати роботи стосуються квазістатичних і динамічних задач про неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів шаруватих тонкостінних пєзоелектричних елементів з врахуванням дисипативних електромеханічних властивостей матеріалу, породженого дисипацією вібророзігріву й залежності характеристик матеріалу від температури. У роботі: 1) вперше розроблено ефективний чисельно-аналітичний метод розвязування задач про неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів шаруватих пєзоелектричних тонкостінних елементів у вигляді пластин і оболонок, в основі якого лежать ітераційні процедури лінеаризації відповідних нелінійних крайових задач із застосуванням скінченно - елементного методу (СЕМ) для розвязування лінійних крайових задач, що виникають на кожній ітерації; 2) для випадку, коли характеристики матеріалу не залежать від температури, вперше одержано точні аналітичні розвязки задач про резонансні коливання і дисипативний розігрів прямокутної пєзопластини й циліндричної пєзоелектричної панелі з шарнірно закріпленими торцями; ці розвязки мають як самостійне значення, так є й еталонними для оцінки ефективності та достовірності результатів, одержаних чисельними методами; 3) вперше дано постановку задач про тепловий пробій пєзоелектричних тонкостінних елементів і одержані розвязки ряду конкретних задач в рамках такої постановки ; 4) вперше досліджено вплив часткової теплової деполяризації на термомеханічний стан пєзоелектричних тонкостінних елементів; 5) вивчено вплив дисипативного розігріву, характеру навантаження, граничних умов, структурної неоднорідності тощо на електромеханічний і тепловий стан тонкостінних пєзоелементів.На основі концепції комплексних характеристик, гіпотез Кірхгофа-Лява про розподіл механічних польових величин по товщині оболонки, адекватних їм гіпотез відносно електричних польових величин і гіпотези про поліноміальний розподіл нормальної компоненти вектора теплового потоку по товщині одержано рівняння стану для комплексних зусиль, моментів, електричної індукції і дисипативних функцій. З використанням цих рівнянь і рівнянь руху, кінематичних співвідношень та рівняння енергії здійснено постановку нелінійної крайової задачі, яка описує неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів шаруватих пєзоелектричних пластин і оболонок, складених з пасивних і пєзоактивних дисипативних шарів, з врахуванням спряженності електромеханічних і теплових полів та залежності властивостей матеріалів від температури. Для випадку, коли властивості матеріалу не залежать від температури, одержано точні аналітичні розвязки задач про коливання і дисипативний розігрів біморфних прямокутної пластини й циліндричної панелі з шарнірно закріпленими торцями. За умови, що досягнення температурою вібророзігріву точки Кюрі не допускається, одержано прості формули для критичного значення параметра електричного навантаження біморфних пластин і циліндричних панелей, після досягнення якого має місце втрата елементом свого функціонального призначення. Одержано точні аналітичні розвязки задач про квазістатичні коливання і дисипативний розігрів шару, нескінченного порожнистого циліндра й кільцевої пластини з врахуванням часткової теплової деполяризації.
Вывод
1. На основі концепції комплексних характеристик, гіпотез Кірхгофа-Лява про розподіл механічних польових величин по товщині оболонки, адекватних їм гіпотез відносно електричних польових величин і гіпотези про поліноміальний розподіл нормальної компоненти вектора теплового потоку по товщині одержано рівняння стану для комплексних зусиль, моментів, електричної індукції і дисипативних функцій. З використанням цих рівнянь і рівнянь руху, кінематичних співвідношень та рівняння енергії здійснено постановку нелінійної крайової задачі, яка описує неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів шаруватих пєзоелектричних пластин і оболонок, складених з пасивних і пєзоактивних дисипативних шарів, з врахуванням спряженності електромеханічних і теплових полів та залежності властивостей матеріалів від температури.
2. Розроблено ефективну методику розвязування вищевказаної нелінійної крайової задачі, яка базується на ітераційних методах і скінчено-елементному методі розвязування лінійних крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних на кожній ітерації.
3. Для випадку, коли властивості матеріалу не залежать від температури, одержано точні аналітичні розвязки задач про коливання і дисипативний розігрів біморфних прямокутної пластини й циліндричної панелі з шарнірно закріпленими торцями. Крім самостійного значення , такі розвязки є еталонними при оцінці ефективності чисельних методів. Проведено порівняння результатів розрахунків, одержаних за допомогою скінченно-елементного методу й аналітичних розвязків, яке свідчить про високу точність і ефективність розробленої методики. За умови, що досягнення температурою вібророзігріву точки Кюрі не допускається, одержано прості формули для критичного значення параметра електричного навантаження біморфних пластин і циліндричних панелей, після досягнення якого має місце втрата елементом свого функціонального призначення.
4. Одержано точні аналітичні розвязки задач про квазістатичні коливання і дисипативний розігрів шару, нескінченного порожнистого циліндра й кільцевої пластини з врахуванням часткової теплової деполяризації. Одержано трансцендентні рівняння, розвязок яких дає залежність розмірів деполяризованої області від прикладеної різниці потенціалів. Задачу для кільцевої пластинки розвязано також в динамічній постановці з врахуванням залежності властивостей матеріалу від температури й часткової теплової деполяризації, при цьому виявлено як кількісний, так і якісний вплив сил інерції і теплової деполяризації на амплітудно- й температурночастотні характеристики.
5. Одержано розвязок динамічної задачі про коливання і дисипативний розігрів нескінченної циліндричної і сферичної пєзооболонок, що знаходяться в акустичному середовищі, з врахуванням залежності властивостей матеріалу від температури й теплової деполяризації. Проведено чисельне дослідження впливу сил інерції, акустичного середовища, залежності властивостей від температури й теплової деполяризації на їх електромеханічний і тепловий стан.
6. Поставлено й розвязано задачу про тепловий пробій шару, біморфних прямокутної пластини й циліндричної панелі. Визначення критичного значення параметра навантаження, після досягнення якого має місце лавиноподібне наростання температури (тепловий пробій), зведено до розвязання задачі на мінімальне власне число для деякого диференціального рівняння другого порядку в частинних похідних. Це дозволило одержати прості формули для критичного значення параметра електричного навантаження.
7. З використанням описаного вище підходу до розвязування нелінійних крайових задач на основі ітераційних методів і скінченно-елементного методу, одержано розвязки задач про коливання і дисипативний розігрів біморфних і тришарових прямокутних пластинок і циліндричних панелей. На основі чисельних розрахунків показано, що, починаючи з деякого рівня електричного навантаження, амплітудно- й температурночастотні характеристики коливань, частотні залежності коефіцієнтів затухання і коефіцієнтів електромеханічного звязку в околі резонансу мають типовий для нелінійних динамічних систем вигляд, незважаючи на те, що при постановці задачі використовуються лінійні рівняння стану для механічних і електричних польових величин.
Список литературы
1. Карнаухова Т.В. Тепловой пробой пьезоэлектрического слоя при гармоническом электрическом нагружении//Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов. Киев:Ин-т математики НАН Украины. - 1996. - С.130-132.
2. Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Математическое моделирование неосесимметричных колебаний и диссипативного разогрева поляризованных по толщине слоистых вязкоупругих пьезоэлектрических оболочек вращения// Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики. Сб. научных трудов международной конференции, посвященной 80-летию академика Ю.А. Митропольского ( Нальчик, 2-6 июня 1997г.). Киев: Ин-т математики НАН Украины. - 1997. - С. 151-154.
