Класифікаційні задачі групового аналізу диференціальних рівнянь - Автореферат

І хоч цей метод продовжують широко застосовувати, він дозволяє ефективно класифікувати лише прості класи диференціальних рівнянь з малою кількістю довільних елементів, що є або сталими, або функціями одного аргументу. Лі для класифікації звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, а значно пізніше розвинуто і застосовано до рівнянь з частинними похідними, зокрема, у роботах П. Відомі методи не дозволяли розвязувати задачі групової класифікації у класах рівнянь складнішої структури, які також виникають у застосуваннях, наприклад, у класах так званих нелінійних рівнянь реакції-конвекції-дифузії зі змінними коефіцієнтами. Для забезпечення розвязності і прийнятного формулювання класифікаційних результатів, необхідно було також модифікувати постановку задач класифікації у таких класах. Для назвемо множину точкових перетворень з системи у систему множиною допустимих перетворень з в і позначимо її через , а назвемо множиною допустимих перетворень у класі .У дисертації вдосконалено ряд існуючих і розроблено нові методи групового аналізу диференціальних рівнянь та суміжних галузей теорії алгебр Лі. Основні результати, що виносяться на захист, такі: · Введено низку нових понять, повязаних з класами диференціальних рівнянь: розширена (узагальнена розширена, умовна, потенціальна) група еквівалентності, нормалізований (напівнормалізований, строго нормалізований) клас, подібні класи, відображення між класами, породжене точковими перетвореннями тощо. Для дослідження задач групової класифікації розвинуто методи розбиття на нормалізовані підкласи, розгалуженого розщеплення, калібрування довільних елементів перетвореннями еквівалентності і відображеннями між класами диференціальних рівнянь. Поставлено задачі про класифікацію допустимих перетворень, ліївських симетрій, законів збереження, потенціальних симетрій та операторів редукції відносно різних типів еквівалентностей. · Використовуючи версію леми Адамара для розшарованих просторів та навантажені простори струменів і модифікуючи поняття цілковитої невиродженості систем диференціальних рівнянь, обґрунтовано коректність методів обчислення потенціальних законів збереження, що залучають характеристичну форму законів збереження.

абелевий шрьодінгер нелінійний просторовий

У дисертації вдосконалено ряд існуючих і розроблено нові методи групового аналізу диференціальних рівнянь та суміжних галузей теорії алгебр Лі. Переваги і можливості цих методів продемонстровано через їх застосування у різних класифікаційних задачах. Основні результати, що виносяться на захист, такі: · Введено низку нових понять, повязаних з класами диференціальних рівнянь: розширена (узагальнена розширена, умовна, потенціальна) група еквівалентності, нормалізований (напівнормалізований, строго нормалізований) клас, подібні класи, відображення між класами, породжене точковими перетвореннями тощо. Для дослідження задач групової класифікації розвинуто методи розбиття на нормалізовані підкласи, розгалуженого розщеплення, калібрування довільних елементів перетвореннями еквівалентності і відображеннями між класами диференціальних рівнянь. Визначено межі застосовності алгебраїчного методу. Ці поняття і методи істотно розширяють коло розвязних класифікаційних задач. Вони дозволяють адекватно формулювати проблеми класифікації для складних класів, узагальнювати постановки задач і отримувати кінцеві результати класифікацій у замкненому і простому вигляді. Поставлено задачі про класифікацію допустимих перетворень, ліївських симетрій, законів збереження, потенціальних симетрій та операторів редукції відносно різних типів еквівалентностей. Такі задачі розвязано для багатьох класів диференціальних рівнянь, важливих для застосувань.

· Вивчено ряд модифікованих і узагальнених задач групової класифікації. Зокрема, побудовано ієрархію вкладених нормалізованих класів нелінійних рівнянь Шрьодінгера у випадку довільної кількості просторових змінних. Виконано групову

· класифікацію у класах (1 1)-вимірних рівнянь Шрьодінгера з потенціалами та модульними нелінійностями, (1 2)-вимірних кубічних рівнянь Шрьодінгера з потенціалами, рівнянь Шрьодінгера з довільною нелінійністю, залежною лише від невідомої функції і спряженої до неї, нелінійних рівнянь реакції-дифузії та конвекції-дифузії зі змінними коефіцієнтами, узагальнених рівнянь Гамільтона-Якобі та систем двох двовимірних нелінійних рівнянь Лапласа.

· Використовуючи версію леми Адамара для розшарованих просторів та навантажені простори струменів і модифікуючи поняття цілковитої невиродженості систем диференціальних рівнянь, обґрунтовано коректність методів обчислення потенціальних законів збереження, що залучають характеристичну форму законів збереження. Доведено теорему про закони збереження двовимірних потенціальних систем, що індуковані законами збереження вихідних систем. Її узагальнено на багатовимірні абелеві накриття, (не)калібровані потенціальні, псевдопотенціальні та загальні розшаровані системи.

· Отримано критерій для визначення того, чи є закон збереження абелевого накриття чисто потенціальним законом збереження вихідної системи. Застосовуючи цей критерій, проаналізовано ієрархію потенціальних законів збереження рівнянь конвекції-дифузії.

· З точністю до контактної еквівалентності описано закони збереження (1 1)-вимірних еволюційних рівнянь другого порядку. Це значно узагальнює і водночас спрощує результати Р.Л. Брайанта і П.А. Гріфітса щодо класифікації законів збереження у (ненормалізованому) підкласі рівнянь, не залежних явно від часу.

· Запропоновано поняття сингулярних і регулярних операторів редукції. Показано, що особливі випадки редукції спричинено пониженням порядку розглядуваного рівняння на многовидах, заданих відповідними умовами інваріантної поверхні у просторі струменів.

· Описано сингулярні оператори редукції (1 1)-вимірних еволюційних і хвильових рівнянь, а також знайдено їх звязок із сімями розвязків відповідних рівнянь.

· Доведено «no-go» теорему про сингулярні оператори редукції диференціальних рівнянь з двома незалежними змінними, що допускають модулі векторних полів першого копорядку сингулярності. Вона істотно узагальнює відому «no-go» теорему Р.З. Жданова і В.І. Лагна про умовні симетрії (1 1)-вимірних еволюційних рівнянь.

· Знайдено всі оператори редукції багатовимірного лінійного рівняння теплопровідності. Це єдиний у літературі приклад обрахунку некласичних симетрій, коли кількість змінних довільна. Існуючі результати стосуються випадку, як правило, двох чи зрідка трьох незалежних змінних. Також прокласифіковано оператори редукції нелінійних рівнянь фільтрації, що дає один з небагатьох відомих прикладів вичерпного опису операторів редукції для важливого класу диференціальних рівнянь.

· Проведено розширений симетрійний аналіз (1 1)-вимірних лінійних еволюційних рівнянь другого порядку, що включає вивчення структури нормалізованих підкласів, локальних і потенціальних законів збереження, звичайних та узагальнених потенціальних симетрій і операторів редукції. До цього були відомі лише часткові результати про локальні закони збереження, найпростіші потенціальні симетрії і оператори редукції деяких рівнянь з цього класу.

· Застосовуючи оригінальний підхід, побудовано інваріанти серій розвязних алгебр Лі, нільрадикали яких ізоморфні алгебрі строго верхньотрикутних матриць. Цим підтверджено або уточнено кілька сформульованих у літературі гіпотез щодо таких інваріантів.

· Запропоновано нові необхідні критерії контракцій алгебр Лі і критерій нееквівалентності їх реалізацій, які дозволили описати контракції і реалізації алгебр Лі до розмірності чотири включно.

1. Kunzinger M. Singular reduction operators in two dimensions / M. Kunzinger, R.O. Popovych // J. Phys. A: Math. Theor. - 2008. - Vol. 41, № 50. - Paper 505201, 24 pp.

2. Kunzinger M. Potential conservation laws / M. Kunzinger, R.O. Popovych // J. Math. Phys. - 2008. - Vol. 49, № 10. - Paper 103506, 34 pp.

3. Popovych R.O. Local conservation laws of second-order evolution equations / R.O. Popovych, A.M. Samoilenko // J. Phys. A: Math. Theor. - 2008. - Vol. 41, № 36. - Paper 362002, 11 pp.

4. Popovych R.O. Reduction operators of linear second-order parabolic equations / R.O. Popovych // J. Phys. A: Math. Theor. - 2008. - Vol. 41, № 18. - Paper 185202, 31 pp.

5. Boyko V. Invariants of solvable Lie algebras with triangular nilradicals and diagonal nilindependent elements / V. Boyko, J. Patera, R. Popovych // Linear Algebra Appl. - 2008. - Vol. 428, № 4. - P. 834-854.

6. Rajaee L. Multidimensional quasi-simple waves in weakly dissipative flows / L. Rajaee, H. Eshraghi, R.O. Popovych // Phys. D. - 2008. - Vol. 237, № 3. - P. 405-419.

7. Popovych R.O. Exact solutions of a remarkable fin equation / R.O. Popovych, C. Sophocleous, O.O. Vaneeva // Appl. Math. Lett. - 2008. - Vol. 21, № 3. - P. 209-214.

Размещено на .ru