Класифікаційні задачі для рівнянь конвекції-дифузії та рівнянь Шрьодінгера - Автореферат

При дослідженні будьякого явища дослідник має справу з ієрархією моделей, яка складається, як правило, шляхом послідовного урахування різних факторів і містить нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними. Наприклад, групові властивості системи диференціальних рівнянь дозволяє генерувати нові розвязки з вже відомих, будувати для моделі закони збереження, виділяти класи інваріантногрупових розвязків, знаходження яких є більш простою задачею порівняно із знаходженням загального розвязку тощо. Для одного рівняння першого порядку цей метод дає явну формулу для загального розвязку. У багатьох випадках знання групи симетрій дозволяє вказати, коли рівняння можна перетворити на такі, що легше розвязуються, наприклад лінійні. У даній роботі поряд з уточненням та узагальненням отриманих раніше результатів, вводяться нові поняття та розвиваються нові методи групового аналізу, які дозволяють значно спростити знаходження законів збереження та розширити область застосування вже відомих методів групового аналізу, знаходяться закони збереження, проводиться групова класифікація та досліджуються інші симетрійні властивості широких класів рівнянь.У третьому розділі виконано класифікацію всіх локальних законів збереження для класу (1 1)вимірних рівнянь конвекціїдифузії Підсумовуючи отримані результати, можна побудувати вичерпну ієрархію законів збереження (включаючи локальні) для даного класу рівнянь з точністю до групи еквівалентності, яка виглядає наступним чином “загальний” локальний закон збереження для довільних значень параметрфункцій та вигляду (тут і надалі , - оператори повного диференціювання за змінними та відповідно, , ); один “загальний” локальний закон збереження та нескінченна серія найпростіших потенціальних законів збереження для рівняння Бюргерса вигляду , де потенціальна змінна визначається як , а - довільний розвязок лінійного рівняння теплопровідності ; У дисертації показано, що ієрархія законів збереження генерує повний перелік локально нееквівалентних потенціальних систем для класу (1): “загальна” потенціальна система Знайдено 8 нееквівалентних випадків розширення алгебри Лі ядра основних груп , оператори симетрії з яких генерують лише ліївські симетрії вихідного рівняння та 12 нееквівалентних випадків розширення алгебри , оператори симетрії з яких генерують потенціальні симетрії вихідного рівняння.Сформульовано нові поняття еквівалентності законів збереження відносно локальної групи перетворень та локальної залежності потенціалів, які дозволяють значно спростити знаходження законів збереження та розширити область застосування вже відомих методів групового аналізу. Виконано класифікацію всіх локальних законів збереження для класу (1 1)вимірних рівнянь конвекціїдифузії. Припускаючи можливість залежності законів збереження від кількох потенціалів, узагальнено ітераційну процедуру знаходження потенціальних законів збереження. За допомогою прямого ітераційного методу побудовано нелокальні (потенціальні) закони збереження для класу (1 1)вимірних рівнянь конвекціїдифузії та відповідні їм потенціальні системи. Побудовано потенціальні перетворення еквівалентності і потенціальні симетрії для класу (1 1)вимірних рівнянь конвекціїдифузії та досліджено звязок між потенціальними і класичними симетріями за допомогою потенціальних перетворень еквівалентності.

Основний зміст роботи

Узагальнено прямий метод знаходження законів збереження. Сформульовано нові поняття еквівалентності законів збереження відносно локальної групи перетворень та локальної залежності потенціалів, які дозволяють значно спростити знаходження законів збереження та розширити область застосування вже відомих методів групового аналізу. Виконано класифікацію всіх локальних законів збереження для класу (1 1)вимірних рівнянь конвекціїдифузії. Припускаючи можливість залежності законів збереження від кількох потенціалів, узагальнено ітераційну процедуру знаходження потенціальних законів збереження. За допомогою прямого ітераційного методу побудовано нелокальні (потенціальні) закони збереження для класу (1 1)вимірних рівнянь конвекціїдифузії та відповідні їм потенціальні системи.

Побудовано потенціальні перетворення еквівалентності і потенціальні симетрії для класу (1 1)вимірних рівнянь конвекціїдифузії та досліджено звязок між потенціальними і класичними симетріями за допомогою потенціальних перетворень еквівалентності. Показано, що нелокальні перетворення, які лінеаризують відомі рівняння Бюргерса, Фокаша-Йортсоса та дифузії, є потенціальними перетвореннями еквівалентності.

Виконано повну групову класифікацію (1 1)вимірних рівнянь конвекціїдифузії зі змінними коефіцієнтами відносно як загальної групи еквівалентності, так і усіх допустимих локальних перетворень. З використанням отриманих класифікаційних результатів проведено симетрійну редукцію і знайдено точні розвязки рівнянь, що належать до даного класу.

Досліджено різні види (умовні та частинні) додаткових перетворень еквівалентності на підкласах класу (1 1)вимірних рівнянь конвекціїдифузії зі змінними коефіцієнтами.

Виконано групову класифікацію (1 1)вимірних рівнянь Шрьодінгера з довільним потенціалом та степеневою нелінійністю. Знайдено всі можливі перетворення еквівалентності між рівняннями у даному класі. Показано, що всі такі перетворення належать до групи еквівалентності вихідного класу. Знайдено достатні умови існування та єдиності глобального розвязку та розвязку із загостренням задачі Коші для деяких класів нелінійних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом.

Проведено групову класифікацію вимірних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом типу гармонійного осцилятора та нелінійністю вигляду

.

[1] Ivanova N. Symmetry of nonlinear Schrodinger equations with harmonic oscillator type potential // Праці Інту математики НАН України. - 2002. - Т. 43 - C. 149-150.

[2] Ivanova N. Conservation laws and potential systems of diffusion-convection equations // Праці Інту математики НАН України. - 2004. - T. 50 - C. 149-153 (see also mathph/0404025).

[3] Popovych R.O., Ivanova N.M. New results on group classification of nonlinear diffusion-convection equations // J. Phys. A.: Math. Gen. - 2004. - V. 37. - P. 7547-7565 (see also mathph/0306035).

[4] Popovych R.O., Ivanova N.M., Eshraghi H. Lie symmetries of (1 1)dimensional cubic Schrodinger equation with potential // Праці Інту математики НАН України. - 2004. - T. 50 - C. 219-224 (see also mathph/0310039).

[5] Popovych R.O., Ivanova N.M., Eshraghi H. Group classification of (1 1)dimensional Schrodinger equations with potentials and power nonlinearities // J. Math. Phys. - 2004. - V. 45, № 8. - P. 3049-3057 (see also mathph/0311039).

[6] Іванова Н.М. Груповий аналіз нелінійних моделей реакції-дифузії // Матеріали Vї науковотехн. конф. “Авіа2003” - 2003. - Т. II. - С. 22.25-22.28.

[7] Popovych R.O., Ivanova N.M. Potential equivalence transformations for nonlinear diffusion-convection equations // mathph/0402066. - 8 p.

[8] Popovych R.O., Ivanova N.M. Hierarchy of conservation laws of diffusion-convection equations // mathph/0407008. - 24 p.