Класифікація функційних рівнянь малої довжини на квазігрупових операціях - Автореферат

Одним із підходів до вивчення квазігруп є функційний підхід, який покликаний вирішувати низку задач, серед яких: 1) встановлення термального звязку між класами алгебр, а саме, подання операцій із даного класу квазігруп у вигляді терма, тобто композиції операцій алгебр інших класів таких, як класи груп, комутативних груп, КЛМ тощо (теорема Брака-Тойоди, теорема про дистрибутивні квазігрупи, теорема про квадратичні квазігрупи); і навпаки, знаходження аксіоматик класів квазігруп, операції яких є композиціями операцій алгебр даного класу, ; Ефективним методом аналізу тотожностей є розвязання відповідного функційного рівняння, тобто рівняння, яке отримуємо з даної тотожності заміною кожної появи функційного символу функційною змінною відповідної арності (Врівноважені рівняння - В.Д.Білоусов; квадратичні - А.Крапєж, Ф.М.Сохацький). Це такі, як: скоротність, коли функційне рівняння рівносильне системі функційних рівнянь; клас квадратичних рівнянь, клас врівноважених рівнянь, коли розглядаються функційні рівняння з мінімально можливою кількістю появ кожної предметної змінної тощо. Знаючи результати розвязків одного функційного рівняння, можна легко виписати множину розвязків іншого функційного рівняння, яке отримується з даного перейменуванням предметних або функційних змінних чи заміною функційних змінних їх парастрофами з відповідною перестановкою підслів. Якщо одне функційне рівняння можна отримати з іншого за скінченну кількість зазначених кроків, то такі функційні рівняння Ф.М.Сохацьким названі парастрофно рівносильними і розроблено підхід до вивчення функційних рівнянь на квазігрупах за допомогою класифікації з точністю до парастрофної рівносильності.В.Д.Білоусов показав, що результат А.Сада правильний лише для рівнянь, названих ним рівняннями першого роду, в яких порядок розташування предметних змінних в лівій і правій частині рівняння однаковий. Проте вперше понятійний апарат для функційних рівнянь розробив Ф.М.Сохацький9 і відмітив залежність між множинами розвязків функційних рівнянь, в яких функційні змінні одного функційного рівняння є парастрофами іншого і запропонував розглядати функційні рівняння з точністю до парастрофної рівносильності. Встановлено, що рівняння від чотирьох предметних змінних, яке має принаймні одне самодостатнє підслово, парастрофно рівносильне точно одному із 12 функційних рівнянь (теорема 2.4.3). Подано множини розвязків кожного із цих чотирьох функційних рівнянь (теореми 2.7.1 - 2.7.4) і доведено існування не менше двох класів парастрофної рівносильності, які представлені рівняннями (2.56) або (2.57) та рівняннями (2.58) або (2.59) (теорема 2.7.5). Функційне рівняння називають: загальним, якщо воно є рівністю двох безповторних слів, які мають однакові предметні змінні; врівноваженим, якщо кожна предметна змінна має точно по одній появі в лівій і правій частинах рівняння; квадратичним, якщо кожна предметна змінна має в рівнянні точно дві появи; скоротним, якщо воно має самодостатню послідовність підслів; парастрофно скоротним, якщо воно парастрофно рівносильне деякому скоротному рівнянню.Отже, в даній дисертації: знайдено ряд інваріантів парастрофної рівносильності; дано повну класифікацію квадратичних функційних рівнянь від n (n=2, 3, 4) предметних змінних з точністю до парастрофної рівносильності; виділено представники кожного із класів парастрофної еквівалентності; знайдено множини розвязків рівнянь від n (n=2, 3, 4) предметних змінних; встановлено існування двох класів при n=2, чотирьох класів при n=3 і 17 класів при n=4; доведено, що кожне загальне квадратичне функційне рівняння від чотирьох предметних змінних, яке не має самодостатніх підслів, парастрофно рівносильне точно одному із пяти функційних рівнянь; встановлено, що кожне квадратичне парастрофно нескоротне функційне рівняння від пяти предметних змінних парастрофно рівносильне принаймні одному із чотирьох наведених функційних рівнянь, які не попадають в один клас за парастрофною рівносильністю; доведено існування функційних рівнянь, які не є квадратичними, але серед компонентів розвязку обовязково мають ізотопи груп. Встановлено, що існує 17 загальних квадратичних рівнянь від чотирьох предметних змінних; - доведення існування неквадратичних функційних рівнянь від трьох предметних змінних, які мають властивість ізотопності групі.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Отже, в даній дисертації: знайдено ряд інваріантів парастрофної рівносильності; дано повну класифікацію квадратичних функційних рівнянь від n (n=2, 3, 4) предметних змінних з точністю до парастрофної рівносильності; виділено представники кожного із класів парастрофної еквівалентності; знайдено множини розвязків рівнянь від n (n=2, 3, 4) предметних змінних; встановлено існування двох класів при n=2, чотирьох класів при n=3 і 17 класів при n=4; доведено, що кожне загальне квадратичне функційне рівняння від чотирьох предметних змінних, яке не має самодостатніх підслів, парастрофно рівносильне точно одному із пяти функційних рівнянь; встановлено, що кожне квадратичне парастрофно нескоротне функційне рівняння від пяти предметних змінних парастрофно рівносильне принаймні одному із чотирьох наведених функційних рівнянь, які не попадають в один клас за парастрофною рівносильністю; доведено існування функційних рівнянь, які не є квадратичними, але серед компонентів розвязку обовязково мають ізотопи груп.

Основними результатами дисертації є: - завершення класифікації загальних квадратичних функційних рівнянь малої довжини з точністю до парастрофної рівносильності на квазігрупах. Встановлено, що існує 17 загальних квадратичних рівнянь від чотирьох предметних змінних;

- знаходження серії інваріантів парастрофної рівносильності;

- доведення факту, що нескоротних квадратичних функційних рівнянь від пяти предметних змінних є не більше 4-х з точністю до парастрофної рівносильності;

- доведення існування неквадратичних функційних рівнянь від трьох предметних змінних, які мають властивість ізотопності групі.

Здобуті в дисертації результати можна застосувати до подальшого вивчення в алгебрі при вивченні тотожностей в теорії квазігруп; в топології при вивченні тотожностей в топологічних квазігрупах і лупах; в дискретній математиці та багатозначній логіці при вивченні розкладів багатомісних функцій за допомогою суперпозицій тощо.

Всі результати дисертації є строго логічно обґрунтованими та якісно відрізняються від одержаних попередниками.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доценту Сохацькому Федору Миколайовичу за постійну увагу та допомогу під час написання роботи.

[1] Коваль Р.Ф. Класифікація квадратичних функційних рівнянь малої довжини на квазігрупах // Науковий часопис НПУ ім. М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. - 2004. - № 5.- С.111-127.

[2] Коваль Р.Ф. Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від пяти предметних змінних на квазігрупах // Український математичний журнал. - 2005. - Т. 57, № 8. - С.1058 - 1068.

[3] Коваль Р.Ф. Розвязання квадратичних функційних рівнянь від пяти предметних змінних на квазігрупових операціях. // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - 2005. Вып. 11.- С. 15-22.

[4] Koval’ R.F. On a Functional Equation with a Group Isotopy Property// Bulentinul Academiei de Єtiinte a Republicii Moldova.- 2005.- N2.-P.65-71.

[5] Сохацький Ф.М., Коваль Р.Ф. Класифікація функційних рівнянь від чотирьох змінних // Третя міжнародна алгебраїчна конференція в Україні (2-8 липня 2001 р.).- Суми: Сумський державний педагогічний університет ім. А.С.Макаренка, 2001.- С.254 -255.

[6] Sokhatsky F.N., Koval’ R.F. A classification of general four variable quadratic parastrophically uncancellable functional equations on quasigroups// Forth International algebraic conference in Ukraine (August 4-9, 2003).- Lviv, 2003.- P.209-210.

[7] Sokhatsky F.N., Koval’ R.F. About a classification of quadratic parastrophically uncancellable functional equations on quasigroups// Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova (August 17-19, 2004).- CHIЄINAU: Institute of Mathematics and Computer Science, 2004.- P.300-301.

[8] Koval’ R.F. On Group Isotopy Property Functional Equation// Fifth International Algebraic Conference in Ukraine (July 20-27, 2005).- Odessa: I.I.Mechnikov National University, 2005.- Р.107.