Розробка методів вивчення локально компактних та квантових гіпергруп. Пошук шляхів застосування одержаних методів для опису структури конкретних прикладів квантових гіпергруп. Створення спектральної теорії ортогональних поліномів кількох змінних.
Абстрактний гармонічний аналіз виник як перенесення класичного гармонічного аналізу, коли замість прямої або кола розглядається та чи інша топологічна група (або, більш загально, однорідний простір цієї групи). Основи цього напрямку сучасної математики, важливого не тільки своєю внутрішньою красою, а й істотніми застосуваннями в функціональному аналізі, математичній фізиці, теорії диференціальних рівнянь, теорії ймовірності, було закладено в роботах А.Хаара, А.Вейля, Г.Вейля, А.Картана, Л.С.Понтрягіна, А.І.Мальцева, І.М.Гельфанда, М.Г.Крейна, Д.А.Райкова, М.А.Наймарка та ін. Починаючи з середини минулого сторіччя було зясовано, що ряд результатів гармонічного аналізу можна перенести на інші, відмінні від груп та однорідних просторів, обєкти. Дельсартом та Б.М.Левітаном було розпочато вивчення операторів узагальненого зсуву, а останнім за певних умов перенесено основні теореми гармонічного аналізу на випадок таких операторів. В результаті зявилось поняття комутативної гіперкомплексної системи з континуальним базисом, на яку було перенесено велику кількість результатів гармонічного аналізу, включаючи теорію майже періодичних функцій.Дійсно, для кожної функції f є та достатньо малих передкомпактних околів V, W довільних точок p, q є Q виберемо множину F з умови (H1)(d) та покладемо , де функція дорівнює f(r), якщо r є F та зовні F продовжена певним чином до функції з . З іншого боку, постулювання існування міри Хаара значно спрощує аксіоматику (а саме, вдалося відмовитись від певних аксіом DJS-гіпергрупи, які носять суто топологічний характер і використовуються для доведення існування міри Хаара в компактному і комутативному випадках) і дозволяє розширити клас прикладів локально компактних гіпергруп. В розділі 1.1 встановлено звязки локально компактних гіпергруп з відомими обєктами: так, локально компактні гіпергрупи значно узагальнюють DJS-гіпергрупи; крім того, завдяки теоремі 1.1.6, яка характеризує гіперкомплексні системи у термінах операторів узагальненого зсуву, унімодулярні локально компактні гіпергрупи належать до класу нормальних гіперкомплексних систем з базисною одиницею і є досить близькими до таких систем (зокрема, локально компактні гіпергрупи на відміну від DJS-гіпергруп охоплюють всі відомі приклади гіперкомплексних систем). Кожний епіморфізм з гіпергрупи на гіпергрупу можна продовжити до ізометричного *-гомоморфізма банахової алгебри в , де - ліва міра Хаара на гіпергрупі . В розділі 2.2 описано інфінітезимальні обєкти до гіпергруп, які побудовані з груп Лі за допомогою конструкції коунітальних орбітальних морфізмів, тобто, таких відкритих неперервних відображень групи Лі G в локально компактну гіпергрупу Q, що для кожного t є Q множина (так звана-орбіта) є компактом для кожного t є Q та виконуються наступні властивості: • існує таке відображення , що (10)В дисертації вивчено локально компактні гіпергрупи та побудовано ряд нових нетривіальних прикладів квантових груп та гіпергруп. Запропоновано аксіоматику локально компактних гіпергруп, яка значно узагальнює відому аксіоматику DJS-гіпергруп та дозволяє перенести теорію нормальних гіперкомплексних систем з базисною одиницею на неунімодулярний випадок. Описано інфінітезимальні обєкти до гіпергруп, що походять від груп Лі за допомогою конструкції унітальних орбітальних морфізмів, а також виписано лінійний базис інфінітезимальної алгебри до гіпергрупи Дельсарта. Запропоновано загальний метод побудови квантових гіпергруп за допомогою умовних сподівань на квантових групах, що задовольняють певні умови, і побудовано кілька серій нових прикладів нетривіальних квантових гіпергруп. Для узгодженої пари груп Лі одержано явну формулу для знаходження пари коциклів за допомогою пари коциклів на відповідній парі узгоджених алгебр Лі та за допомогою подвійного схрещеного добутку груп Лі з коциклами побудовано ряд нових прикладів локально компактних груп.
План
Основний зміст
Вывод
В дисертації вивчено локально компактні гіпергрупи та побудовано ряд нових нетривіальних прикладів квантових груп та гіпергруп. Запропоновано аксіоматику локально компактних гіпергруп, яка значно узагальнює відому аксіоматику DJS-гіпергруп та дозволяє перенести теорію нормальних гіперкомплексних систем з базисною одиницею на неунімодулярний випадок. На локально компактні гіпергрупи перенесено основні теореми гармонічного аналізу на локально компактних групах. Розроблено спектральну теорію ортогональних поліномів кількох змінних. Описано інфінітезимальні обєкти до гіпергруп, що походять від груп Лі за допомогою конструкції унітальних орбітальних морфізмів, а також виписано лінійний базис інфінітезимальної алгебри до гіпергрупи Дельсарта. На одновимірні гіпергрупи повністю перенесено теорію Лі. Запропоновано загальний метод побудови квантових гіпергруп за допомогою умовних сподівань на квантових групах, що задовольняють певні умови, і побудовано кілька серій нових прикладів нетривіальних квантових гіпергруп. Для узгодженої пари груп Лі одержано явну формулу для знаходження пари коциклів за допомогою пари коциклів на відповідній парі узгоджених алгебр Лі та за допомогою подвійного схрещеного добутку груп Лі з коциклами побудовано ряд нових прикладів локально компактних груп.
Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації
1. Березанский Ю.М., Калюжный А.А. Гармонический анализ в гиперкомплексных системах. - Киев: Наукова думка, 1992. - 351 c. (англійський переклад: Harmonic analysis in hypercomples systems // Dordrecht-Boston-London: Kluwer Acad. Publ., 1998. - 483 p.)
2. Березанский Ю.М., Калюжный А.А. Спектральные разложения представлений гиперкомплексных систем // Спектральная теория операторов и бесконечномерный анализ: Сб. науч. трудов. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. - С. 4-19.
3. Березанский Ю.М., Калюжный А.А. Гиперкомплексные системы, построенные по ортогональным полиномам // Укр. матем. журн. - 1986. - 38, 3. - С. 275-284.
4. Гехтман М.И., Калюжный А.А. Спектральная теория ортогональных полиномов нескольких переменных // Укр. матем. журн. - 1991. - 43, 10. - С. 1437-1440.
5. Калюжный А.А. Двойственность генераторов компактных и дискретных гиперкомплексных систем с одномерным базисом // Докл. АН УССР, сер. А. - 1989. - 4. - С. 20-24.
6. Калюжный А.А. Двойственность генераторов одномерных компактных и дискретных гипергкомплексных систем // Методы функционального анализа в задачах математической физики: Сб. науч. трудов. - Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1990. - С. 79-102. (англійський переклад: Duality of the generators of one-dimensional compact and discrete hypercomplex systems // Selecta Mathematica. - 1993. - 12, 4. - P.373-394.)
7. Калюжный А.А. Инфинитезимальный объект для операторов обобщенного сдвига Дельсарта // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики: Сб. науч. тр. - Киев: Ин-т математики Украины, 1991. - C. 65-70.
8. Калюжный A.A, Качановский Н.А Об ортогональных квазиаппелевых полиномах в негауссовском анализе // Укр. мат. журн. - 2001. - 53, 7. - C. 892-907.
9. Калюжный A.A, Подколзин Г.Б., Чаповский Ю.А. Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности // Укр. матем. журн. - 2005. - 57, 5. - C. 645-654.
10. Калюжный A.A, Подколзин Г.Б., Чаповский Ю.А. Построение коциклов для двойного скрещенного произведения групп Ли // Функ. анал. и его прилож. - 2006. - 40, 2. - C. 70-73.
11. Калюжный A.A, Подколзин Г.Б., Чаповский Ю.А. Нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп Ли // Укр. матем. журн. - 2007. - 59, 11. - C. 1510-1522.
12. Albeverio S., Daletskii A., Kalyuzhnyi A. Traces of semigroups associated with interacting particle systems // J. Func. Anal. - 2007. - 246. - P. 196-216.
13. Berezanskii Yu.M., Kalyuzhnyi A.A. Hypercomplex systems and hypergroups: connections and distinctions // Contemporary Math. - 1995. - 183 - P. 21-44.
14. Chapovsky Yu. A., Kalyuzhnyi A. A., Podkolzin G. B. On the group of extensions for the bicrossed product construction for a locally compact group// Algebra and Discrete Mathematics. - 2004. - 3. - P. 12-20.
15. Chapovsky Yu. A., Kalyuzhnyi A. A. Generalized Hilbert bialgebras of compact type and their representations. // Methods Func. Anal. Topol. - 2005. - 11, 3. - C. 222-233.
16. Daletskii A.Yu., Kalyuzhnyi A.A. Permutations in tensor products of factors, and -cohomology of cofiguration spaces // Methods of Func. Anal. Topol. - 2006. - 12, 4. - P.341-352.
17. Gekhtman M.I., Kalyuzhnyi A.A. On the orthogonal polynomials in several variables // Integr. Equat. Oper. Th. - 1994. - 19. - P. 404-418.
18. Kalyuzhnyi A.A Algebras with nonquadratic relations associated with Bessel hypergroups. // Methods Func. Anal. Topol. - 1997. - 3, 4. - P. 70-76.
19. Kalyuzhnyi A. A. Conditional expectations on compact quantum groups and new examples of quantum hypergroups // Methods of Funct. Anal. Topol. - 2001. - 7, 4. - P. 49-68.
20. Kalyuzhnyi A. A., Chapovsky Yu. A. Factorization of conditional expectations on Kac algebras and quantum double coset hypergroups // Укр. матем. журн. - 2003. - 55, 12. - C. 1669-1677.
21. Chapovsky Yu. A., Kalyuzhnyi A. A., Podkolzin G. B. On locally compact quantum groups // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2004. - 50, 3. - P. 1064-1070.
22. Daletskii A.Yu., Kalyuzhnyi A.A. Permutations in tensor products of factors, and -Betti numbers of configuration spaces // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2004. - 50, 3. - P. 1071-1078.
23. Albeverio S., Daletskii A., Kalyuzhnyi A. Traces of semigroups associated with interacting particle systems // Preprint Bonn. - 2006. - 264. - 27 p.
24. Daletskii A.Yu., Kalyuzhnyi A.A. Permutations in tensor product of factors, and -Betti numbers of cofiguration spaces // Nottingham Trent University, preprint 21/03. - 2003. - 12 p.
25. Калюжный А.А. О построении инвариантного семейства операторов обобщенного сдвига посамосопряженному оператору // Деп. в ВИНИТИ 487-B89. - 1989. - C. 278-282.
26. Калюжный А.А. Генераторы одномерных компактных и дискретных гиперкомплексных систем// 14 Школа по теории операторов: Тезисы докладов, Новгород, 1989. - Ч. 1. - С. 100.
27. Kalyuzhnyi A.A. Hypercomplex systems and their quantization// In: Algebres DOPERATEURS 92, Orleans, France. - 1992. - P. 34.
28. Kalyuzhnyi A.A. Induced representations of hypergroups// In: Lie-Lobachevsky Colloquium: Tartu, Estonia, 1992. - P. 78.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
