Характеристики математических функций - Курсовая работа

Те вавилонские ученые, которые 4-5 тысяч лет назад нашли для площади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса. Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В “Геометрии” Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функции от абсцисс (х); путь и скорость - функции от времени (t) и тому подобное. Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей “Геометрии” лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Слово “функция” (от латинского functio - совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию).математический кубическая функция экстремумГенетическая трактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции до середины XIX в. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости. В нем подчеркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия функции в рамках понятия алгебраической системы. Помимо формул и таблиц, здесь находят свое место задание функции стрелками, перечислением пар, использование не только числового, но и геометрического материала; геометрическое преобразование при таком подходе оказывается возможным рассматривать как функцию.Введение понятия функции - длительный процесс, завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс ведется по трем основным направлениям: - упорядочение имеющихся представлений о функции, развертывание системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значений, возрастания и т. д. на основе метода координат); Во-первых, оно связано с практической потребностью: и таблицы, и графики, как правило, служат для удобного в определенных обстоятельствах представления функции, имеющей аналитическую форму записи. Формула выражает функцию лишь будучи включенной в соответствующую систему представлений и операций, а эта система такова, что различные компоненты понятия функции могут быть отображены наиболее естественно различными средствами. Если ограничиться основными способами представления функции - формулой, графиком, таблицей, то получится 6 типов упражнений, при которых форма представления меняется, и 3 - при которых она остается такой же.Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для нее, с общим представлением о функции непосредственно, без выделения промежуточных звеньев. Для функций, входящих в класс, изучение происходит по более сложной схеме, поскольку в нем выделяются новые аспекты: изучение данной функции как члена класса и изучение свойств всего класса на примере «типичной» функции этого класса. Типичный и одновременно важнейший для математики класс функций - линейные функции, которые мы рассмотрим с точки зрения изучения характерных для этого класса свойств и представлений, формируемых в курсе алгебры. Первоначальное представление о линейной функции выделяется из рассмотрения задачи, обычно связанной с равномерным прямолинейным движением, а также при построении графика некоторой линейной функции. Этот способ безусловно может привести к пониманию того, что график и любой линейной функции - прямая, т. е. к выделению некоторого общего свойства класса линейных функций.Функция v(x,t) непрерывна, удовлетворяет уравнению теплопроводности, ограничена во всей области: | v (х, t)| ^ | их(а:t)| | и2 {х, 0 | <2 | (-?<х< ?, t^ 0) (2.3) и удовлетворяет условию: v (х, 0) = 0 (2.4) Принцип максимального значения, которым мы пользовались при доказательстве единственности задачи для отрезка, здесь неприменим, так как в неограниченной области функция v(x,t) может нигде не достигать максимальных значений.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ И ПОДХОДЫ ФУНКЦИИ

1.1 Различные подходы к определению понятия функции

1.2 Методика введения понятий: функции, аргумента, области определения

ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА

2.1 Методика изучения линейной, квадратной и кубической функции

2.2 Уравнение параболического типа

2.3 Метод разделения переменных функций

2.4 Достаточные условия экстремума функции

ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

3.1 Функция и ее свойства

3.2 Способы задания функции

3.3 Виды функций и их свойства

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ