Исследование проекционных способов начертательной геометрии, дающих возможность получать наглядные изображения проектируемых объектов и комплексов. Рассмотрение аксиомы Евклида о параллельности. Изучение классификации проекций и примеров их построения.
Вместо выражений "точка А лежит на плоскости а", "прямая а проходит через точку В" можно употреблять выражения "точка А инцидентна (принадлежит) плоскости а", "точка В инцидентна (принадлежит) прямой а. Если точка А принадлежит прямой а, а прямая а принадлежит плоскости «, то точка А принадлежит плоскости а: 2. Если две точки А и В, принадлежащие прямой а, принадлежат плоскости ?, то прямая а принадлежит плоскости ?: Кроме приведенных выше, могут быть сформулированы и другие предложения принадлежности для элементов евклидова пространства. Аналогично, предложение 6 говорит о том, что в евклидовом пространстве две плоскости либо пересекаются (принадлежат одной прямой). либо они параллельны, а предложение 7 - о том, что прямая, не принадлежащая плоскости, либо пересекает ее (прямая и плоскость принадлежат одной точке) , либо они параллельны. Если мы обратимся к трехмерному евклидову пространству, то в нем появится множество точек, принадлежащих прямым m и n, по которым пересекаются плоскости ? и ? с плоскостями ? и ?, определяемыми пучками прямых, параллельных плоскостям ? и ? и принадлежащих точке S (рис.
Введение
проекция евклид геометрия начертательный
Чертеж - это своеобразный язык, с помощью которого, используя всего лишь точки, линии и ограниченное число геометрических знаков, букв и цифр, человек имеет возможность изобразить на поверхности, в частности на плоскости, геометрические фигуры или их сочетания (машины, приборы, инженерные сооружения и т. д.). Причем этот графический язык является интернациональным, он понятен любому технически грамотному человеку независимо от того, на каком языке он говорит.
Использование приемов изображения предметов на плоскости является рациональным при конструировании сложных поверхностей технических форм с наперед заданными параметрами, применяемых в авиационной и автомобильной промышленности, при создании корпусов судов и судовых движителей и во многих других областях техники.
Достижения многомерной начертательной геометрии находят применение при исследовании диаграмм состояния многокомпонентных систем и сплавов в тех случаях, когда другие способы исследования оказываются чрезвычайно сложными и не обеспечивают требуемой точности.
Известна роль начертательной геометрии в архитектуре, строительстве, изобразительном искусстве. Проекционные способы, разработанные в начертательной геометрии, дают возможность получать наглядные изображения проектируемых объектов и целых комплексов. Благодаря начертательной геометрии появилась возможность изображать на плоскости рельеф земной поверхности и решать простыми графическими способами задачи, связанные с проектированием дорог, каналов, тоннелей, а также определять объемы выполняемых при этом земляных работ.
Метод проекций
С познали теории множеств любую геометрическую фигуру следует рассматривать как множество всех принадлежащих ей точек. Говоря иначе, всякая геометрическая фигура есть не пустое множество.
Отображение геометрической фигуры на плоскость (или какую-либо другую поверхность) можно получить путем проецирования ее точек на эту плоскость (поверхность).
Прежде чем говорить о сущности метода проецирования, целесообразно рассмотреть некоторые свойства евклидова пространства.
Известно, что эти свойства могут быть выражены при помощи системы аксиом и предложений, которые устанавливают зависимости и отношения между элементами пространства. Точки, прямые и плоскости евклидова пространства находятся в определенном взаимоотношении, которое может быть обозначено словом принадлежность или инцидентность. Термин инцидентность заменяет такие понятия, как "лежать на", "проходить через". Вместо выражений "точка А лежит на плоскости а", "прямая а проходит через точку В" можно употреблять выражения "точка А инцидентна (принадлежит) плоскости а", "точка В инцидентна (принадлежит) прямой а. В символической форме эти выражения можно записать А ? а; В ? а.
Отношения принадлежности между элементами евклидова пространства могут быть выражены следующими предложениями: 1. Если точка А принадлежит прямой а, а прямая а принадлежит плоскости «, то точка А принадлежит плоскости а: 2. Две различные точки А и В всегда принадлежат одной и той же и только одной прямой а или каждой прямой а принадлежат, по крайней мере, две точки А и В;
3. Три различные точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, принадлежат одной и той же и только одной плоскости: 4. Если две точки А и В, принадлежащие прямой а, принадлежат плоскости ?, то прямая а принадлежит плоскости ?: Кроме приведенных выше, могут быть сформулированы и другие предложения принадлежности для элементов евклидова пространства. К таким предложениям, в частности, относятся: 5. Две прямые, принадлежащие одной плоскости, могут принадлежать одной точке, но этого может и не быть.
6. Две плоскости могут принадлежать одной и той же прямой, но этого может и не быть.
7. Плоскость и не принадлежащая ей прямая могут принадлежать одной точке, но этого может и не быть.
Последние три предложения по существу перефразируют аксиому о параллельности. В самом деле, предложение 5 утверждает, что в евклидовой плоскости две прямые либо пересекаются (принадлежат одной точке) либо не имеют общей точки в этом случае они называются параллельными. Аналогично, предложение 6 говорит о том, что в евклидовом пространстве две плоскости либо пересекаются (принадлежат одной прямой). либо они параллельны, а предложение 7 - о том, что прямая, не принадлежащая плоскости, либо пересекает ее (прямая и плоскость принадлежат одной точке) , либо они параллельны.
Принятие аксиомы Евклида о параллельности при последующем изложении приводит к определенным трудностям, вызванным тем, что, рассматривая метод проекций, составляющий основу для изображения на плоскости геометрических фигур, расположенных в пространстве, мы обнаруживаем "неоднородность" евклидова пространства и погруженных в него геометрических фигур.
Действительно, пусть даны две прямые а и b, определяющие плоскость а (рис. 1). Возьмем в плоскости а произвольную точку S (S? a?b). Через точку S проведем произвольную прямую l, которая пересечет прямую а в точке Аа, а прямую Ь в точке А*3. Проведем через точку S прямую l1 , пересекающую прямую а в точке Ва, а прямую b в точке Вь. Аналогично, прямые l2, l3, проведенные через точку S, пересекают прямые а и Ь соответственно в точках Са и Cb, Da и Db.
Свойства евклидовой плоскости обнаруживают еще одно несоответствие, которое влечет за собой нарушение принципа взаимной непрерывности.
Действительно, если расстояние ?d между точками Аа и Ва прямой а - величина бесконечно малая (см. рис. 1), то и расстояние ?1d между соответствующими этим точкам точками Ab и Bb прямой b будет также бесконечно малым. Приведенные рассуждения будут справедливы и для другой пары соответственных точек (например, CADA и CBDB). Но если мы возьмем на прямой а две бесконечно близкие точки Ка и La, разделенные точкой Ма, то, как видно из чертежа, им будут соответствовать две бесконечно удаленные точки Kb и Lb прямой b.
Если мы обратимся к трехмерному евклидову пространству, то в нем появится множество точек, принадлежащих прямым m и n, по которым пересекаются плоскости ? и ? с плоскостями ? и ?, определяемыми пучками прямых, параллельных плоскостям ? и ? и принадлежащих точке S (рис. 2). Становится очевидным, что евклидово пространство, свойства которого определяются, в частности, и аксиомой о параллельности, не может быть использовано для разработки метода центрального проецирования. Более того, мы оказываемся перед альтернативой: или принять на перу существование аксиомы о параллельности и, как следствие, признать неоднородность окружающего нас пространства, или считать, что пространство однородно, подвергнув сомнению существование аксиомы о параллельности.
В черчении изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета называется видом. Названия видов зависят от того, с какой стороны рассматривают предмет при проецировании (рис. 3).
Рис. 3
Исходным на чертеже является вид спереди, который называют также главным видом. Если смотреть на предмет слева, под прямым углом к профильной плоскости проекций получают вид слева. Когда смотрят на предмет сверху, перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций получают вид сверху.
Направления, по которым смотрят на деталь, получая тот или иной вид, указаны на рис.11 стрелками с надписями. Каждый вид занимает на чертеже строго определенное место по отношению к главному виду.
Вид слева располагают справа от главного вида и на одном уровне с ним, вид сверху - под главным видом.
Нельзя нарушать это правило, располагая виды на произвольных местах без особого обозначения.
Зная правило расположения видов можно представить форму предмета по его плоским изображениям. Для этого нужно сопоставить все виды, данные на чертеже и воссоздать в воображении объемную форму предмета. Наряду с видами спереди, сверху и слева для изображения предмета могут применяться виды справа, снизу, сзади - все они основные. Однако количество видов на чертеже должно быть наименьшим, но достаточным для полного выявления формы и размеров предмета.
Полная классификация проекций приведена на рис. 4.
Рис. 4
Параллельные проекции делятся на два типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования и нормалью к проекционной плоскости (рис. 3.9.): 1) ортографические - направления совпадают, т. е. направление проецирования является нормалью к проекционной плоскости;
2) косоугольные - направление проецирования и нормаль к проекционной плоскости не совпадают.
Рис. 3.9. Ортографические и косоугольные проекции
Наиболее широко используемыми видами ортографических проекций является вид спереди, вид сверху(план) и вид сбоку, в которых картинная плоскость перпендикулярна главным координатным осям. Если проекционные плоскости не перпендикулярны главным координатным осям, то такие проекции называются аксонометрическими.
При аксонометрическом проецировании сохраняется параллельность прямых, а углы изменяются; расстояние можно измерить вдоль каждой из главных координатных осей (в общем случае с различными масштабными коэффициентами).
Изометрическая проекция - нормаль к проекционной плоскости, (а, следовательно, и направление проецирования) составляет равные углы с каждой из главных координатных осей. Если нормаль к проекционной плоскости имеет координаты (a,b,c), то потребуем, чтобы |a| = |b| = |c|, или ±a=±b=±c, т. е. имеется 8 направлений (по одному в каждом из октантов), которые удовлетворяют этому условию. Однако существует лишь 4 различных изометрических проекции (если не рассматривать удаление скрытых линий), так как векторы (a, a, a) и (-a,-a,-a) определяют нормали к одной и той же проекционной плоскости.
Изометрическая проекция (рис. 3.10.) обладает следующим свойством: все 3 главные координатные оси одинаково укорачиваются. Поэтому можно проводить измерения вдоль направления осей с одним и тем же масштабом. Кроме того, главные координатные оси проецируются так, что их проекции составляют равные углы друг с другом (120°).
Косоугольные (наклонные) проекции сочетают в себе свойства ортографических проекций (видов спереди, сверху и сбоку) со свойствами аксонометрии. В этом случае проекционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси, поэтому сторона объекта, параллельная этой плоскости, проецируется так, что можно измерить углы и расстояния. Проецирование других сторон объекта также допускает проведение линейных измерений (но не угловых) вдоль главных осей. Отметим, что нормаль к проекционной плоскости и направление проецирования не совпадают.
Двумя важными видами косоугольных проекций являются проекции: Кавалье (cavalier) - горизонтальная косоугольная изометрия (военная перспектива);
В проекции Кавалье (рис. 3.11.) направление проецирования составляет с плоскостью угол 45°. В результате проекция отрезка, перпендикулярного проекционной плоскости, имеет ту же длину, что и сам отрезок, т. е. укорачивание отсутствует.
Рис. 3.12. Проекция Кабине
Проекция Кабине (рис. 3.12.) имеет направление проецирования, которое составляет с проекционной плоскостью угол ? = arctg(?) (?26,5°). При этом отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют ? их действительной длины. Проекции Кабине являются более реалистическими, чем проекции Кавалье, так как укорачивание с коэффициентом ? больше согласуется с нашим визуальным опытом.
Центральная проекция любой совокупности параллельных прямых, которые не параллельны проекционной плоскости, будет сходиться в точке схода. Точек схода бесконечно много. Если совокупность прямых параллельна одной из главных координатных осей, то их точка схода называется главной точкой схода. Имеются только три такие точки, соответствующие пересечениям главных координатных осей с проекционной плоскостью. Центральные проекции классифицируются в зависимости от числа главных точек схода, которыми они обладают, а следовательно и от числа координатных осей, которые пересекают проекционную плоскость.
1. Одноточечная проекция (рис. 3.13).
Рис. 3.13. Одноточечная перспектива
2. Двухточечная проекция широко применяется в архитектурном, инженерном и промышленном проектировании.
3. Трехточечные центральные проекции почти совсем не используются, во-первых, потому, что их трудно конструировать, а во-вторых, изза того, что они добавляют мало нового с точки зрения реалистичности по сравнению с двухточечной проекцией.
Так же важнейшим приемом изображения предмета на плоскости является перспектива, техника изображения пространственных объектов на плоскости или какой-либо поверхности в соответствии с теми кажущимися сокращениями их размеров, изменениями очертаний формы и светотеневых отношений, которые наблюдаются в натуре.
Вид перспективы, рассчитанный на неподвижную точку зрения и предполагающий единую точку схода на линии горизонта (предметы уменьшаются пропорционально по мере удаления их от переднего плана). Теория линейной перспективы впервые появилась у Амброджо Лоренцетти в XIV веке, а вновь она была разработана в эпоху Возрождения (Брунеллески, Альберти), основывалась на простых законах оптики и превосходно подтверждалась практикой. Отображение пространства на плоскость сначала простой камерой обскура с простым отверстием (стенопом), а затем и с линзой полностью подчинено законам линейной перспективы. Прямая перспектива долго признавалась как единственное верное отражение мира в картинной плоскости. С учетом того, что линейная перспектива - это изображение, построенное на плоскости, плоскость может располагаться вертикально, наклонно и горизонтально в зависимости от назначения перспективных изображений.
Вертикальная плоскость, на которой строят изображения с помощью линейной перспективы, используется при создании картины (станковая живопись) и настенных панно (на стене внутри помещения или снаружи дома преимущественно на его торцах). Построение перспективных изображений на наклонных плоскостях применяют в монументальной живописи - росписи на наклонных фризах внутри помещения дворцовых сооружений и соборов. На наклонной картине в станковой живописи строят перспективные изображения высоких зданий с близкого расстояния или архитектурных объектов городского пейзажа с высоты птичьего полета. Построение перспективных изображений на горизонтальной плоскости применяют при росписи потолков (плафонов). Известны, например, мозаичные изображения на овальных плафонах станции метро «Маяковская» художника А. А. Дейнеки. Изображения, построенные в перспективе на горизонтальной плоскости потолка, называют плафонной перспективой.
Линейная перспектива на горизонтальной и наклонной плоскостях имеет некоторые особенности, в отличие от изображений на вертикальной картине.
В наше время доминирует использование прямой линейной перспективы, в большей степени изза большей «реалистичности» такого изображения и в частности изза использования данного вида проекции в 3D-играх.
В фотографии для получения линейной перспективы на снимке близкой к реальной используют объективы с фокусным расстоянием приблизительно равным диагонали кадра. Для усиления эффекта линейной перспективы используют широкоугольные объективы, которые делают передний план более выпуклым, а для смягчения - длиннофокусные, которые уравнивают разницу размеров дальних и близких предметов.
Обратная линейная перспектива
Вид перспективы, применяемый в византийской и древнерусской живописи, при которой изображенные предметы представляются увеличивающимися по мере удаления от зрителя, картина имеет несколько горизонтов и точек зрения, и другие особенности. При изображении в обратной перспективе предметы расширяются при их удалении от зрителя, словно центр схода линий находится не на горизонте, а внутри самого зрителя. Обратная перспектива образует целостное символическое пространство, ориентированное на зрителя и предполагающее его духовную связь с миром символических образов. Следовательно, обратная перспектива отвечает задаче воплощения сверхчувственного сакрального содержания в зримой, но лишенной материальной конкретности форме. Поскольку в обычных условиях человеческий глаз воспринимает изображение в прямой, а не в обратной перспективе, феномен обратной перспективы исследовался многими специалистами.
Среди причин ее появления самой простой и очевидной для критиков было неумение художников изображать мир, каким его видит наблюдатель. Потому такую систему перспективы считали ошибочным приемом, а саму перспективу - ложной. Однако такое утверждение не выдерживает критики, обратная перспектива имеет строгое математическое описание, математически она равноценна прямой перспективе. Обратная перспектива возникла в позднеантичном и средневековом искусстве (миниатюра, икона, фреска, мозаика) как в западноевропейском, так и в византийском круге стран. Интерес к обратной перспективе в теории (П. А. Флоренский, Б. В. Раушенбах) и художественной практике возрос в XX веке в связи с возрождением интереса к символизму и к средневековому художественному наследию. Обратная перспектива обобщается в проблемах восприятия за рамками изобразительного искусства.
Панорамная перспектива
Изображение, строящееся на внутренней цилиндрической (иногда шаровой) поверхности. Слово «панорама» означает «все вижу», в буквальном переводе это - перспективное изображение на картине всего того, что зритель видит вокруг себя.
При рисовании точку зрения располагают на оси цилиндра (или в центре шара), а линию горизонта - на окружности, находящейся на высоте глаз зрителя. Поэтому при рассматривании панорам зритель должен находиться в центре круглого помещения, где, как правило, располагают смотровую площадку. Перспективные изображения на панораме объединяют с передним предметным планом, то есть с находящимися перед ней реальными предметами.
Общеизвестными в России являются панорамы «Оборона Севастополя» (1902-1904 гг.) и «Бородинская битва» (1911 гг.) в Москве (автор - Ф. А. Рубо) и «Сталинградская битва» (1983 г.) в г. Волгограде. Часть панорамы с реальными предметами, лежащими между цилиндрической поверхностью и зрителем, называют диорамой. Как правило, диорама занимает отдельное помещение, в котором переднюю стену заменяют цилиндрической поверхностью, и на ней изображают пейзаж или панораму города. В диорамах часто применяют подсветку для создания эффекта освещения.
Аксонометрия
Аксонометрия (от др.-греч. ???? «ось» и др.-греч. ?????? «измеряю») - один из видов перспективы, основанный на методе проецирования (получения проекции предмета на плоскости), с помощью которого наглядно изображают пространственные тела на плоскости бумаги. Аксонометрию иначе называют параллельной перспективой. Как и обратная перспектива, она долгое время считалась несовершенной и, следовательно, аксонометрические изображения воспринимались как ремесленный, простительный в далекие эпохи способ изображения, не имеющий серьезного научного обоснования.
Однако при передаче видимого облика близких и небольших предметов наиболее естественное изображение получается именно при обращении к аксонометрии. Существуют три вида аксонометрии: - изометрия;
- диметрия;
- триметрия.
Изометрическая проекция - это разновидность аксонометрической проекции, при которой в отображении трехмерного объекта на плоскость коэффициент искажения (отношение длины спроектированного на плоскость отрезка, параллельного координатной оси, к действительной длине отрезка) по всем трем осям один и тот же.
Слово «изометрическая» в названии проекции пришло из греческого языка и означает «равный размер», отражая тот факт, что в этой проекции масштабы по всем осям равны. В других видах проекций это не так.
Изометрическая проекция используется в машиностроительном черчении и САПР для построения наглядного изображения детали на чертеже, а также в компьютерных играх для трехмерных объектов и панорам.
Необходимо отметить, что параллельные проекции, разновидностью которых являются аксонометрические и, в том числе, изометрические проекции, делятся также на ортогональные (перпендикулярные), с направлением проекции перпендикулярным к плоскости проекции, и косоугольные, с углом между направлением и плоскостью, отличным от прямого. По советским стандартам (см. ниже) аксонометрические проекции могут быть и ортогональными, и косоугольными[1].
По западным же стандартам, аксонометрические проекции являются только ортогональными, а косоугольные проекции рассматриваются отдельно.
В результате, по западным стандартам изометрическая проекция определяется более узко и, помимо равенства масштабов по осям, включает условие равенства 120° углов между проекциями любой пары осей. Во избежание путаницы далее, если не указано иное, под изометрической проекцией будет подразумеваться только прямоугольная изометрическая проекция.
Диметрическая проекция - это аксонометрическая проекция, у которой коэффициенты искажения по двум осям имеют равные значения, а искажение по третьей оси может принимать иное значение.
Триметрическая проекция - это аксонометрическая проекция, у которой коэффициенты искажения[1] по всем трем осям не равны между собой.
Таким образом, используя вышеперечисленные приемы изображения предметов на плоскости, можно не ограничиваться в возможностях передачи размеров, характеристик и формы объектов.
Список литературы
1. «Начертательная геометрия», С.А. Фролов; изд. «Машиностроение», Москва, 1983 г.
2. «Курс начертательной геометрии», В.О. Гордон; изд. «Наука», 1973 г.
3. Материалы из Википедии (свободной энциклопедии); http://ru.wikipedia.org/wiki/Перспектива
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
