Молекулярная теория строения вещества. Процессы, происходящие в средах с неупорядоченными структурами. Дифференциальное уравнение диффузии. Нахождение решения уравнения диффузии в общем случае. Телеграфный процесс и нахождение решения уравнения.
Диффузия - один из важнейших физических процессов, с которым человек сталкивался постоянно еще в глубокой древности. Но аналитическое изучение диффузии было невозможно без появления молекулярной теории строения вещества, и когда подобная теория увидела свет, процесс диффузии стал активно описываться и с аналитической точки зрения. Современные представления и знания о диффузии в упорядоченных средах окончательно сформировались уже в 60-е годы 20 века [8]. Однако в последнее время значительно вырос интерес к исследованию неупорядоченных структур, таких как гетероструктурные среды со случайным или периодическим расположением различных фаз, аморфные или композитные материалы, легированные полупроводники, жидкометаллические растворы, водоносные грунты и так далее. За прошедшее время процесс исследования уравнения диффузии получил серьезное развитие, были рассмотрены многие его частные виды, однако решения уравнения диффузии со случайной зависимостью коэффициента диффузии от времени не было получено.Классическое уравнение диффузии было выведено в 1855 году Адольфом Фиком и получило имя второго закона Фика. Первый закон Фика для одномерного случая имеет вид: В этом уравнении величина - плотность диффузионного потока.Это уравнение получается на основе представления о случайных блужданиях атомов в кристаллической решетке или частиц в смесях зернистых материалов или при рассмотрении вероятности нахождения частицы в том или ином объеме при ее статистическом перемещении.В этом случае уравнение (1) принимает вид Для решения этого уравнения необходимо задать начальные и граничные условия. где - произвольная функция, имеющая смысл начальной плотности распределения вероятности по координате . По правилу дифференцирования сложной функции (цепное правило) из уравнения (2) получаем: Здесь Предположим, что для функции и функции существует интеграл Фурье, то есть для функции справедлива формула: Обозначим: , Где - оператор преобразования Фурье. Применим преобразование Фурье к левой и правой части уравнения (4) и начальному условию (5)(9) где - число перемен знака в интервале ; - константа не зависящая от времени, постоянная составляющая коэффициента диффузии. На рисунке 1 представлен график зависимости величины от времени Число перемен знака в интервале для телеграфного процесса имеет распределение Пуассона Найдем среднее число перемен знака в интервале Величина в последнем выражении имеет смысл среднего числа перемен знака в единицу времени.Поскольку уравнение (15) линейно относительно , его можно решить используя преобразование Фурье по координате и преобразование Лапласа по времени. В выражении (7) для величины , имеющей смысл плотности распределения вероятности по координате , величина является случайной величиной. В данном случае, угловые скобки означают усреднение по числу перемен знака, а функция - дельта-функция Дирака. Подставляя полученное для выражение в получим Далее, подставляя полученное для Ф(t) выражение (25) в уравнение (20), для условной плотности распределения по получимРассмотрим в (36) некоторые частные случаи: 1) Если тогда 2) Если тогда 3) Рассмотрим предельный случай, когда ГдеИз уравнения (38) следует, что среднее значение квадрата смещения примеси пропорционально времени. В таком случае реализуется обычная (нормальная) диффузия. В том случае, когда коэффициент диффузии - случайная функция времени, как это предполагается в данной работе, этот закон нарушается. Необходимый результат можно получить, используя полученный выше закон распределения (37). Поступим иначе: Воспользуемся уравнением (38) и получим: (39)Основной целью данной работы было получение решения уравнения диффузии, в котором коэффициент диффузии зависит от времени. Во-первых, было найдено точное уравнение диффузии со случайной зависимостью коэффициента диффузии от времени путем преобразований и наложения ряда условий на общее уравнение диффузии. Для этого были применены различные методы решения дифференциальных уравнений, рассмотрены модифицированные функции Бесселя и их свойства, а также учтен тот факт, что коэффициент диффузии, зависящий от времени, есть телеграфный случайный процесс.Получено дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентом. Данное характеристическое уравнение имеет два неравных действительных корня .
План
Содержание
Введение
Глава 1. Получение уравнения диффузии с зависимостью коэффициента диффузии от времени
1.1 Дифференциальное уравнение диффузии
1.2 Нахождение решения уравнения диффузии в общем случае
1.3 Телеграфный процесс
1.4 Вывод уравнения для ?(x,t)
Глава 2. Нахождение решения полученного уравнения
2.1 Решение уравнения
2.2 Рассмотрение некоторых предельных случаев
2.3 Аномальная диффузия
Заключение
Список использованной литературы
Приложение
Введение
Диффузия - один из важнейших физических процессов, с которым человек сталкивался постоянно еще в глубокой древности. Но аналитическое изучение диффузии было невозможно без появления молекулярной теории строения вещества, и когда подобная теория увидела свет, процесс диффузии стал активно описываться и с аналитической точки зрения. Первым пронаблюдал и описал процесс диффузии Роберт Броун в 1827 году [17].
Современные представления и знания о диффузии в упорядоченных средах окончательно сформировались уже в 60-е годы 20 века [8]. Однако в последнее время значительно вырос интерес к исследованию неупорядоченных структур, таких как гетероструктурные среды со случайным или периодическим расположением различных фаз, аморфные или композитные материалы, легированные полупроводники, жидкометаллические растворы, водоносные грунты и так далее. Этот процесс непосредственно связан с развитием высокоточных областей производства, в которых применяются подобные материалы.
Различные процессы, происходящие в средах с неупорядоченными структурами, также получили новый толчок к развитию. Одним из таких процессов и является диффузия. Уравнение для описания процесса диффузии было получено уже в середине 19 века Адольфом Фиком [15]. За прошедшее время процесс исследования уравнения диффузии получил серьезное развитие, были рассмотрены многие его частные виды, однако решения уравнения диффузии со случайной зависимостью коэффициента диффузии от времени не было получено. Это решение может использоваться в совершенно различных областях, от промышленных предприятий до сельского хозяйства. Так, например, с его помощью может быть установлено количество времени, которое потребуется для проникновения на определенную глубину в почве частицам вредных химических веществ, которые могут быть выброшены в окружающую среду при аварии на каком-либо химическом предприятии.
Целью данной дипломной работы является получение и анализ решения частого случая уравнения диффузии, в котором коэффициент диффузии случайным образом зависит от времени.
Для достижения поставленной цели необходимо решить несколько задач: 1. Получить уравнение диффузии со случайной зависимостью коэффициента диффузии от времени из общего уравнения диффузии путем различных преобразований и применения к нему ряда определенных условий, характерных для процессов в неупорядоченных структурах.
2. Найти решение полученного уравнения с помощью комбинации нескольких методов.
3. Проанализировать полученное решение, рассмотреть различные предельные случаи, построить графики.
Вывод
Основной целью данной работы было получение решения уравнения диффузии, в котором коэффициент диффузии зависит от времени. Для достижения этой цели был выполнен определенный ряд задач.
Во-первых, было найдено точное уравнение диффузии со случайной зависимостью коэффициента диффузии от времени путем преобразований и наложения ряда условий на общее уравнение диффузии. Также в рамках решения данной задачи был рассмотрен телеграфный процесс и вычислена корреляционная функция.
Во-вторых, для полученного уравнения диффузии было найдено точное решение в квадратурах. Для этого были применены различные методы решения дифференциальных уравнений, рассмотрены модифицированные функции Бесселя и их свойства, а также учтен тот факт, что коэффициент диффузии, зависящий от времени, есть телеграфный случайный процесс.
В-третьих, в данной работе была исследована зависимость среднего квадрата смещения частицы от времени. В результате этого исследования был выявлен эффект аномальной диффузии. Также были построены графики, отражающие данную зависимость.
Таким образом, можно утверждать, что все задачи, поставленные в работе, были решены, и основная цель была достигнута.
Дальнейшее исследование и развитие в данной области может заключаться в попытках адаптации полученного решения для нужд практического применения в различных областях исследовательской и хозяйственной деятельности человека.
Список литературы
1. Логвинова К.В. Исследование процессов диффузии в неоднородных средах со случайно проницаемостью. 2005. - 14 с.
2. Kozyrev O.R. Diffusion in Random Porous Media / Logvinova K.V., Kozyrev O.R., Stepanyants Y.A., Morozov V.P. // Intern. Conference Topical Problems of Nonlinear Physics. - 2003.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 4, часть 1./ М. Наука.
1974. - 389 с.
4. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2, часть 2. / М. Наука. 1974. - 371 с.
5. Kozyrev O. Disordered Structures Models for Heterogeneous Media / Kozyrev O., Logvinova K., Morozov V.// European Journal of Scientific Research, 2011. - p. 464-467
6. Logvinova K.V. A fractional equation for anomalous diffusion in a randomly heterogeneous porous media/ Logvinova K.V., Neel M.-Cr.// Chaos. 2004. P. 982 - 987.
7. Kozyrev O. Small Scale Models for the Spreading of Matter in Disordered Porous Media/ Kozyrev O., Logvinova K.V.// European Journal of Scientific Research. 2010. - p. 64-78
8. Д. К. Белащенко, "Механизмы диффузии в неупорядоченных системах (компьютерное моделирование)", УФН, 1999. - С. 361-384.
9. Crank J. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat-conduction type/ Crank J. Nicolson P., Hartree D. R.// Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1996. - p. 50-67
10. Gromov E. The Anomalous Diffusion in Stochastically Bent Thin Tubes/ Gromov E., Logvinova K., Morozov V., Tyutin V.//, EUROJOURNALS Publishing, Inc. 2011. - p.170-176.
11. С.М.Рытов, Ю.А.Кравцов, В.И.Татарский Введение в статистическую радиофизику. Часть 2. Случайные поля. Москва, Наука, 1978.
12. Ватсон Г. Теория бесселевых функций. Том 1. 1949.
14. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения, ГИФМЛ, 1963.
15. J. Philibert One and a half century of diffusion: Fick, Einstein, before and beyond. Diffusion Fundamentals, 2005.
16. Evans, L.C. Partial Differential Equations. American Mathematical Society. 1998.
17. Броуновское движение [Электронный ресурс] // Энциклопедия физики и техники. Режим доступа: http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0380.html. - Загл. с экрана.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
