Передаточные функции элементов входящих в структуру системы автоматического регулирования. Её структурная схема при заданном входном воздействии по каналу регулирования. Устойчивость системы автоматического регулирования по критериям Михайлова и Гурвица.
Основное из динамических свойств системы управления - ее устойчивость, под которой понимают способность системы за счет своих внутренних сил возвращаться в состояние установившегося равновесия после устранения возмущения, вызвавшего нарушение равновесия. Систему называют неустойчивой, если при сколь угодно малых отклонениях от установившегося равновесия она не можем возвратится к этому состоянию, а непрерывно удаляется от него или совершает около него недопустимо большие колебания. Алгебраический критерий применяют для исследования систем, процессов которых описываются уравнениями не выше пятого - шестого порядка, а частотные критерии, которые относятся к графоаналитическим - для исследования систем, характеризуемых уравнениями любого порядка. При неустойчивой работе структуры произвести коррекцию, определив измененные коэффициенты и довести систему до устойчивого состояния.
Введение
Основное из динамических свойств системы управления - ее устойчивость, под которой понимают способность системы за счет своих внутренних сил возвращаться в состояние установившегося равновесия после устранения возмущения, вызвавшего нарушение равновесия.
Систему называют неустойчивой, если при сколь угодно малых отклонениях от установившегося равновесия она не можем возвратится к этому состоянию, а непрерывно удаляется от него или совершает около него недопустимо большие колебания. Подобные системы не работоспособны.
Для математического определения условий устойчивости системы предложен ряд методов анализа линейных дифференциальных уравнений, который применительно к системам автоматического управления называются критериями.
Различают алгебраические и частотные критерии. Алгебраический критерий применяют для исследования систем, процессов которых описываются уравнениями не выше пятого - шестого порядка, а частотные критерии, которые относятся к графоаналитическим - для исследования систем, характеризуемых уравнениями любого порядка.
Задание: 1) По заданным дифференциальным уравнениям элементов входящих в структуру определить их передаточные функции W(p).
2) Построить структурную схему САР и определить и ее общую передаточную функцию при заданном входном воздействии по каналу регулирования.
3) Определить устойчивость САР по критерию Михайлова и критерию Гурвица. При неустойчивой работе структуры произвести коррекцию, определив измененные коэффициенты и довести систему до устойчивого состояния.
Исходные данные: Заданы дифференциальные уравнения: Значения коэффициентов: 1. а1=7b1=6 c1=1,5d1=6
2. a2=50b2=450 c2=5
3. a3=8b3=15
4. a4=6b4=1,5
5. a5=75b5=17
К построению структурной схемы:
Решение: 1) Определим передаточные функции элементов структуры: Заменим в дифференциальных уравнениях и подставим значения коэффициентов: 1.
2.
3.
4.
5.
1. 7р2y1(р) 6у1(р) 1,5у1(р)=6х1(р)
2. 50ру2(р)=450х2(р)
3. 8у3(р)=15х3(р)
4. 6РУЧ(р) 1,5у4(р)=5х4(р)
5. 75у5(р)=17х5(р)
1. (7p2 6p 1,5)y1(р)= 6x1(р)
2. 50py2(р) = 450x2(р)
3. 8y3(р)= 15x3(р)
4. (6p 1,5)y4(р) = 5x4(р)
5. 75y5(р)= 17x5(р) так как y(p)=W(p)•x(p), то передаточные функции W(p) равны:
1.
2.
3.
4.
5.
2) По уравнениям построим структурную схему САР:
Определим общую передаточную функцию структуры, используя правило колец:
В итоге получим:
Подставим уравнения элементов структуры:
Отсюда: Характеристическое уравнение имеет вид: A(p)= = 0
3) Определим устойчивость по критерию Михайлова: G(р)=
Заменяем р на jw
G(jw)=42w4-j424,5w3-436,5w2 j238,77w 511,38
Выделяем реальную и мнимую часть
R(w)=42w4-436,5w2 511,38
J(w)=-j424,5w3 j238,77w
Строим годограф ? 0 0,2 0,4 0,8 1 2 5 10
R 511,38 493,9872 442,6152 249,2232 116,88 -562,62 15848,88 376861,38
Как видим годограф проходит лишь через 3 квадранта, следовательно система не устойчива по критерию Михайлова, т.к. в нашем случае годограф должен проходить через четыре координатные плоскости.
Определим устойчивость по критерию Гурвица
Условие необходимости выполняется так как все коэффициенты положительные: а0 =42>0;a1=424,5>0; a2=436,5>0; a3 =238,77>0; a4=511,38>0;
Проверим выполняется ли условие достаточности. Формируем матрицу с (n) коэффициентами по диагонали: ? = =
Найдем определители: 1. ?1 = а1 = 424,5>0
2. ?2= = = 175265,91>0
3. = -50302562,5143<0
Система неустойчива так как ?3<0
Для того чтобы систему сделать устойчивой необходимо внести коррекцию.
Пересчитаем с неизвестными коэффициентами А=а0 и В=а2 и найдем их методом подбора, построив график
?2= = =424,5В-238,77А Приравняем его к 0
424,5В-238,77А=0; ? 424,5В=238,77А; ? В=0,5625А Строим эту зависимость
Подбираем коэффициенты А и В, не лежащие на самой прямой, т.к. если брать коэффициенты принадлежащие этой прямой то определитель D2=0
Примем А=38 и В=2000. Проверяем на устойчивость исходную систему с новыми коэффициентами.
? = =
1. ?1 = а1 =424,5>0
2. ?2= = = 839926,74>0
3. = 108398503,8648 >0
И так мы подобрали коэффициенты при которых система будет устойчива по критерию Гурвица.
Проверим устойчивость систему с новыми коэффициентами по критерию Михайлова: Характеристическое уравнение имеет вид: A(p)= 38p4 424,5p3 2000p2 238,77p 511,38= 0
Заменим в уравнении p = j? и оно примет вид: А(jw)=38w4-j424,5w3-2000w2 j238,77w 511,38
Выделяем реальную и вещественную часть
R(w)=38w4-2000w2 511,38
V(w)=-j424,5w3 j238,77w
Строим годограф ? 0 0,2 0,4 0,8 1 2 5 10
R 511,38 431,4408 192,3528 -753,0552 -1450,62 -6880,62 -25738,62 180511,38
V 0 44,358 68,34 -26,328 -185,73 -2918,46 -51868,65 -422112,3
Увеличение показывает нам как проходит годограф у начала координат
Как видно из графика годограф Михайлова последовательно проходит 4 квадранта против часовой стрелки, следовательно, система устойчива.
Список использованных источников и литературы передаточный автоматический гурвиц
1. И.Ф.Бородин, Н.И.Кирилин «Основы автоматики и автоматизации производственных процессов», М.1977г.
2. И.Ф.Бородин, Н.И.Кирилин «Практикум по основам автоматики и автоматизации производственных процессов», М.1974г.
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
