Исследование методов решения систем линейных уравнений - Контрольная работа

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) можно решать как с помощью прямых, так и итерационных методов. Метод решения систем линейных алгебраических уравнений называют прямым, если он позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций.Система линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами имеет вид: a11x1 a12x2 a13x3 … a1nxn=b1 a21x1 a22x2 a23x3 … a2nxn=b2 a31x1 a32x2 a33x3 … a3nxn=b3 В матричной форме записи эта система принимает вид: Ax=b, где Необходимым и достаточным условием существования единственного решения систем линейных алгебраических уравнений является условие det Метод решения систем линейных алгебраических уравнений называют точным, если он позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций.Если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле Крамера: где ?i - определитель матрицы, полученной из основной матрицы А заменой i-го столбца на столбец свободных членов системы, а ? - определитель основной матрицы.Метод обратной матрицы используется при решении систем линейных алгебраических уравнений, если число неизвестных равно числу уравнений. Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными: Эту систему можно записать в виде матричного уравнения Далее находится обратная матрица А-1 и умножается на столбец свободных членов В. Значительно проще можно получить решение системы с помощью некоторых встроенных функций, имеющихся в Excel: · МОПРЕД - функция вычисления определителя квадратной матрицы;Помимо прямых методов решения систем линейных алгебраических уравнений существуют и приближенные методы решения СЛАУ.Для того чтобы применить метод простой итерации к решению системы линейных алгебраических уравнений Ax=b с квадратной невырожденной матрицей А, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду: x=Bx c. В развернутой форме записи система имеет следующий вид: x1=b11x1 b12x2 b13x3 … b1mxm c1 x2=b21x1 b22x2 b23x3 … b2mxm c2 Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итерации, состоит в следующем. Из первого уравнения системы выразим неизвестное х1: x1=1/a11(b1-a12x2-a13x3-…-a1mxm), из второго уравнения - неизвестное х2: x2=1/a22(b2-a22x2-a23x3-…-a2mxm) и т.д. В результате получим систему: x1=b12x2 b13x3 … b1,1-mxm-1 b1mxm c1 x2=b21x1 b23x3 … b2,1-mxm-1 b2mxm c2Цель: более глубоко усвоить и детально изучить теоретический материал, для приобретения практических навыков решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью метода простой итерации. Суть: Дана система уравнений, коэффициенты при неизвестных и свободные члены которой являются точными числами. Преобразовать систему к приведенному виду с выполнением условий сходимости итерационной последовательности.На рисунках рис.1 и рис.1.0 представлены матрица системы и матрица свободных членов этой системы соответственно. Заменим первый столбик матрицы свободными членами и найдем определитель матрицы с помощью функции МОПРЕД. Результат показан на рис.1.1. Заменим второй столбик матрицы свободными членами и найдем определитель матрицы. Заменим третий столбик матрицы свободными членами и найдем определитель матрицы.На рисунках рис.2 и рис.2.0 представлены матрица системы и матрица свободных членов этой системы соответственно. Умножаем полученную матрицу на свободные члены с помощью функции МУМНОЖ и получаем решение системы (рис.2.2).Подставляем начальное приближение в правую часть x=Bx с и вычисляем полученное выражение, находим первое приближение: x(1)={-2.2292; 0.0316; 2.9512;-1.1249}Для начала преобразовали данную систему приведенному виду и проверили условие сходимости итерационной последовательности. Мы подставили его в правую часть системы, приведенного вида, и получили первое приближение: x(1)={-2.2277; 0.0529; 2.9424;-1.112}Реализация программы на языке VBA показана на рисунках рис.3а и продолжение на рис.3б.Для нахождения решения системы нам понадобилось 8 итераций.В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Для решения систем линейных алгебраических уравнений большей подойдут точные методы решения, такие как метод Крамера и метод обратной матрицы.

Содержание

1. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

2.1 Метод Крамера

2.2 Метод обратной матрицы

3. Реализация решения СЛАУ с помощью Microsoft Excel

4. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

4.1 Метод простой итерации

4.2 Метод простой итерации приближенного решения систем линейных алгебраических уравнений

4.3 Решение системы методом Крамера

4.4 Решение системы методом обратной матрицы

4.5 Решение системы методом простой итерации

5. Блок-схема алгоритма

6. Описание алгоритма

7. Программа на языке VBA

8. Результаты выполнения программы с заданной точностью

Заключение

Литература

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) можно решать как с помощью прямых, так и итерационных методов.

Метод решения систем линейных алгебраических уравнений называют прямым, если он позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций. К прямым методам относят метод Крамера, метод обратной матрицы и другие. Основным недостатком прямых методов является то, что для нахождения решения необходимо выполнить большое число операций.

Суть итерационных методов, в свою очередь, заключаются в том, чтобы за счет последовательных приближений получить решение системы, определяемое необходимой точностью. К итерационным методам относится метод простой итерации.

В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Для решения систем линейных алгебраических уравнений большей подойдут точные методы решения, такие как метод Крамера и метод обратной матрицы. Но это займет куда больше времени, нежели решение приближенным методом. Например, методом простой итерации. Можно повысить точность вычисления, увеличивая шаг интегрирования.

Наилучший способ решения систем линейных алгебраических уравнений выделить нельзя. Лучше всего для каждого отдельного случая подбирать свой метод решения.

1. Лекции по дисциплине «Вычислительная математика»

2. Игумнов Л.А., Литвинчук, С.Ю., Юрченко Т.В. Элементы численных методов в решении экономических задач: Учебное пособие

3. Бахвалов, Н.С. Численные методы

4. Гарнаев, А.Ю. Самоучитель VBA

5. Заварыкин, В.М. Численные методы: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов

6. Исаков, В.Н. Элементы численных методов

7. Костомаров, Д.П. Вводные лекции по численным методам: Учебное пособие

8. Турчак, Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие

9. Формалеев, В.Ф. Численные методы

Размещено на .ru