История развития фрактальной геометрии. Исследование фракталов в природе и математике, составление программы моделирования сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Моделирование фракталов на языке программирования.
Кто хотя бы раз видел фракталы - удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, тот надолго заболел этим интересным и захватывающим научным явлением. До недавнего времени геометрические модели природных объектов изображались с помощью комбинаций простых фигур: прямых, треугольников, окружностей, сфер, многогранников. Правда, с помощью набора этих известных фигур трудно описать более сложные природные объекты: пористые материалы, формы облаков, кроны деревьев, др. Изучая фракталы, весьма трудно провести грань между математикой и информатикой - так тесно они переплелись в своем стремлении открыть уникальные модели, приближающие нас к пониманию некоторых природных процессов и явлений. Цель: исследовать фракталы в природе и математике и составить программы моделирования сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.Понятия "фрактал" и "фрактальная геометрия" возникли в 70-80-х годах прошлого века. Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных структур. По определению, данному Мандельбротом, "фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Свойство самоподобности отражает главную особенность природных объектов, когда отдельная клетка растения или животного несет в себе полную информацию обо всем организме. Всем, кто изучает геометрию, известно, что размерность отрезка равна 1, квадрата-2, куба и параллелепипеда-3.История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в 19 веке. Геометрические фракталы являются также самыми наглядными, так как сразу видна самоподобность. Вообще все геометрические фракталы обладают жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. В графике геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т.д. Конструктивные фракталы строятся с помощью рекурсивных процедур, систем итерированных функций, L-систем, и др.С их помощью можно создавать плоские множества и поверхности очень сложной формы, посредством изменения параметров в том или ином уравнении. Можно сказать, что ученые нашли простой способ представления сложных объектов, образы которых напоминают природные формы. Большой вклад в теорию фракталов вносят мощные современные компьютерные программы, рисующие листья деревьев и папоротника, искусственные горные цепи, облака и не существующие в природе планеты с вымышленными океанами и континентами. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При фрактальном сжатии после увеличения картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться.While not Keypressed Do Begin l: =2/3*pi*random (3); for ix: =0 to WINDOWWIDTH-1 do for iy: =0 to WINDOWHEIGHT-1 do begin x: =0.005* (ix-200); for a: =1 to 128 do begin for i: =1 to 127*4 do begin b: = b d; x: =x dx; y: =y dy; end else begin t: =-dy; end else begin t: =-dy;В истории открытия фракталов это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и обогатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки. Там, где предыдущие поколения ученых были вынуждены упрощать свои уравнения или вообще отказываться от них, мы можем увидеть их суть на экране дисплея. Естественные процессы, представленные графически, можно постичь во всей их сложности, опираясь на нашу интуицию. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика, и я убедилась в этом, выполняя исследовательскую работу, в ходе которой научилась строить некоторые виды фракталов, узнала, что существуют специальные программы для моделирования фракталов, убедилась в том, что область применения фракталов чрезвычайно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы.
План
Содержание
Введение
1.1 Рождение и развитие фрактальной геометрии
1.2 Классификация фракталов
1.3 Применение фракталов
2.1 Фракталы и способы их моделирования
2.2 Моделирование фракталов на языке Паскаль АВС
Заключение
Список литературы
Введение
Кто хотя бы раз видел фракталы - удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, тот надолго заболел этим интересным и захватывающим научным явлением. Фрактальные рисунки - вершина вдохновения мастера на пути к совершенному единству математики, информатики и искусства. Такими представляются фракталы, которые строят современные компьютеры.
До недавнего времени геометрические модели природных объектов изображались с помощью комбинаций простых фигур: прямых, треугольников, окружностей, сфер, многогранников. Правда, с помощью набора этих известных фигур трудно описать более сложные природные объекты: пористые материалы, формы облаков, кроны деревьев, др. Современная наука не может обойтись без новых компьютерных средств. Они выводят математику на чрезвычайно высокий уровень. Изучая фракталы, весьма трудно провести грань между математикой и информатикой - так тесно они переплелись в своем стремлении открыть уникальные модели, приближающие нас к пониманию некоторых природных процессов и явлений.
Тогда возникает проблема: можно ли в школьных языках программирования смоделировать фракталы, и если можно, то в каких целях и где это можно применить?
Гипотеза: если изучить закономерность построения фрактала, то его можно смоделировать на языке программирования PASCALABC
Материал: научная литература по истории открытия фракталов, данные исследований Б. Мандельброта и Е. Федера, программное обеспечение.
Методы исследования: сравнительный анализ, синтез, моделирование. фрактал фрактальная геометрия программирование
Цель: исследовать фракталы в природе и математике и составить программы моделирования сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Задачи: узнать, что такое фракталы;
изучить историю возникновения и развития фрактальной геометрии;
ознакомиться с биографией создателя фракталов - Бенуа Мандельброта;
смоделировать фракталы на языке программирования - Pascal.
Актуальность: Интерес к проблеме обусловлен возросшей ролью фракталов в машинной графике. Они незаменимы при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря.
Результат исследования: разработка программ построения фракталов, выпуск буклета.
Теоретическая и практическая значимость: использование программ построения фракталов на уроках и факультативных занятиях по математике, информатике и искусству.
Вывод
Компьютер - это новое средство познания. Он позволяет увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас. В истории открытия фракталов это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и обогатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки. Там, где предыдущие поколения ученых были вынуждены упрощать свои уравнения или вообще отказываться от них, мы можем увидеть их суть на экране дисплея. Естественные процессы, представленные графически, можно постичь во всей их сложности, опираясь на нашу интуицию. При этом стимулируются новые идеи, новые ассоциации, и у каждого, кто мыслит в образах, пробуждается творческий потенциал.
Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика, и я убедилась в этом, выполняя исследовательскую работу, в ходе которой научилась строить некоторые виды фракталов, узнала, что существуют специальные программы для моделирования фракталов, убедилась в том, что область применения фракталов чрезвычайно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Компьютеры становятся все мощнее, и все более тонкие эффекты они позволяют нам наблюдать на экране дисплея. Нас ждет еще много интереснейших и необычайных находок.
Данную работу можно использовать на уроках информатики при изучении графики в среде PASCALABC, а так же на уроках геометрии и искусства.
Составленные мною программы, служат положительным мотивом для учащихся, начинающих изучать языки программирования. Ведь когда из непонятных букв и цифр рождается фрактал. Это вызывает живой интерес попробовать самому.
Нами также разработан буклет, который знакомит с понятием и видами фрактала.
Цели, поставленные в начале работы были достигнуты. Но останавливаться на достигнутом мы не собираемся. Мне хотелось бы в дальнейшем изучить специализированные программы для создания фракталов.
Список литературы
1. Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство. /Математика в школе, №5/2005
2. "В мир информатики", журнал "Информатика": №23, №24/2008, изд-во "1ое сентября"
3. Волошников А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000
