Исследование функциональных последовательностей и рядов в вузе - Дипломная работа

Глава I. Теоретические основы изучения темы математического анализа Функциональные последовательности и ряды §1. Определения функциональной последовательности и функционального ряда §2. Геометрический смысл равномерной сходимости функциональной последовательности §4. Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса) §8. Почленное дифференцирование функциональных рядов Глава II. Психолого-педагогические аспекты образования в высшей школе §2. Содержание учебного материала по теме: “Функциональные ряды” §3. Методические рекомендации по проведению лекционных занятий §5. Методические рекомендации по проведению практических занятий §7. Научная проблема исследования заключается в поиске наиболее общих закономерностей при изучении выше указанного вопроса. функциональный ряд последовательность интегрирование Цель данной работы состоит в исследовании функциональных последовательностей и рядов, а также разработке методики их изучения в педагогическом вузе. Гипотеза исследования состоит в том, что материалы выпускной квалификационной работы будут способствовать более эффективному изучению данной темы студентами математических факультетов педагогических вузов во время аудиторных занятий и при самостоятельной подготовке к занятиям. Создать электронное пособие, способствующее более эффективному изучению вышеуказанной темы. Изучение методического опыта преподавателей. Пусть дана последовательность функций: , причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области . Сходимость этого ряда определяется следующим образом: при каждом фиксированном значении функция принимает числовое значение. Поэтому при каждом из X функциональный ряд превращается в числовой ряд, а о сходимости числовых рядов подробно описано в [21]. Множество всех значений x, при которых заданный функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда [4]. Рассмотрим теперь поведение исследуемого функционального ряда при и . При этих значениях получаются соответствующие числовые ряды: которые, сходятся по интегральному признаку сходимости числового положительного ряда и признаку сходимости знакочередующегося ряда соответственно. Последовательность функций равномерно сходится на множестве Х к предельной функции , если . Опр.6. Решение При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для 0 , , N и выполнялось неравенство: . Решение 1) Так как , N, R, то в качестве мажорантного ряда выберем при R. Следовательно, сходится абсолютно и равномерно на R, так как - положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с ) [4]. Замечание. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула: . Психолого-педагогические аспекты образования в высшей школе В настоящее время нет, пожалуй, более спорной проблемы в педагогике и психологии высшей школы, чем проблема воспитания студентов. Лишь немного более половины студентов повышают показатели интеллектуального развития от первого курса к пятому, и как правило такое повышение наблюдается лишь у слабых и средних студентов, а лучшие студенты часто уходят из вуза с тем же уровнем интеллектуальных способностей, с которым пришли. Здесь описываются работы Архимеда, Ньютона, Эйлера, Меркатора, Лейбница, Грегори, Бернулли, Тейлора и других известных математиков.