Особенности системы дифференциальных уравнений как автономной системы для функций x (t) и y (t). Специфика картины фазовых кривых, называемой фазовым портретом системы. Анализ расположения траекторий, определяемого корнями характеристического уравнения.
Автономной системой для функций , называется система дифференциальных уравнений Принято отмечать стрелкой на траектории направление движения точки с ростом времени. Положением равновесия, или точкой покоя, автономной системы дифференциальных уравнений (1) называется ее решение вида , .Характер расположения траекторий определяется корнями характеристического уравнения (собственными корнями . матрицы ). Точка покоя называется узлом (рис. Узел характеризуется тем, что все траектории, кроме одной II имеют в точке (0;0) общую касательную I, которая сама является траекторией. 1а стрелками показано направление движения вдоль траектории при возрастании в случае устойчивого узла. Точка покоя называется седлом (рис.В этом разделе построим фазовый портрет системы Найдем собственные значения матрицы : . Найдем для точки вектор скорости . Следовательно, возрастанию соответствует движение по траекториям против часовой стрелки (рис. Поделим уравнения этой системы (второе на первое), являются чисто мнимыми числами , поэтому фазовые траектории представляют собой концентрические эллипсы с центром в начале координат, а особая точка называется центром.
План
Содержание
Введение
1. Положение равновесия
2. Пример
Заключение
Список литературы
Введение
Автономной системой для функций , называется система дифференциальных уравнений
, , (1) где правые части не зависят от переменной .
Пусть , - решение (1).
Фазовой траекторией системы (1) называется параметрически заданная кривая , на плоскости . Принято отмечать стрелкой на траектории направление движения точки с ростом времени.
Фазовым портретом системы называется картина, которую образуют фазовые кривые.
Положением равновесия, или точкой покоя, автономной системы дифференциальных уравнений (1) называется ее решение вида , .
Отметим, что траектория положения равновесия - точка, и .
В простейшем случае, когда , линейны, т.е. , , где - постоянные, система принимает вид
, . (2)
Введем матрицу , составленную из коэффициентов системы (2).
Вывод
Корни характеристического уравнения системы дифференциальных уравнений
, являются чисто мнимыми числами , поэтому фазовые траектории представляют собой концентрические эллипсы с центром в начале координат, а особая точка называется центром.
Список литературы
1. Васильева А.В., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 432 с.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики: Учеб. для студентов физ-техн. спец. вузов. - 5-е изд., доп. - М.: Наука, 1988.
3. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: Примеры и задачи. - 2-е изд. - М.:Высшая школа, 1989.
4. Сборник задач по дфференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В.К. Романко, Н.Х. Агаханов, В.В. Власов, Л.И. Коваленко. -М.:ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002. - 256 с.
