Методика определения углового ускорения трубы в зависимости от времени при отсутствии проскальзывания катка по наклонной плоскости. Описание сил, приложенных к механической системе. Движение конструкции при нарушении условия качения без скольжения.
Постановка задачи: Подъем трубы 1 веса Р1 и радиуса r1 производится с помощью невесомого нерастяжимого троса, охватывающего неподвижный блок и соединенного с катком 2, перекатывающимся по неподвижной наклонной плоскости, образующей угол ? с горизонтом. К центру масс катка приложена сила сопротивления, выражающаяся зависимостью: , где - постоянный коэффициент, - скорость центра масс катка. Определить в отсутствие проскальзывания катка по наклонной плоскости: а) зависимость скорости центра масс трубы от его перемещения; Для составления дифференциального уравнения, описывающего движение системы при качении без проскальзывания, используя теорему об изменении кинетической энергии системы : DT = ?A. а) Зависимость скорости центра масс трубы от ее перемещения.
Введение
Постановка задачи: Подъем трубы 1 веса Р1 и радиуса r1 производится с помощью невесомого нерастяжимого троса, охватывающего неподвижный блок и соединенного с катком 2, перекатывающимся по неподвижной наклонной плоскости, образующей угол ? с горизонтом. Каток 2 - однородный цилиндр веса Р2 и радиуса r2. Масса трубы равномерно распределена по ободу. К центру масс катка приложена сила сопротивления, выражающаяся зависимостью: , где - постоянный коэффициент, - скорость центра масс катка. Трением качения, трением в оси блока, массой блока пренебречь. В начальный момент времени система находилась в покое.
Табл. 1 r1 м r2 м P1 Н P2 Н ? град. Дополнительные сведения
0,20 0,20 80 300 30
1. Определить в отсутствие проскальзывания катка по наклонной плоскости: а) зависимость скорости центра масс трубы от его перемещения;
б) зависимость перемещения катка от времени;
в) угловое ускорения трубы в зависимости от времени;
г) натяжение свободных участков троса в зависимости от времени.
2. Найти условие качения катка по наклонной плоскости без проскальзывания.
3. Промоделировать движение системы в случае нарушения условия качения без проскальзывания, приняв зависимость коэффициента трения скольжения от скорости точки проскальзывания к в виде:
Параметры a, b, c, d выбрать самостоятельно. Результаты проиллюстрировать.
1. Определение в отсутствии проскальзывания катка по наклонной плоскости
Для составления дифференциального уравнения, описывающего движение системы при качении без проскальзывания, используя теорему об изменении кинетической энергии системы : DT = ?A. а) Зависимость скорости центра масс трубы от ее перемещения.
Кинетическая энергия системы : T = T1 T2
Осевой момент инерции, так как масса трубы (2) равномерно распределена по ободу, имеет вид:
Угловая скорость цилиндра:
Точка E - мгновенный центр скоростей;
Кинетическая энергия катка при плоскопараллельном движении имеет вид:
Осевой момент инерции, так как каток один представляет собой однородный цилиндр весом Р2, имеет вид :
Так как трос не растяжим, то = ; , так как точка B в 2 раза дальше от мгновенного центра скоростей, чем точка С1:
Выразим скорость центра масс катка через скорость трубы , учитывая, что r2 = r1:
Отсюда, кинетическая энергия катка:
Кинетическая энергия всей системы:
Пусть:
Силы приложенные к механической системе: Вес P1 совершает отрицательную работу на перемещении , так как точка его приложения поднимается;
Вес P2 совершает положительную работу на перемещении , так как точка его приложения поднимается;
Реакция наклонной плоскости N работу не совершает, так как она перпендикулярна перемещению;
Сила сопротивления совершает отрицательную работу на перемещении ;
Сила трения Ftp в отсутствии проскальзывания работу не совершает, так как она приложена к неподвижной точке.
Элементарная работа внешних сил:
Пусть:
Из теоремы об изменении кинетической энергии следует уравнение:
б) Кинематическое уравнение движения центра масс катка.
Уравнение поделим на dt:
Или после преобразования:
Так как в начальный момент времени система покоилась, то начальное условие к нему имеет вид: Интегрируя по времени получим:
в) Угловое ускорение трубы в зависимости от времени.
Из уравнения%
г) Натяжение свободных участков троса в зависимости от времени.
Уравнение кинетического момента в проекции на ось z :
2. Качение катка по наклонной плоскости без проскальзывания
Уравнение плоскопараллельного движения катка (2):
Статическое:
d= a= 0.04, b= -0.1(с/м), c= 1(с/м)
3. Движение системы в случае нарушения условия качения без проскальзывания
При полученных параметрах трения проскальзывание начинается с начала движения системы. Тогда система имеет две степени свободы, и в качестве обобщенных координат, возьмем углы поворота: - угол поворота трубы (1)
- угол поворота катка (2)
Для составления дифференциальных уравнений, описывающих движение системы, используем уравнения Лагранжа второго рода:
Кинетическая энергия системы : T = T1 T2
По методу полюса для плоскопараллельного движения:
Спроецируем на направление наклонной плоскости вверх;
Производные от Т:
Возможная работа сил, приложенных к системе:
Скорость точки касания катка и наклонной плоскости:
Элементарную работу можно выразить через обобщенные силы:
