Применение метода инверсии при решении задач на построение в геометрии. Решение задачи Аполлония, лемма об антипараллельных прямых. Инвариантные окружности и сохранение углов при инверсии. Недостатки применения инверсии и работа инверсора Гарта.
Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые преобразуются в прямые, а окружности - в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности и наоборот. Способ решения задач, который рассматривается в данной работе, называется методом инверсии, или методом обратных радиусов, или методом обращения. Во второй главе рассматривается применение инверсии к решению задач на построение, отдельно рассматривается задача Аполлония и вспомогательные задачи, применяемые к решению этой задачи. Построение инверсных точек. Пусть на плоскости дана некоторая окружность щ (О, R) (рис. 1 Пусть, далее, Р - произвольная точка плоскости, отличная от точки О. Сопоставим ей точку Рґ, которая удовлетворяла бы двум условиям: точка Рґ лежит на луче ОР; ОР ОРґ = R2. Обратим внимание на то, что при R = 1 ОРґ= 1/ОР, так что ели точка Р инверсна точке Рґ, то расстояния ОР и ОРґ являются взаимно обратными числами. Из подобия следует: = или ОР ОРґ = R2 . Пусть инверсия ц переводит точки А и В соответственно в точки Аґ и Вґ (предполагается, что точки А и В отличны от точки О и бесконечно удаленной точки и, кроме того, точки О, А, В не лежат на одном луче с началом в точке О). Опустим из точки О перпендикуляр на прямую l , и пусть он пересекает l в точке М (рис 4). В этом случае согласно теореме 3 образ К есть прямая Кґ. из точки О проводим луч ОА (рис 7), который пересекает К по диаметру ОА. Как известно, углом между кривыми L1 и L2 в точке их пересечения называется наименьший из вертикальных углов между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
