Рассмотрение понятия интерполяции и ее практического применения. Нахождение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Экстраполирование функции с использованием первой и второй интерполяционных формул Ньютона.
Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить ее значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Пусть значения функции известны только в этих точках: Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность - интерполяционной сеткой. Заметим, что при применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так как тогда нужные значения разностей функции находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы.В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента.
План
Содержание
1.Введение
2. Первая интерполяционная формула Ньютона
3. Вторая интерполяционная формула Ньютона
Заключение
Список литературы
Введение
Интерполяция, интерполирование - в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчетами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путем или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить ее значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию.
Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов».
К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса - Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.
Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что
Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность - интерполяционной сеткой.
Пары называют точками данных или базовыми точками.
Разность между «соседними» значениями - шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.
Функцию - интерполирующей функцией или интерполянтом.
1. Первая интерполяционная формула Ньютона
1. Описание задачи. Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих значений независимой переменной: , , где - шаг интерполяции. Требуется подобрать полином степени не выше , принимающий в точках значения
, . (1)
Условия (1) эквивалентны тому, что при .
Интерполяционный полином Ньютона имеет вид: . (2)
Легко видеть, что полином (2) полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, во-первых, степень полинома не выше , во-вторых, и , .
Заметим, что при формула (2) превращается в ряд Тейлора для функции : .
Для практического использования интерполяционную формулу Ньютона (2) обычно записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введем новую переменную по формуле ; тогда получим: , (3) где представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки , исходя из точки . Это и есть окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона.
Формулу (3) выгодно использовать для интерполирования функции в окрестности начального значения , где мало по абсолютной величине.
Если дана неограниченная таблица значений функции , то число в интерполяционной формуле (3) может быть любым. Практически в этом случае число выбирают так, чтобы разность была постоянной с заданной степенью точности. За начальное значение можно принимать любое табличное значение аргумента .
Если таблица значений функции конечна, то число ограничено, а именно: не может быть больше числа значений функции , уменьшенного на единицу.
Заметим, что при применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так как тогда нужные значения разностей функции находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы.
2. Пример. Приняв шаг , построить интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей
Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3) полагаем . Приняв , , будем иметь: , или , где . Это и есть искомый интерполяционный полином Ньютона.
Полученный полином дает возможность прогнозирования. Достаточную точность получаем при решении интерполяционной задачи, например, .Точность падает при решении экстраполяционной задачи, например, .
2. Вторая интерполяционная формула Ньютона
Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования функции вблизи узлов таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.
Описание задачи. Пусть имеем последовательность значений функции
, для равноотстоящих значений аргумента , где - шаг интерполяции. Построим полином следующего вида:
, или, используя обобщенную степень, получаем: . (1)
Тогда, при выполнении равенства , , получим
, .
Подставим эти значения в формулу (1). Тогда, окончательно, вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:
. (2)
Введем более удобную запись формулы (2). Пусть , тогда , и т. д.
Подставив эти значения в формулу (2), получим: . (3)
Это и есть обычный вид второй интерполяционной формулы Ньютона. Для приближенного вычисления значений функции полагают: .
Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения значений функции для значений аргументов , лежащих вне пределов таблицы.
Если и близко к , то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причем тогда . Если же и близко к , то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причем .
Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот, - для интерполирования назад и экстраполирования вперед.
Заметим, что операция экстраполирования, вообще говоря, менее точна, чем операция интерполирования в узком смысле слова.
Пример. Приняв шаг , построить интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей
0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8
0,875 0,7088 0,5361 0,3572 0,173 -0,0156 -0,2081
Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 1). Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3) полагаем . Приняв , , будем иметь: , или , где .
Это и есть искомый интерполяционный полином Ньютона.
В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Список литературы
1. В.В. Иванов. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. Изд-во "Наукова думка". Киев. 1986.
