Интерполирование функций - Контрольная работа

При разработке математического обеспечения часто приходится иметь дело с функциями f(x), заданными в виде таблиц, когда известны некоторое конечное множество значений аргумента и соответствующие им значения функции.Пусть при изучении некоторого явления установлено, что существует функциональная зависимость между величинами y и x, описывающая количественную сторону данного явления; при этом функция остается нам неизвестной, но на основании эксперимента установлены значения этой функции у0, у1, у2, ..., yn при некоторых значениях аргумента х0, x1, х2, …, xn принадлежащих отрезку [a, b]. В более отвлеченной форме эту задачу можно сформулировать так: на отрезке [а, b] заданы значения неизвестной функции в n 1 различных точках х0, x1, х2, …, xn: Требуется найти многочлен P(x) степени n, приближенно выражающий функцию Тогда поставленная задача, называемая «задачей интерполирования функции», формулируется так: для данной функции найти многочлен Р(х) степени n, который при заданных значениях х0, x1, х2, …, xn принимал бы значения: В качестве искомого многочлена возьмем многочлен n-й степени вида и определим коэффициенты C1,C2, …, Cn, так, чтобы выполнялись условияСоставим многочлен степени не выше n, который принимает соответствующие значения при соответствующих значениях х. Этот многочлен будет приближенно представлять функцию Напишем многочлен, принимающий значения y0, y1, y2 соответственно при x0 и x1. Действительно, Напишем многочлен, принимающий значения y0, y1, y2 соответственно при x0, x1, x2. Наконец, многочлен n-го порядка, принимающий значения y0, y1, y2, …, yn соответственно при x0, x1, xn, …, xn, будет иметь вид в чем можно убедиться непосредственной подстановкой.Пусть значения некоторой неизвестной функции заданы таблицей, которая рассматривалась в начале. Требуется определить приближенно производную этой функции. Строится интерполяционный многочлен Лагранжа или Ньютона и от этого многочлена находится производная.В связи с задачей, рассмотренной ранее, естественно поставить такой вопрос: пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция Можно ли эту функцию с любой, наперед заданной степенью точности приближенно представить в виде многочлена Р (х)?Если функция непрерывна на отрезке [а, b], то для любого ? >0 существует такой многочлен Р(х), что во всех точках указанного отрезка выполняется Бернштейн дал следующий способ непосредственного построения таких многочленов, которые приближенно равны непрерывной функции на заданном отрезке. Выражение является многочленом n-й степени; его называют многочленом Бернштейна. Если задано произвольное ? >0, то можно подобрать такой многочлен Бернштейна (т. е. так выбрать его степень n), чтобы для всех значений х на отрезке [0, 1] выполнялось неравенство: Отметим, что рассмотрение отрезка [0, 1], а не произвольного отрезка [а, b] не является существенным ограничением общности, так как с помощью замены переменной x = a t (b - a), любой отрезок [а, b] можно преобразовать в отрезок [0, 1]. При этом многочлен n-й степени преобразуется в многочлен той же степени.В практической части будут самостоятельно решены типичные примеры на заданную тему. Для этого будет использован сборник задач по математике для втузов под редакцией А.В. Эти примеры будут рассмотрены в приложении к данной курсовой работе.В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек.

Содержание интерполяционный формула функция математический

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Интерполяционная формула Лагранжа

1.2 Интерполяционная формула Ньютона

1.3 Численное дифференцирование

1.4 Теория Чебышева

1.5 Теорема Вейерштрасса

2. Практическая часть

Заключение

Список литературы

При разработке математического обеспечения часто приходится иметь дело с функциями f(x), заданными в виде таблиц, когда известны некоторое конечное множество значений аргумента и соответствующие им значения функции. Аналитическое выражение функции f(x) при этом неизвестно, что не позволяет определять ее значения в промежуточных точках аргумента, отсутствующих в таблице. В таком случае решается задача интерполирования, которая формулируется следующим образом.

В данной курсовой работе по дисциплине математический анализ будет рассмотрено, что такое интерполирование функции, методы интерполяции, показано их решение, а также самостоятельно решено несколько примеров на заданную тему.

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций, оказывается, эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

А.Ф. Бермант, И.Г. Абрамович. Краткий курс математического анализа.

Н.С. Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисления.

Шипачев. Учебник высшей математики.

Бугров, Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление.

Размещено на .ru