Изучение основных методов интегрирования простейших иррациональных функций. Определенный интеграл и его приложения. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Вычисление площади плоской фигуры, дуги, объемов тел вращения.
Пусть дана функция . Необходимо найти такую функцию , производная которой равна , то есть . Функция называется первообразной от функции на отрезке если во всех точках этого отрезка выполняется равенство . Всякая непрерывная функция имеет бесконечное множество различных первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянными слагаемыми, то есть, если есть первообразная от функции , то есть также первообразная от , так как . Функцию называют подынтегральной функцией; подынтегральным выражением; постоянной интегрирования.Справедливость этих формул проверяется дифференцированием.Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. Тогда в состав каждого интеграла входит постоянная интегрирования, но все они могут быть объединены в одну, поэтому при интегрировании алгебраической суммы функций пишут только одну постоянную интегрирования. . б) Как было указано выше, согласно свойства неопределенного интеграла, он не зависит от выбора переменной интегрирования, то есть, если и - дифференцируемая функция от независимой переменной , то , т.е. таблица основных интегралов справедлива независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной, или дифференцируемой функцией . При интегрировании часто используют следующие преобразования дифференциала, в которых и - постоянные величины. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению нового интеграла, который является табличным, т.е. перейти к непосредственному интегрированию.Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям. Интегралы типа где многочлен, число или функция, удобно вычислять, приняв , а за обозначить все остальные сомножители, включая . Интегралы типа удобно вычислять, положив , а за обозначить все остальные сомножители подынтегральной функции.При вычислении интегралов, содержащих квадратный трехчлен вида выделяют полный квадрат из квадратного трехчлена в знаменателе, после этого применяют формулы табличных интегралов 2, 18, 19. Перед интегрированием рациональной дроби надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления: 1. Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть (как было указано выше), то есть представить в виде Разложить знаменатель на простые множители. Знаменателями простых дробей являются целые числа степени каждого множителя, начиная с первого и кончая той степенью, которую множитель имеет в разложении.Интегралы вида , где некоторая рациональная функция; целые числа, приводятся к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , , где наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей . , , где (НОК) знаменателей дробей , указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции. Интегралы более общего вида приводятся к рациональному виду с помощью подстановки Для нахождения этого интеграла выделяют полный квадрат их квадратного трехчлена подкоренного выражения, после чего интеграл разлагается на сумму двух интегралов. Если целое число (положительное, отрицательное или 0), тогда данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где наименьшее общее кратное знаменателей дробей и .Если оба показателя степени и четные положительные числа, то следует преобразовывать подынтегральную функцию с помощью формул Интеграл от нечетной степени или (или и и ) можно найти путем отделения от нее одного множителя и применения подстановки: если нечетное положительное число ; Приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки . Если нечетная функция относительно , т.е. если , то интеграл рационализируется подстановкой . Если нечетная функция относительно , т.е. если , то интеграл рационализируется подстановкой .По формуле Ньютона-Лейбница сначала находят первообразную, а затем находят разность первообразных, соответственно при верхнем и нижнем значении предела.Пусть дан интеграл где функция непрерывна на отрезке .Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формулаЕсли непрерывная кривая задана уравнением , , то площадь криволинейной трапеции , прилежащей к оси (рис. Если фигура расположена по разные стороны оси (рис. 2), то площадь следует вычислять по формуле Если фигура ограничена двумя непрерывными кривыми и , прилегающими к оси (рис. 3, 4), то ее площадь равна разности площадей соответствующих криволинейных трапеций и определяется по формулеЕсли плоская кривая задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением (или , то дифференциал длины дуги определяется по формуле Интегрируя дифференциал дуги в заданных пределах, находим длину дуги Если плоская кривая задана в полярной системе координат уравнением
План
Содержание интеграл иррациональный площадь фигура
1. Неопределенный интеграл
1.1 Определения и свойства
1.2 Таблица основных интегралов
1.3 Основные методы интегрирования
1.3.1 Метод непосредственного интегрирования
1.3.2 Метод замены переменной (метод подстановки)
1.3.3 Метод интегрирования по частям
1.3.4 Интегрирование рациональных функций
1.3.5 Интегрирование простейших иррациональных функций
