Идентификация эффективного коэффициента температуропроводности при непрерывной разливке металла - Статья

Такие модели могут быть построены только методами идентификации, основанными на алгоритмах оптимизации [1-3 и др.]. Математическое моделирование процессов формирования непрерывного слитка требует значительных как человеческих, так и компьютерных ресурсов, поскольку для подобных задач необходимо проведение расчетов трехмерных нестационарных уравнений тепломассопереноса. Точные значения параметров можно найти только из решения задач параметрической идентификации. Поле температур описывается уравнениями: , ,(1) Далее, предположим, что температуропроводность является непрерывной и гладкой функцией температуры, тогда мы получим следующую структуру : , , , где - температуропроводность в твердой фазе, - в двухфазной зоне, - в жидкой фазе, , - температура солидус, - температура ликвидус.Введение эффективных параметров позволяет существенно упростить моделирование процессов затвердевания непрерывных слитков.

Для решения задач анализа, управления, оптимизации и др. в технологических процессах теплообмена необходимо знание достаточно точных математических моделей соответствующих теплофизических процессов. Такие модели могут быть построены только методами идентификации, основанными на алгоритмах оптимизации [1-3 и др.].

Постановка задачи температуропроводность слиток разливка

Математическое моделирование процессов формирования непрерывного слитка требует значительных как человеческих, так и компьютерных ресурсов, поскольку для подобных задач необходимо проведение расчетов трехмерных нестационарных уравнений тепломассопереноса. Качество моделирования таких процессов зависит от параметров уравнений. Точные значения параметров можно найти только из решения задач параметрической идентификации. Математическую модель можно существенно упростить, если вместо уравнений тепломассопереноса использовать только уравнение теплопроводности с некоторыми эффективными теплофизическими параметрами [4,5].

Мы рассматриваем установившиеся тепловые процессы в цилиндрическом непрерывном слитке. Поле температур описывается уравнениями: , ,(1)

, , , ,(2) где - скорость литья, - температура слитка, - эффективная температуропроводность, - температура слитка в кристаллизаторе, - температура заливаемого в установку металла, - коэффициент теплоотдачи в зоне вторичного охлаждения. Предполагаем, что все параметры модели (1), (2), за исключением температуропроводности, заданы точно.

Материалы и методика исследования

Известно, что температуропроводность является функцией температуры - . Кроме того, введенная эффективная температуропроводность должна учитывать погрешности упрощенной модели (1), (2), поэтому, ее наилучшее значение можно найти только из решения оптимизационной задачи идентификации.

Для идентификации зависимости необходимо выбрать ее структуру. Суть структурной идентификации заключается в следующем. Представим структуру в каждой зоне затвердевающего слитка (см. рис. 1) в виде линейной зависимости для твердой фазы, кубической зависимости для двухфазной зоны и константы для жидкой фазы.

Далее, предположим, что температуропроводность является непрерывной и гладкой функцией температуры, тогда мы получим следующую структуру : , , ,

где - температуропроводность в твердой фазе, - в двухфазной зоне, - в жидкой фазе, , - температура солидус, - температура ликвидус.

При нормальных условиях разливки все три фазы металла разделяются двумя цилиндрическими поверхностями и . В этих условиях зависимость можно представить в виде: (3) где - функции Хевисайда.

Структура (3) содержит неизвестные параметры , , . Теперь задача идентификации функции в моделе (1), (2) сводится к задаче параметрической идентификации вектора .

Качество идентификации будем оценивать по расхождению экспериментально определенной температуры на поверхности слитка и температуры рассчитанной по модели (1), (2) в виде функции: .(4)

Получаем следующую задачу параметрической идентификации. Необходимо найти вектор параметров в уравнении (1), (2), доставляющий минимум функции (4).

Для решения задач оптимизации в теплофизических процессах при формировании непрерывного слитка целесообразно использовать прямой экстремальный подход [1,2], основанный на непосредственной минимизации целевого функционала различными экстремальными методами. Оптимальное значение температуропроводности будет определяться итерационно в процессе направленного спуска от начального приближения в сторону минимума целевой функции : (5) где - градиент функции (4), - параметр шага в направлении против градиента .

Градиент целевой функции вычисляется в ходе решения следующей сопряженной задачи с соответствующими граничными условиями: , , , , ,(6) где - линейный функционал. Градиент целевой функции находится через решение линейной сопряженной задачи:

, ,(7)

.

Введение эффективных параметров позволяет существенно упростить моделирование процессов затвердевания непрерывных слитков. При этом необходима постановка и решение оптимизационной задачи идентификации эффективных параметров. При их зависимости от температуры требуется дополнительная структурная идентификация.

1. Огурцов А.П., Недопекин Ф.В., Толстых В.К., Володин Н.А. Прямая оптимизация теплофизических процессов. - Донецк: Юго-Восток, 1997.-150 с.

2. Толстых В.К. Прямой экстремальный подход для оптимизации систем с распределенными параметрами. - Донецк: Юго-Восток, 1997.-178 с.

3. .Швачич Г.Г., Шмукин А.А. Определение теплофизических свойств материалов на основе решений коэффициентных ОЗТ в экстремальной постановке//Теория и практика металлургии. - 2005. - № 1-2. - C.104-108.

4. Недопекин Ф.В. Математическое моделирование гидродинамики и тепломассопереноса в слитках. - Ижевск, Из-во удмурдского университета, 1995, 236с.

5. Недопекин Ф.В., Огурцов А.П., Белоусов В.В. Математическое моделирование процессов переноса в слитках и отливках с учетом внешних воздействий. Днепродзержинск: Из-во Днепродзержинского гос. техн. ун-та, 1997.-199с.

6. Самойлович Ю.А. Формирование слитка. М.:Металлургия, 1977.-160с.

Размещено на .ru