Групи з великими системами підгруп, близьких до нормальних - Автореферат

Образно кажучи, чим група більше має нормальних і близьких до них підгруп, тим вона ближче до абелевої. Наприклад, в теорії скінченних груп важливу роль грають субнормальні підгрупи, підгрупи, що не збігаються зі своїм нормалізатором (за їх допомогою характеризуються скінченні нільпотентні групи), підгрупи, які переставні з кожною циклічною підгрупою групи (вони грають велику роль в скінченних надрозвязних та розвязних групах). Ці підгрупи зберігають свій вплив і в нескінченних групах, хоча там їх роль не є такою визначальною. Виникнення й розвиток теорії груп з умовами скінченності привів до появи нових важливих типів підгруп, що близькі до нормальних. Оскільки кожна така підгрупа має нормалізатор скінченного індексу, такі підгрупи почали пізніше називати майже нормальними.Як уже відмічалося вище, у даній роботі розглядаються групи, в яких системи L non-an (G) та L non-nn (G) складаються з підгруп, що мають той або інший скінченний ранг. Група G має скінченний 0-ранг r0(G) = r, якщо вона має скінченний субнормальний ряд, у якому точно r факторів будуть нескінченними циклічними, а всі інші є періодичними. Мальцев розглянув підклас розвязних А4-груп, який складається з груп, що мають скінченний субнормальний ряд, кожний фактор якого є А1-групою зі скінченною періодичною частиною. Іншими натуральними розширеннями класу скінченних груп буде клас Mp груп, що задовольняють умову максимальності для всіх підгруп та клас Mq груп, що задовольняють умову мінімальності для всіх підгруп. Нехай G - група нескінченного 0-рангу, у якій всі підгрупи нескінченого 0-рангу наближено нормальні.В дисертаційній роботі отримано наступні результати: описані FC-гіперцентральні та локально нетерові групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного 0-рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною); описані групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного спеціального рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною); описані групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного тотального рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною); описані групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного мінімаксного рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною); Допоміжним новим результатом, що має самостійне значення, є твердження про наявність у групі нескінченного 0-рангу без періодичних нормальних підгруп, яка має зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, абелевих підгруп нескінченного 0-рангу.

Основний зміст дисертації

Одна з перших задач теорії груп, яка зберігає своє значення і до цього часу, полягає у вивченні впливу на будову групи систем Ln(G) підгруп групи G, що мають властивість n для найбільш важливих природних властивостей n. У цьому напрямку важливою є задача вивчення будови груп, у яких система Ln(G) підгруп групи G, що мають властивість n, є дуже велика чи система Lnon-n(G) підгруп групи G, що не мають властивості n, є дуже мала для найбільш важливих природних властивостей n. У даній дисертаційній роботі розглядаються узагальнено розвязні групи, у яких системи підгруп, що не є майже нормальними та наближено нормальними, складаються з підгруп того чи іншого скінченного рангу. Зауважимо, що для інших важливих властивостей - нормальності та субнормальності, аналогічні дослідження також тільки починаються. В дисертаційній роботі отримано наступні результати: описані FC-гіперцентральні та локально нетерові групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного 0-рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

описані FC-гіперцентральні та локально нетерові радикальні групи, кожна підгрупа нескінченного секційного р-рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною), р - просте число;

описані радикальні групи, кожна підгрупа нескінченного секційного рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

описані групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного спеціального рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

описані групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного тотального рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

описані групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного мінімаксного рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

описані локально майже розвязні групи, кожна підгрупа яких, що не є черніковською, буде наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

описані групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа яких, що не є майже поліциклічною, буде наближено нормальною (відповідно майже нормальною).

Допоміжним новим результатом, що має самостійне значення, є твердження про наявність у групі нескінченного 0-рангу без періодичних нормальних підгруп, яка має зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, абелевих підгруп нескінченного 0-рангу.

Всі результати дисертаційної роботи мають строге доведення і застосовують різноманітні теоретико-групові методи.

Роботи автора за темою дисертації

Кучменко С.Н. Группы с широким множеством обобщенно нормальных подгрупп // Вісник Дніпропетровського університету. Математика. - 2003. - Вип. 8. - С. 44 - 53.

Кучменко С.Н. Группы с приближенно нормальными подгруппами бесконечного ранга // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. наук. - 2004.-Вип. №1. - С. 21 - 33.

Semko M.M., Kuchmenko S.M. Groups, in which almost all subgroups are near to normal // J. «Algebra and Discrete mathematics». - 2004. - №2.-С. 92 - 113.

Семко М.М., Кучменко С.М. Групи з великими системами майже нормальних підгруп // Доп. НАН України. - 2004. - №10. - С. 33 - 38.

Кучменко С.Н. Группы с приближенно нормальными подгруппами бесконечного ранга // Доп. НАН України. - 2004. - №12. - С. 22 - 28.

Семко Н.Н., Кучменко С.Н. Группы с почти нормальными подгруппами бесконечного ранга // Укр. мат. журн. - 2005. - 57, №4. - С. 514 - 532.

Семко М.М., Кучменко С.М. Про групи з майже нормальними підгрупами нескінченного рангу // Матеріали десятої Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 13 - 15 трав. 2004). - К.: ТОВ «Задруга». - 2004. - С. 511.

Кучменко С.Н. О группах с неминимаксными приближенно нормальными подгруппами // Матеріали десятої Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 13 - 15 трав. 2004). - К.: ТОВ «Задруга». - 2004. - С. 427.

Semko M.M., Kuchmenko S.M. The groups with almost normal subgroups of infinite rank // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета. Тезисы докладов.-Изд-во механико-математического факультета МГУ. - 2004. - С. 270 - 272.

Kuchmenko S.N. On groups with near normal subgroups // V Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні (Одеса, 20 - 27 липня 2005).-Одеса: Одеський національний університет. - 2005. - С. 114 - 115.

Размещено на .ru