Групи з умовою сепараторної нормальності для деяких систем нециклічних підгруп - Автореферат

Дедекінда, в якій було введено групи з умовою нормальності для всіх підгруп. Метою роботи є опис класів груп з нормальними нескінченними нециклічними підгрупами, а також груп, в яких нормальними є або нескінченні, або нециклічні, або нескінченні нециклічні підгрупи, що не належать деякій власній підгрупі досліджуваної групи (Н (І )-, Н (І\S)-, Н (\S) - та Н (І \S)-групи відповідно) з досить широкими обмеженнями, оскільки вже підклас Н (І )-груп може мати довільний періодичний комутант. опис періодичних локально розвязних Н (І \S)-груп, тобто локально розвязних груп, в яких нормальними є нескінченні нециклічні підгрупи, що не належать деякій власній підгрупі досліджуваної групи (теорема 4. 2. 2 розкриває будову груп, в яких нормальні всі неперіодичні абелеві підгрупи, (Н (П А)-групи) та групи, в яких нормальні нескінченні циклічні підгрупи, (Н (ІС)-групи). Група G називається Н (\WS)-групою, коли нормальними підгрупами в ній будуть всі підгрупи з системи , що не належать деякій власній w-підгрупі S групи G, де складається з підгруп групи G, які мають властивість t, а t, w - теоретико-групові властивості, які можуть мати або не мати підгрупи групи G.Сепараторна нормальність у групі G підгруп з S означає нормальність не всіх підгруп, а лише тих, що не належать деякій власній підгрупі S з G. У дисертації: уведено в розгляд поняття Н (S\WS)-групи G, тобто групи, в яких нормальні всі підгрупи системи S, що не належать деякій w-підгрупі S. Ці групи названо Н (S\S)-групами, коли S-довільна власна підгрупа групи G. Якщо в останній групі система S - це система всіх власних підгруп групи G, то такі групи названо Н (S)-групами; Клас Н (І \S)-груп містить всі Н (І\S)-групи та Н (\S)-групи.

Темою дисертації є опис груп G з умовою сепараторної нормальності для різних систем підгруп S з G. Систему S досліджуваної групи G складають всі: нескінченні (І-), нециклічні ( -), нескінченні нециклічні (І -) підгрупи групи G. Сепараторна нормальність у групі G підгруп з S означає нормальність не всіх підгруп, а лише тих, що не належать деякій власній підгрупі S з G. Всі основні класи груп, розглядувані в дисертації, містять нескінченні прості групи з циклічними власними підгрупами, приклади яких побудовані О. Ю. Ольшанським. У звязку з цим дослідження ведуться при додаткових обмеженнях локальної ступінчастості, локальної майже розвязності чи локальної розвязності. При цих обмеженнях досліджувані групи завжди розвязні і ступінь їх розвязності не перевищує числа 3.

У дисертації: уведено в розгляд поняття Н (S\WS) -групи G, тобто групи, в яких нормальні всі підгрупи системи S, що не належать деякій w-підгрупі S. Ці групи названо Н (S\S) -групами, коли S- довільна власна підгрупа групи G. Якщо в останній групі система S - це система всіх власних підгруп групи G, то такі групи названо Н (S) -групами;

вперше описані нескінченні періодичні локально розвязні та неперіодичні локально майже розвязні Н (І\S) -групи, тобто групи, в яких нормальні нескінченні підгрупи, що не належать деякій власній підгрупі S з досліджуваної групи G;

також вперше описані всі періодичні локально ступінчасті та неперіодичні Н ( \S) -групи, тобто групи, в яких нормальними є всі нециклічні підгрупи, що не належать деякій підгрупі S з G. Опис одного підкласу локально скінченних Н ( \S) -груп здійснено раніше іншими авторами. Цей опис у дисертації уточнено та узагальнено при заміні локальної скінченності на локальну ступінчастість;

здійснено опис нескінченних періодичних локально розвязних та неперіодичних локально майже розвязних Н (І ) -груп, тобто груп з нормальними нескінченними нециклічними підгрупами. Цей клас груп вперше введено та описано в дисертації. Клас Н (І \S) -груп містить всі Н (І\S) -групи та Н ( \S) -групи. Опис останніх класів груп суттєво використовується при описі всіх Н (І \S) -груп;

встановлено, що періодичні Н (І \S) - та Н (І\S) -групи складають один і той самий клас груп. Неперіодичні локально майже розвязні Н (І \S) - та Н ( \S) -групи також складають один і той самий клас груп;

уведено та повністю описано клас Н (НЕРС\S) -груп, тобто груп, в яких нормальними є нерозкладні циклічні підгрупи, що не належать деякій власній підгрупі S досліджуваної групи. Для цього введено до розгляду та досліджено Н (ІС) -та Н (ПРИМС\S) -групи, тобто групи, в яких нормальні відповідно всі нескінченні циклічні підгрупи, чи примарні циклічні підгрупи, якщо вони не належать деякій власній підгрупі досліджуваної групи. Усі Н (НЕРС\S) -групи мають довільний періодичний комутант;

вперше вказано еквівалентність відомих 8 властивостей груп, кожна з яких визначає клас дедекіндових груп, та 7 властивостей групи, кожна з яких виділяє клас Н (S) -груп, описаних без будь-яких обмежень. Усі Н (S) -групи нільпотентні, клас їх нільпотентності не перевищує числа 2;

знайдено 4 властивості групи G, при кожній з яких G породжується своїми ненормальними циклічними підгрупами;

уточнено та дещо узагальнено відомі описи деяких класів Н (І) - та Н ( ) -груп, тобто груп з нормальними нескінченними, або нециклічними підгрупами відповідно. Вперше описані локально ступінчасті Н (І ) -групи, тобто групи з нормальними нескінченними нециклічними підгрупами. Ці результати суттєво використовуються при одержанні основних результатів дисертації;

вперше одержано опис груп, в яких нормальними є всі: періодичні, скінченні, скінченні циклічні підгрупи;

здійснено огляд робіт інших авторів, які безпосередньо, чи опосередковано стосуються теми дослідження;

обгрунтовано актуальність теми, мету та задачі дослідження, їх новизну та практичне і теоретичне значення.

ПЕРЕЛІК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДОСЛІДЖЕННЯ

Одінцова О. О. Групи з системами сепараторно-нормальних підгруп// Фрактальний аналіз та суміжні питання: Зб. наук. праць. - К. : Ін-т математики НАН України. - 1998. - №2. - С. 211-214.

Одінцова О. О. Властивості груп, в яких нормальні підгрупи визначаються системами сепаруючих підгруп. -Нац. пед. ун-т. -Київ, 1998. -42с. -Бібіліогр. : 11 назв. -Укр. -Деп. в ДНТБ України 26. 04. 99, №120-Ук99.

Одінцова О. О. Про ступінь розвязності Н (І /S) -груп// Наук. зап. НПУ ім. М. П. Драгоманова, фіз. -мат. науки. - К. : НПУ ім. М. П. Драгоманова- 1999. -1. -С. 201-204.

Одінцова О. О. Групи з сепаруючими підгрупами відносно системи нециклічних підгруп//Вісник Київського національного ун-та імені Тараса Шевченка. - К. : КНУ імені Тараса Шевченка. - 2000. - 3. - С. 57-63.

Одінцова О. О. Про один клас сепараторно дедекінових підгруп// Укр. мат. ж. - 2001. -53, №2. -С. 269-273.