Групи зі слабкими умовами п-мінімальності та п-максимальності - Автореферат

Класичним результатом про групи з умовою мінімальності для підгруп є теорема С.М.Чернікова про черніковість довільної нескінченної локально розвязної групи, яка задовольняє умову мінімальності. Тривалий час залишалась відкритою проблема С.М.Чернікова: чи вичерпуються черніковськими групами взагалі всі групи з умовою мінімальності? Групами з умовою ?-мінімальності для підгруп займалися М.С.Черніков, Я.Д.Половицький, І.І.Павлюк, А.А.Шафіро, В.П.Шунков та ін. В 1998 році М.С.Черніков розробив принципово нові методи вивчення груп з умовами ?-мінімальності та ?-шарової мінімальності для підгруп, які дозволили йому одержати фундаментальні результати стосовно груп (зокрема, локально ступінчастих) з цими умовами. В 2000 році М.С.Черніков за аналогією до умов ?-мінімальності та ?-шарової мінімальності ввів до розгляду відповідно умови ?-максимальності та ?-шарової максимальності і дослідив групи з цими умовами.У другому розділі вводяться основні означення, встановлюються взаємозвязки між поняттями, наводяться основні результати з теорії абелевих, локально скінченних, черніковських, шарово скінченних, мінімаксних, радикальних у розумінні Б.І.Плоткіна груп, груп з умовами min, ?-min, l?-min, min-?, max-? та інших груп, які використовуються при доведеннях результатів даного дисертаційного дослідження. У підрозділі 2.1 наведено означення груп з різними умовами мінімальності та максимальності, зокрема, груп із слабкими умовами ?-і ?-шарової мінімальності та ?-і ?-шарової максимальності. Нагадаємо, що група G задовольняє слабку умову ?-мінімальності для підгруп (слабку умову ?-максимальності для підгруп), або, коротко, умову ?-min-? (?-max-?), якщо в ній не існує нескінченного спадного (зростаючого) ланцюга підгруп G1EG2E…EGKE… (G1IG2I…IGKI…) з нескінченними індексами |Gk:Gk 1| (|Gk 1:Gk|) такого, що кожна множина Gk\Gk 1 (Gk 1\Gk) містить ?-елемент (М.С.Черніков, 2002 р.). Група G задовольняє слабку умову ?-шарової мінімальності для підгруп (слабку умову ?-шарової максимальності для підгруп), або, коротше, умову l?-min-? (l?-max-?), якщо в ній для жодного NIN не існує нескінченного спадного (зростаючого) ланцюга підгруп G1EG2E…EGKE… (G1IG2I…IGKI…) з нескінченними індексами |Gk:Gk 1| (|Gk 1:Gk|) такого, що в кожній множині Gk\Gk 1 (Gk 1\Gk) міститься ?-елемент порядку ?n (М.С.Черніков, 2002 р.). В цьому ж підрозділі 2.1 в лемах 2.1 та 2.2 встановлено основні звязки між різними умовами мінімальності та між різними умовами максимальності відповідно, а в прикладі 2.1 вказано клас груп, що задовольняють кожну з умов ?-мінімальності та кожну з умов ?-максимальності.Одержано необхідні та достатні умови, при яких локально нільпотентна група задовольняє слабкі умови ?-і ?-шарової мінімальності та ?-і ?-шарової максимальності. Досліджено взаємозвязки між локально нільпотентними группами з умовами ?-і ?-шарової мінімальності, слабкими умовами ?-і ?-шарової мінімальності та ?-і ?-шарової максимальності.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Дисертація присвячена дослідженню локально нільпотентних та періодичних майже розвязних груп зі слабкими умовами ?- та ?-шарової мінімальності та ?- та ?-шарової максимальності. Основні результати дисертаційної роботи можна підсумувати таким чином: 1. Одержано необхідні та достатні умови, при яких локально нільпотентна група задовольняє слабкі умови ?- і ?-шарової мінімальності та ?- і ?-шарової максимальності.

2. Досліджено взаємозвязки між локально нільпотентними группами з умовами ?- і ?-шарової мінімальності, слабкими умовами ?- і ?-шарової мінімальності та ?- і ?-шарової максимальності.

3. Отримано опис груп зі слабкою умовою ?-максимальності, що мають нескінченну інваріантну ?-підгрупу та при цьому володіють зростаючим нормальним рядом з локально нільпотентними та локально скінченними факторами.

4. Отримано необхідні та достатні умови, при яких періодична майже розвязна група задовольняє слабкі умови ?- і ?-шарової мінімальності та ?- і ?-шарової максимальності.

5. Досліджено взаємозвязки між періодичними майже розвязними групами з умовами ?- і ?-шарової мінімальності, слабкими умовами ?- і ?-шарової мінімальності та ?- і ?-шарової максимальності.

[1] Черников Н.С., Хмельницкий Н.А. Локально нильпотентные группы со слабыми условиями ?-слойной минимальности и ?-слойной максимальности // Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54, № 7. - С. 991-996.

[2] Chernikov M., Khmelnitskiy M. Generalized nilpotent groups with the weak ?-minimal and the weak ?-maximal conditions // Visnyk Lviv Univ., Ser. Mech-Math. - 2003. - 61. - P. 41-44.

[3] Хмельницкий Н.А. Периодические почти разрешимые группы со слабыми условиями ?-минимальности и ?-слойной минимальности // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. - Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова. - 2004. - №5. - С. 181-187.

[4] Черников Н.С., Хмельницкий Н.А. Периодические почти разрешимые группы со слабыми условиями ?-максимальности и ?-слойной максимальности // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2006. - 3, №4. - С. 496-506.

[5] Хмельницкий Н.А. Локально нильпотентные группы со слабыми условиями ?-минимальности и ?-максимальности // Тезисы докладов Международной научной конференции, посвященной 80-летию проф. В.Гашюца (Гомель, 16-21 октября 2000 г.). - Гомель: Гомельский гос. ун-т им. Ф.Скорины, 2000. - С. 66.

[6] Хмельницкий Н.А., Черников Н.С. О локально нильпотентных группах со слабым условием ?-слойной минимальности // Український математичний конгрес - 2001. Алгебра і теорія чисел. Тези доповідей. - Київ: Ін-т математики НАН України, 2001. - С. 53.

[7] Хмельницкий Н.А., Черников Н.С. О локально нильпотентныхгруппах со слабым условием ?-максимальности // Третя міжнародна алгебраїчна конференція в Україні (Суми, 2-8 липня 2001 р.): Тези доповідей. - Суми: Сумський держ. пед. ун-т імені А.С.Макаренка, 2001. - С. 269.

[8] Черников Н. С., Хмельницкий Н.А. Обобщенно радикальные группы со слабым условием ?-максимальности // Міжнародна алгебраїчна конференція (Ужгород, 27-29 серпня 2001 р.): Тези доповідей. - Ужгород: Ужгородський національний університет, 2001. - С. 54.

[9] Хмельницький М.О. Періодичні майже розвязні групи зі слабкою умовою ?-мінімальності // Матеріали наукової конференції ``Фрактали і сучасна математика"" (Київ, 17 вересня 2005 р.). - Київ: Вид-во НПУ імені М.П.Драгоманова, 2005. - С. 66.

[10] Хмельницький М.О. Періодичні майже розвязні групи зі слабкою умовою ?-шарової мінімальності // Тези наукової конференції памяті проф. С.С.Левіщенка (Київ, 7 жовтня 2006 р.). - К.: Вид-во НПУ імені М.П.Драгоманова, 2006. - С. 60.