Вивчення впливу на будову групи системи Lnorm(G) усіх нормальних підгруп групи G. Визначення загальної структури груп, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою. Дослідження періодичних локально ступінчатих груп.
Якщо G - група, то через Lnorm(G) (відповідно через Lnon-norm(G)) будемо позначати систему усіх нормальних підгруп групи G (відповідно систему всіх підгруп, що не є нормальними). Групи, всі підгрупи яких є нормальними, були пізніше названі дедекіндовими. Вінченці вивчалися групи, у яких підгрупи системи Lnon-norm(G) мають скінченний комутант або будуть FC-групами. Наприклад, якщо всі підгрупи групи є нормальними (тобто система Lnorm(G) містить усі підгрупи групи і відповідно система Lnon-norm(G) є пустою), то вона або абелева, або є прямим добутком групи кватерніонів, елементарної абелевої 2-групи та періодичної групи без елементів порядку 2.
Список литературы
Результати дисертації опубліковані в 4 фахових наукових статтях і в 3 тезах доповідей наукових конференцій (це публікації [1 - 4] та відповідно [5 - 7]).
Структура і обєм дисертації
Дисертація складається із вступу, трьох основних розділів (які містять 8 підрозділів), висновків і списку використаних джерел. Список використаних джерел складається із 71 найменувань. Загальний обсяг дисертації - 106 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ
У вступі сформульовано мету та задачі дисертаційної роботи, дано обґрунтування вибору теми дослідження та актуальності цієї тематики.
У розділі “Огляд літератури та попередні теоретичні відомості” подано детальну інформацію про дослідження, повязані з тематикою даної дисертаційної роботи, а також наведено перелік результатів, які використовуються у даній роботі.
У розділі 2 “Групи, власні підгрупи яких мають черніковський комутант” починається розгляд важливих часткових випадків. Нехай G - група, у якої система Lnon-norm(G) складається з підгруп, що мають черніковський комутант. Тут можливі дві крайні, діаметрально протилежні ситуації: (а) система Lnon-norm(G) є пустою; та (б) система Lnon-norm(G) складається з усіх власних підгруп групи G. У першому випадку всі підгрупи групи G є нормальними, і структура такої групи давно відома. У другому випадку всі власні підгрупи групи G мають черніковські комутанти, і цей випадок потребує спеціального дослідження. Це важливий перший етап у дослідженні груп, всі підгрупи яких або нормальні, або мають черніковський комутант.
Нагадаємо спочатку деякі необхідні поняття.
Нехай G - група. Система S її підгруп називається системою Куроша-Чернікова, якщо вона задовольняє наступні умови: (I) впорядкована за включенням множина S лінійно впорядкована;
(II) G, I S;
(III) S є замкненою відносно перетинів та обєднань своїх підгруп, зокрема разом з кожною своєю підгрупою H ? G вона містить перетин H? усіх тих підгруп системи S, які містять Н та не співпадають з Н; а також разом з кожною своєю неодиничною підгрупою K вона містить обєднання K? тих підгруп системи S, які містяться в К та не співпадають з К;
(IV) якщо H I S та H ? G, то H є нормальною в H?.
Фактор-групи H?/H називаються факторами системи S. Система S називається нормальною, якщо кожен її член є нормальною підгрупою усієї групи G.
Це поняття було введено у роботі і стало одним з базових понять теорії узагальнено розвязних груп.
Група G називається локально ступінчатою, якщо кожна її скінченно породжена підгрупа має власну підгрупу скінченного індексу.
Клас локально ступінчатих груп є дуже широким, він містить у собі класи всіх локально скінченних груп, локально майже розвязних груп, локально резидуально скінченних груп.
Основним результатом розділу 2 є наступна
2.2.5. Теорема. Нехай G - група, всі власні підгрупи якої мають черніковські комутанти. Якщо G має нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої будуть локально ступінчатими, тоді її комутант [G, G] є черніковською підгрупою.
Наведемо деякі наслідки з цієї теореми.
2.2.6. Наслідок. Нехай G - група, всі власні підгрупи якої мають черніковські комутанти. Якщо G має зростаючий ряд нормальних підгруп, фактори якого будуть локально ступінчатими, то її комутант [G, G] є черніковською підгрупою.
2.2.7. Наслідок. Нехай G - група, всі власні підгрупи якої мають черніковські комутанти. Якщо G має спадаючий ряд нормальних підгруп, фактори якого будуть локально ступінчатими, то її комутант [G, G] є черніковською підгрупою.
2.2.8. Наслідок . Нехай G - локально ступінчата група, всі власні підгрупи якої мають черніковські комутанти. Тоді і комутант усієї групи G буде черніковською підгрупою.
Група G називається узагальнено радикальною, якщо вона має зростаючий ряд нормальних підгруп, кожен фактор якого є або локально нільпотентною, або локально скінченною групою.
2.2.9. Наслідок. Нехай G - локально узагальнено радикальна група, всі власні підгрупи якої мають черніковські комутанти. Тоді і комутант усієї групи G буде черніковською підгрупою.
2.2.10. Наслідок. Нехай G - локально майже розвязна група, всі власні підгрупи якої мають черніковські комутанти. Тоді і комутант усієї групи G буде черніковською підгрупою.
А.Ю. Ольшанський 17 побудував серію екзотичних прикладів нескінченних простих груп, всі власні підгрупи яких будуть абелевими. Ці приклади доводять, що твердження теоремы 2.2.5 не може бути розширено на довільні групи, всі власні підгрупи яких мають черніковські комутанти.
Розділ 3 “Групи, всі підгрупи яких або нормальні, або мають черніковський комутант” є основним у даній дисертаційній роботі.
Нехай G - група, у якої система Lnon-norm(G) складається з підгруп, що мають черніковський комутант. Позначимо через S систему всіх тих підгруп, комутант яких не є черніковським. Тоді кожна з цих підгруп буде нормальною та визначає дедекіндову фактор-групу. Згадаємо, що дедекіндова група є нільпотентною, причому її клас нільпотентності не перевищує 2. Нехай Н - перетин усіх підгруп, що належать до системи S. Тоді фактор-група G/H буде нільпотентною групою, клас нільпотентності якої не перевищує 2. Якщо К - власна підгрупа Н, то із вибору Н випливає, що К I S, тому її комутант має бути черніковським. Як було доведено у розділі 2, при деяких досить загальних умовах підгрупа Н також має черніковський комутант. З цього випливає, що вся група G буде майже розвязною (при тих додаткових умовах, які розглядались у розділі 2). Це показує, що випадок майже розв?язної групи є основним при вивченні груп, у яких система Lnon-norm(G) складається з підгруп, що мають черніковський комутант. Першим результатом про структуру таких груп є
3.1.12. Теорема. Нехай G - локально майже розвязна група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Тоді мають місце наступні твердження: (i) кожна скінченно породжена підгрупа групи G є скінченною над своїм центром, зокрема, G є локально FC-групою;
(ii) комутант групи G буде періодичною (і, отже, локально скінченною) підгрупою. Зокрема, якщо G є вільною від скруту, то вона буде абелевою.
Цю теорему можна розширити наступним чином.
3.1.13. Теорема. Нехай G - група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Якщо G має нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої будуть локально ступінчатими, то вона є майже розвязною. Зокрема, її комутант [G, G] є локально скінченною підгрупою. Отже, якщо G є вільною від скруту, то вона буде абелевою.
3.1.14. Наслідок. Нехай G - періодична група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Якщо G має нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої будуть локально ступінчатими, то вона є локально скінченною.
3.1.15. Наслідок. Нехай G - скінченно породжена група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Якщо G має нормальну систему Куроша - Чернікова, фактори якої будуть локально ступінчатими, то вона має центр скінченного індексу. Зокрема, вона буде майже абелевою.
3.1.16. Наслідок. Нехай G - локально ступінчата група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Тоді група G є майже розвязною. Зокрема, її комутант [G, G] є локально скінченною підгрупою. Отже, якщо G є вільною від скруту, то вона буде абелевою.
Наведені вище результати дають деякий загальний опис груп, у яких кожна підгрупа або нормальна, або має черніковський комутант. Наступні результати присвячені більш детальному вивченню будови таких груп. Одним з важливих етапів цього вивчення є розгляд випадку, коли така група має підгрупу скінченного індексу, комутант якої є черніковською підгрупою.
3.2.10. Теорема. Нехай G - група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Якщо G містить у собі підгрупу скінченного індексу, комутант якої є черніковською підгрупою, то і комутант усієї групи G буде черніковською підгрупою.
При вивченні розвязних груп, кожна підгрупа яких або нормальна, або її комутант буде черніковською підгрупою, першим природним кроком є вивчення їх локальної структури. Інакше кажучи, вивчення будови їх підгруп, що мають вигляд , де A - абелева підгрупа, а g I NG(A). Основною метою параграфа 3.3 є вивчення підгруп такого типу у групах, кожна підгрупа яких або нормальна, або її комутант буде черніковською підгрупою. Даний параграф містить в основному технічні результати, на яких базується подальше вивчення вказаних типів груп. Основним результатом цього параграфа буде
3.3.20. Теорема. Нехай G - група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Нехай, далі, A - абелева підгрупа групи G, та нехай g I NG(A) \ CG(A). Тоді [А, g] буде черніковською підгрупою.
В заключній частині розділу 3 за допомогою попередніх результатів отримано опис структури деяких класів майже розвязних груп, кожна підгрупа яких або нормальна, або її комутант буде черніковською підгрупою.
3.4.2. Теорема. Нехай G - локально ступінчата група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G містить у собі таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A буде скінченно породженою. Тоді комутант групи G буде черніковською підгрупою.
3.4.8. Теорема. Нехай G - періодична група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G має нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої будуть локально ступінчатими. Якщо G не має власних підгруп скінченного індексу, то вона буде абелевою.
3.4.8. Наслідок. Нехай G - періодична локально ступінчата група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Якщо G не має власних підгруп скінченного індексу, то вона буде абелевою.
3.4.9. Наслідок. Нехай G - локально скінченна група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Якщо G не має власних підгруп скінченного індексу, то вона буде абелевою.
3.4.10. Наслідок. Нехай G - періодична майже розвязна група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G містить у собі таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A не має власних підгруп скінченного індексу. Тоді група G буде абелевою.
3.4.11. Теорема. Нехай G - періодична майже розвязна група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G містить у собі таку нормальну підгрупу A, що фактор-група G/A не має власних підгруп скінченного індексу. Якщо комутант А є черніковською підгрупою, то і комутант усієї групи G буде черніковською підгрупою.
3.4.12. Наслідок. Нехай G - періодична група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G містить у собі таку нормальну підгрупу A, що фактор-група G/A є черніковською. Якщо комутант А є черніковською підгрупою, то і комутант усієї групи G буде черніковською підгрупою.
Розглянемо наступне узагальнення резидуально скінченних груп. Нехай X - клас груп. Будемо говорити, що група G є резидуально X-група, якщо для кожного її неодиничного елемента g існує така нормальна підгрупа Hg, що не містить цього елемента і фактор-група G/Hg належить до класу груп X.
Якщо X - це клас черніковських груп, то будемо говорити про резидуально черніковські групи.
3.4.13. Теорема. Нехай G - періодична група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G є резидуально черніковською групою. Тоді комутант групи G буде черніковською підгрупою.
3.4.14. Наслідок. Нехай G - локально скінченна група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що силовські р-підгрупі G є черніковськими для кожного простого числа р. Тоді комутант групи G буде черніковською підгрупою.
Нехай p - просте число. Будемо говорити, що група G має скінченний секційний р-ранг rp(G) = r, якщо кожна елементарна абелева р-секція U/V групи G буде скінченною і має порядок, що не перевищує pr та існує елементарна абелева р-секція A/B групи G, порядок якої точно дорівнює числу pr.
Будемо говорити, що група G має скінченний секційний ранг, якщо вона має скінченний секційний р-ранг для кожного простого числа p.
3.4.15. Наслідок. Нехай G - локально скінченна група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що група G має скінченний секційний ранг. Тоді комутант групи G буде черніковською підгрупою.
Будемо говорити, що група G має скінченний спеціальний ранг r(G) = r, якщо кожна скінченно породжена підгрупа групи G може бути породжена не більше ніж r елементами і r - це найменше натуральне число, що має дану властивість.
3.4.16. Наслідок. Нехай G - локально скінченна група кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що група G має скінченний спеціальний ранг. Тоді комутант групи G буде черніковською підгрупою.
Група G називається мінімаксною, якщо вона має скінченний ряд нормальних підгруп, кожен фактор якого задовольняє умову мінімальності або умову максимальності для всіх підгруп.
Якщо група G буде мінімаксною та майже розвязною, то вона має скінченний ряд нормальних підгруп, кожен фактор якого буде або черніковською групою, або майже поліциклічною групою.
3.4.21. Теорема. Нехай G - локально ступінчата група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G містить у собі таку нормальну періодичну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A є мінімаксною. Тоді комутант групи G буде черніковською підгрупою.
У завершення цього розділу розглянемо ще одну з можливих частинних ситуацій.
3.4.22. Теорема. Нехай G - періодична група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G містить у собі таку нормальну абелеву підгрупу, що фактор-група G/А також є абелевою. Якщо P(A) C P(G/A) = ?, то комутант групи G буде черніковською підгрупою.
ВИСНОВКИ
Одна з перших задач теорії груп, яка зберігає своє значення і до цього часу, полягає у вивченні впливу на будову групи системи Lnorm(G) усіх нормальних підгруп групи G. Групи з великими системами нормальних підгруп є досить давнім обєктом дослідження у теорії груп. Нормальні підгрупи мають досить великий вплив на будову групи, тому коли система Lnorm(G) є достатньо великою, досить часто структура групи може бути детально вивчена.
Дана дисертаційна робота присвячена розгляду груп, у яких кожна підгрупа або є нормальною, або має черніковський комутант. Отримано такі нові теоретичні результати: описані групи, комутанти всіх власних підгруп яких є черніковськими підгрупами, при умові, що вони мають нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої є локально ступінчаті;
описані групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають нормальну підгрупу скінченного індексу, комутант якої є черніковською підгрупою;
описані локально ступінчаті групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A буде скінченно породженою;
описані періодичні локально ступінчаті групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони не мають власних підгруп скінченного індексу;
описані періодичні локально ступінчаті групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A не має власних підгруп скінченного індексу;
описані періодичні резидуально черніковські групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою;
описані локально скінченні групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що їх силовські підгрупи є черніковськими;
описані локально ступінчаті групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну періодичну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A є мінімаксною.
РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Яровая О.А. О группах, все собственные подгруппы которых близки к абелевым /О.А. Яровая // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. наук. - 2008.- Вип. №4.- С.36 - 39.
2. Semko N.N. On some generalization of metahamiltonian groups / N.N. Semko, O.A. Yarovaya // Algebra and Discrete Mathematics. - 2009.- №2.- P. 16 - 24.
3. Ярова О.А. Про групи, усі власні підгрупи яких близькі до абелевих / О.А. Ярова // Доп. НАН України. - 2009.- №7.- С. 34 - 35.
4. Яровая О.А. О группах, близких к метагамильтоновым /О.А. Яровая // Вісник Дніпропетровського університету. Математика. - 2009.- Вип. 14.- С. 143 - 149.
5. Yarovaya O.A. About groups close to Hamiltonian / O.A. Yarovaya, M.M. Semko // 7-th International Algebraic Conference in Ukraint.- К.: Ін-т математики НАН України, 2009. - C. 123 -124 с.
6. Яровая О.А. О некотором обобщении метагамильтоновых групп / О.А. Яровая, Н.Н. Семко // Международная конференция ” Дискретная математика, алгебра и их приложения”.- Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 2009. - C. 39 -40.
7. Ярова О.А. Групи, у яких підгрупи, що не є нормальними, близькі до абелевих груп / О.А. Ярова, М.М. Семко // Міжнародна наукова конференція, присвячена 50-річчю кафедри алгебри і математичної логіки.- Київ: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2009. - C. 49 - 51.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
