Властивості, будова та класифікація груп локальних ізометрій границь кореневих дерев, жорсткість слабо гіллястих груп. Побудова теорії груп локальних ізометрій канторових просторів та її застосування до класифікації локально скінченних груп 1-типу.
Добуток групи ізометрій та групи “фінітарних” гомеоморфізмів канторового простору визначає групу локальних ізометрій - природний і важливий обєкт досліджень. Цей клас досить широкий і містить, зокрема відомі групи Григорчука та Гупта-Сідкі, і групу всіх ізометрій та групу скінченно-станових автоморфізмів сферично однорідного кореневого дерева, групи ітерованих монодромій квадратичних поліномів, тощо. Групи локальних ізометрій границь кореневих дерев природно виникають при вивченні однорідних симетричних та знакозмінних груп - нефінітарних локально скінченних груп, які виникають в деяких розділах комбінаторики нескінченних множин і природно виникають при класифікації простих локально скінченних груп. Клас груп 1-типу не вичерпується LDA-групами, але всі групи 1-типу в певному сенсі схожі на LDA-групи (див. А в іншій роботі О.Є.Залєського задача класифікації LA-груп (індуктивних границь скінченних знакозмінних груп з діагональними зануреннями - підкласу в класі LDA-груп) оцінювалася як дуже важка.Зрозуміло, що кожен елемент нормалізатора слабо гіллястої групи в групі ізометрій відповідного кореневого дерева індукує автоморфізм цієї групи. Група називається насиченою, якщо для довільного натурального існує підгрупа яка є характеристичною в , і сферично транзитивною на кожному піддереві-го рівня. Тобто, Далі наводяться приклади насичених слабо гіллястих груп, тобто груп, до яких можна застосувати Теорему 2.28, і описати їхні групи автоморфізмів. У другому підрозділі продовжується вивчення і доводиться, що, група всіх локальних ізометрій границі сферично однорідного дерева є досконалою. У другому підрозділі розглядаються-групи (частковий випадок LDA-груп)-індуктивні границі скінченних знакозмінних (симетричних) груп з діагональними зануреннями.У дисертаційній роботі закладено основи нових напрямків та розвязано ряд актуальних проблем геометричної теорії груп та теорії локально скінченних груп. Доведено, що група автоморфізмів насиченої слабо гіллястої групи ізоморфна нормалізатору цієї групи в групі ізометрій відповідного кореневого дерева. Встановлено, що кожен елемент нормалізатора групи скінченно станових перетворень однорідного кореневого дерева в групі ізометрій цього дерева має однорідну структуру. Доведено, що якщо група всіх локальних ізометрій нескінченного компактного ультраметричного простору діє на ньому транзитивно, то вона досконала, тобто всі її автоморфізми внутрішні та її центр тривіальний. Встановлено, що якщо якась група гомеоморфізмів границі кореневого дерева, які зберігають міру Бернуллі, містить слабо гіллясту підгрупу, то кожен автоморфізм цієї групи індукується якимось елементом з групи всіх гомеоморфізмів границі кореневого дерева, які зберігають міру Бернуллі.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
У дисертаційній роботі закладено основи нових напрямків та розвязано ряд актуальних проблем геометричної теорії груп та теорії локально скінченних груп.
Вивчено автоморфізми слабо гіллястих груп. Доведено, що група автоморфізмів насиченої слабо гіллястої групи ізоморфна нормалізатору цієї групи в групі ізометрій відповідного кореневого дерева. Зокрема, це справедливо для груп Григорчука, Гупта-Сідкі, Бранера-Сідкі-Вієра. Таким чином, дано відповідь на питання Р. І. Григорчука про “жорсткість” автоморфізмів гіллястих груп. Тут також отримано важливий наслідок, що слабо гілляста група, яка містить сферично транзитивний елемент, є насиченою.
Важливим прикладом насиченої гіллястої групи є група скінченно станових перетворень однорідного кореневого дерева. Встановлено, що кожен елемент нормалізатора групи скінченно станових перетворень однорідного кореневого дерева в групі ізометрій цього дерева має однорідну структуру.
Побудовано точну дію вільного добутку двох степенів нескінченної циклічної групи на бінарному кореневому дереві рекурсивно автоматними автоморфізмами.
Розвинено теорію груп локальних ізометрій границь кореневих дерев. Зазначимо, що поняття локальної ізометрії є природним узагальненням поняття ієрархоморфізму дерева при переході до границь сферично однорідних дерев. Доведено, що якщо група всіх локальних ізометрій нескінченного компактного ультраметричного простору діє на ньому транзитивно, то вона досконала, тобто всі її автоморфізми внутрішні та її центр тривіальний.
Встановлено критерій ізоморфності повних груп локальних ізометрій границь сферично однорідних дерев. Описано гратки нормальних дільників таких груп. Доведено, що ці групи є амбівалентними та досконалими. Вивчено однорідні симетричні і однорідні знакозмінні групи. Встановлено різноманітні властивості груп автоморфізмів цих груп.
Досліджено групу всіх гомеоморфізмів границі кореневого дерева, які зберігають міру Бернуллі. Виявилося, що ця група є замиканням групи локальних ізометрій у проскінченній топології. Встановлено критерій ізоморфності груп всіх гомеоморфізмів границь кореневих дерев, які зберігають міру Бернуллі.
Встановлено, що якщо якась група гомеоморфізмів границі кореневого дерева, які зберігають міру Бернуллі, містить слабо гіллясту підгрупу, то кожен автоморфізм цієї групи індукується якимось елементом з групи всіх гомеоморфізмів границі кореневого дерева, які зберігають міру Бернуллі.
Однією з центральних задач теорії локально скінченних груп є проблема класифікації простих локально скінченних груп. В роботі розглянуто питання класифікації простих зліченних локально скінченних груп. Розвязана проблема О.Є.Залєського про класифікацію LA-груп - індуктивних границь скінченних знакозмінних груп із діагональними зануреннями. Ці групи є простими зліченними локально скінченними групами. В доведенні критерія ізоморфності LA-груп використовуються властивості міри Бернуллі, топологічні властивості границь дерев та властивості дій LA-груп на границях дерев.
Встановлено нормальну будову LDA-груп - індуктивних границь прямих добутків скінченних знакозмінних груп з блочно-діагональними зануреннями, що визначаються за діаграмами Браттелі.
Доведено критерій ізоморфності LDA-груп, які визначаються товстими діаграмами Браттелі.
Дано повну класифікацію простих LDA-груп, які складають важливий клас нефінітарних простих локально скінченних груп.
Список литературы
1. Лавренюк, Я. В. Транзитивні -групи, підстановки в яких мають не більше нерухомих точок / Я. В. Лавренюк // Вісник Київського Університету. "- 1995. "- n. 1. "- C. 20-27.
2. Лавренюк, Я. В. Автоморфізми шарово-транзитивних груп автоморфізмів кореневого дерева / Я. В. Лавренюк // Доповіді НАН України. "- 2000. "- n. 11. "- C. 12-16.
3. Lavreniuk, Y. V. Rigidity of branch groups acting on rooted trees / Y. V. Lavreniuk, V. V. Nekrashevych // Geom. Dedicata. "- 2002. "- Vol. 89, no. 1. "- Pp. 155-175.
(особистий внесок - розділи 5-8 (за винятком Теореми 7.1, Твердження 7.2 та формулювання Теореми 7.3 у термінах гомеоморфізмів границі дерева.))
4. Lavrenyuk, Y. On the finite state automorphism group of a rooted tree / Y. Lavrenyuk // Algebra and Discrete Mathematics. "- 2002. "- Vol. 1, no. 1. "- Pp. 79-89.
5. Lavrenyuk, Y. V. Automorphisms of homogeneous symmetric groups and hierarchomorphisms of rooted trees / Y. V. Lavrenyuk, V. I. Sushchansky // Algebra and Discrete Mathematics. "- 2003. "- no. 4. "- Pp. 33-49.
(внесок співавтора - постановка задачі, решта - особистий внесок)
6. Lavrenyuk, Y. On automorphisms of local isometry group of compact ultrametric spaces / Y. Lavrenyuk // International Journal of Algebra and Computation. "- 2005. "- Vol. 15, no. 5-6. "- Pp. 1013-1024.
7. Лавренюк, Я. В. Класифікація індуктивних границь з діагональними зануреннями симетричних та знакозмінних груп / Я. В. Лавренюк // Доповіді НАН України. "- 2005. "- n. 9. "- C. 24-27.
8. Lavrenyuk, Y. V. Notes to “automorphisms of homogeneous symmetric groups and hierarchomorphisms of rooted trees” / Y. V. Lavrenyuk, V. I. Sushchansky // Algebra and Discrete Mathematics. "- 2005. "- Vol. 4, no. 2. "- Pp. 70-72.
(внесок співавтора - постановка задачі, решта - особистий внесок)
9. Lavrenyuk, Y. Classification of the local isometry groups of rooted tree boundaries / Y. Lavrenyuk // Algebra and Discrete Mathematics. "- 2007. "- no. 2. "- Pp. 104-110.
10. Лавренюк, Я. В. Нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически-однородного дерева / Я. В. Лавренюк, В. И. Сущанский // Доповіді НАН України. "- 2007. "- n. 3. "- C. 20-24.
(внесок співавтора - постановка задачі, решта - особистий внесок)
11. Лавренюк, Я. В. Спряженість в групі локальних ізометрій границі локально скінченного кореневого сферично однорідного дерева / Я. В. Лавренюк // Науковий вісник Чернівецького університету. "- 2007. "- T. 336-337. "- C. 92-94.
12. Lavrenyuk, Y. On classification of inductive limits of direct products of alternating groups / Y. Lavrenyuk, V. Nekrashevych // Journal of the London Mathematical Society. "- 2007. "- Vol. 75, no. 1. "- Pp. 146-162.
13. Faithful group actions on rooted trees induced by actions of quotients / Y. Lavrenyuk, V. Mazorchuk, A. Oliynyk, V. Sushchansky // Communications in Algebra. "- 2007. "- Vol. 35, no. 11. "- Pp. 3759-3775.
(особистий внесок - результати підрозділу 2.3.)
14. Лавренюк, Я. В. Автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп / Я. В. Лавренюк // Доповіді НАН України. "- 2007. "- n. 4. "- C. 22-25.
15. Лавренюк, Я. В. Про вінцеві добутки за деревовидно впорядкованими множинами / Я. В. Лавренюк, А. С. Олійник // Вісник Київського Університету. Серія фіз.-мат. науки. "- 2007. "- n. 3. "- C. 24-27.
(особистий внесок - результати пункту 4.)
16. Лавренюк, Я. В. Централізатори елементів в групі зберігаючих міру гомеоморфізмів множини кантора / Я. В. Лавренюк // Вісник Київського Університету. Серія фіз.-мат. науки. "- 2007. "- n. 4. "- C. 48-51.
17. Лавренюк, Я. В. Решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически-однородного дерева / Я. В. Лавренюк, В. И. Сущанский // Український Математичний Журнал. "- 2008. "- T. 60, n. 10. "- C. 1350-1356.
(внесок співавтора - постановка задачі, решта - особистий внесок)
18. Лавренюк, Я. В. Групи зберігаючих міру гомеоморфізмів множини кантора / Я. В. Лавренюк, В. В. Некрашевич // Доповіді НАН України. "- 2008. "- n. 6. "- C. 28-31.
(внесок співавтора - постановка задачі, решта - особистий внесок)
19. Лавренюк, Я. В. Локально скінченні групи асоційовані з діаграмами браттелі / Я. В. Лавренюк, В. І. Сущанський // Прикладні проблеми механіки і математики. "- 2008. "- n. 6. "- C. 17-26.
(внесок співавтора - постановка задачі, решта - особистий внесок)
20. Лавренюк, Я. В. Нерозкладність скінченної знакозмінної групи у пряму суму підгруп при нестандартній примітивній дії / Я. В. Лавренюк // Вісник Київського Університету. Серія фіз.-мат. науки. "- 2008. "- n. 3. "- C. 27-29.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
