Гравитационные волны и коэффициент эмерджентности классических и квантовых систем - Статья

В таком случае квантовые и классические системы представляются как лучи гравитационных волн, а метрика является основной мерой взаимодействия систем с внешним гравитационным полем. Отметим, что первым уравнением определяется метрика пространства-времени, а вторым уравнением задается распределение материи, которое соответствует этой метрике. Следовательно, движение материи в квантовой или классической системе можно рассматривать как результат фундаментального механизма преобразования темной энергии в системе, содержащей гравитационные волны разного масштаба [20]. В работе [14] предложено считать, что количество информации в системе можно рассчитывать по формуле Хартли (7), полагая, что элементами системы являются не только ее базовые элементы, но и состоящие из них подсистемы, количество которых в системе определяется выражением (14). Предположим, что количество информации в квантовой системе, подчиняющейся статистике Бозе-Эйнштейна, можно рассчитывать по формуле Хартли (7), полагая, что элементами системы являются не только ее базовые элементы, но и состоящие из них подсистемы, количество которых в системе определяется выражением (22).

Общая теория относительности Эйнштейна [1] и квантовая механика Шредингера [2] являются основой современной физической теории. В последнее время возникла проблема интерпретации барионной материи, содержание которой во Вселенной составляет не более 5% [3-4]. Необходимо указать механизм возникновения барионной материи из темной материи или энергии, а также объяснить, почему в лабораториях наблюдаются только частицы, находящиеся в связи с барионной материей, но нет никаких следов темной энергии или темной материи.

Этот вопрос, на наш взгляд, напрямую связан с гравитационными волнами, которые недавно были обнаружены путем анализа поляризации фонового микроволнового излучения [5]. В этой связи приведем фрагмент из письма Шредингера к Эйнштейну: «…я уже давно думаю, что следует отождествлять -волны с волнами нарушения гравитационного потенциала - конечно, не с теми, которые ты исследовал впервые, но с теми, которые обладают действительной массой, т.е. не исчезающим . Это значит, я думаю, что нужно в абстрактной общей теории относительности, содержащей еще как «asylum ignorantial» (по твоему собственному выражению), ввести материю не в качестве массивных точек или чего-нибудь подобного, а как квантованные гравитационные волны» [2].

Для описания материи в рамках общей теории относительности Эйнштейн и Инфельд сформулировали программу [6]: «Все попытки представить материю тензором энергии-импульса неудовлетворительны, и мы хотим освободить нашу теорию от специального выбора такого тензора. Поэтому мы будем иметь дело здесь только с гравитационными уравнениями в пустом пространстве, а материя будет представлена сингулярностями гравитационного поля».

Реализация этой программы в физике имела далеко идущие последствия. В результате сформировалась научная парадигма, берущая свое начало из трудов Пифагора, в которой реальность заменяется численной симуляцией, полученной на квантовом компьютере Вселенной [7-13]. Действительно, хорошо известно, что информация является основой развития систем [14-17]. Однако описание физических систем на основе универсальной модели - теории всего, все еще является нерешенной проблемой.

Мы предполагаем, что теория относительности Эйнштейна [1] может служить базовой универсальной моделью, в которой Вселенная представляется как совокупность гравитационных волн разного масштаба [18-20]. В таком случае квантовые и классические системы представляются как лучи гравитационных волн, а метрика является основной мерой взаимодействия систем с внешним гравитационным полем.

Предложенный подход к решению проблемы происхождения квантовой механики [2] из общей теории относительности Эйнштейна [1] может явиться основой для построения ряда моделей, объясняющих не только связь волновой функции с гравитационными волнами, в полном соответствии с гипотезой Шредингера [2], но и квантовой статистики. В настоящей работе построен коэффициент эмерджентности классических и квантовых динамических систем, по аналогии с коэффициент эмерджентности классических и квантовых статистических систем [21-22].

Основные уравнения модели.

Уравнения гравитационного поля Эйнштейна имеют вид /6/: (1)

- тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно.

В общем случае имеют место соотношения

(2)

- тензор Римана, - символы Кристоффеля второго рода.

Чтобы сохранить основную идею определения метрики в теории гравитации Эйнштейна, мы предположим, что уравнение Эйнштейна (1) распадается на два независимых уравнения [18-20]: (3)

Здесь - некоторая функция, зависящая от размерности пространства. Отметим, что первым уравнением определяется метрика пространства-времени, а вторым уравнением задается распределение материи, которое соответствует этой метрике. Эта гипотеза соответствует идее о происхождении материи из гравитационного поля [6], но без специального предположения о наличии сингулярности метрики.

В работах [18-20] представленная модель квантовой гравитации в многомерных пространствах размерностью с метрикой

(4)

Здесь - углы на единичной сфере, погруженной в мерное пространство. Метрика (4) описывает многие важные случаи симметрии, используемые в физике элементарных частиц и в теории супергравитации. Такой подход позволяет охватить все многообразие материи, которую производит фабрика природы, путем выбора уравнения состояния . Так, например, в [18-19] метрика (4) и модель (3) использованы для обоснования гипотезы Шредингера [2] о связи гравитационных волн с волновой функцией квантовой механики.

Рассмотрим гравитацию в пространствах с метрикой (4). Уравнение Эйнштейна в форме (3) является универсальным, поэтому обобщается на пространство любого числа измерений. Движение материи будем описывать уравнением Гамильтона-Якоби, которое также обобщается на любое число измерений. Вместе эти два уравнения составляют универсальную модель, описывающую движение материи в -мерном пространстве: (5)

(6)

Следовательно, движение материи в квантовой или классической системе можно рассматривать как результат фундаментального механизма преобразования темной энергии в системе, содержащей гравитационные волны разного масштаба [20]. Действительно, уравнение Гамильтона-Якоби (6) описывает распространение лучей света или пучков частиц с нулевой массой в приближении геометрической оптики. Тогда как уравнение Эйнштейна описывает гравитацию в исследуемом масштабе длин волн, включая прибор для измерения движения. Но свет и частицы можно рассматривать как пакеты гравитационных волн малого масштаба, которые генерируются в результате передачи энергии по спектру, аналогично механизму передачи энергии в турбулентном потоке [23].

Коэффициент эмерджентности классических и квантовых статистических систем.

Если базовое множество содержит W элементов, то по Хартли количество информации, которое мы получаем, когда выбираем некоторый элемент, равно: (7)

Если базовые элементы могут взаимодействовать друг с другом, то они могут образовывать подсистемы.

Здесь и возникают принципиальные вопросы о том: - какие элементы могут образовывать подсистемы, а какие не могут;

- сколько подсистем различной сложности может быть образовано из W базовых элементов?

Ответы на эти вопросы зависят от того, какой квантовой статистике подчиняется образующаяся система.

Рассмотрим квантовую систему, состоящую из ряда подсистем, которые пронумеруем целым числом . Каждая подсистема характеризуется числом состояний и числом частиц , которые находятся в этих состояниях и обладают энергией . Определим число возможных способов распределения частиц по состояниям. В случае статистики Ферми в каждом состоянии может находиться не более чем одна частица, поэтому число способов равно [24]

(8)

В случае статистики Бозе в каждом состоянии может находиться любое число частиц, следовательно, число способов равно [24]

(9)

Энтропия, общее число частиц и энергия системы равны по определению

(10)

Найдем числа , которые соответствуют экстремуму энтропии при условии постоянства общего числа частиц и энергии системы. Если число состояний и число частиц в каждой подсистеме достаточно велико, , то можно воспользоваться приближенной формулой для логарифма факториала . В этом случае выражение энтропии квантовых систем упрощается и принимает вид: (11)

Здесь первое выражение соответствует энтропии системы фермионов, а второе - системы бозонов.

Используя метод Лагранжа, составим функционал

, где - некоторые постоянные. Экстремум энтропии достигается при условии

Отсюда находим два типа распределения

(12)

Отметим, что знак плюс соответствует распределению Ферми, а знак минус - распределению Бозе.

Следовательно, в случае статистики Ферми на образование подсистем накладывается ограничение на число частиц, которые могут находиться в одном состоянии. С учетом этого ограничения все элементы базового множества могут образовывать подсистемы в любых сочетаниях, а их общее число определяется выражением (8), которое запишем в виде

(13)

Здесь n - число состояний системы; m - число частиц находящихся в этих состояниях.

Ясно, что при фиксированном числе состояний в системе могут быть подсистемы из 1, 2, 3, …, W элементов. При этом подсистемы из 1-го элемента это сами базовые элементы, а подсистема из W элементов - это вся система в целом (булеан) [17, 21].

На всех иерархических уровнях системы от 1-го до W, суммарно будет содержаться общее число подсистем: (14)

В работе [14] предложено считать, что количество информации в системе можно рассчитывать по формуле Хартли (7), полагая, что элементами системы являются не только ее базовые элементы, но и состоящие из них подсистемы, количество которых в системе определяется выражением (14). Таким образом, количество информации в системе будет: (15)

Или окончательно: (16)

Следовательно, выражение (11) представляет собой системное обобщение формулы Хартли для количества информации в квантовой системе, подчиняющейся статистике Ферми-Дирака с заданным числом состояний и с переменным числом частиц.

В работе [14] предложено оценивать уровень системности или сложности системы отношением количества информации в системе (с учетом входящих в нее подсистем всех уровней иерархии) к количеству информации во множестве образующих ее базовых элементов: (17)

Это выражение было названо в работе [21] коэффициентом эмерджентности Хартли, в честь этого выдающегося ученого, внесшего большой вклад в становление научной теории информации, а также потому, что в нем использовано классическое выражение Хартли для количества информации (7) и его системное обобщение (16).

На рис. 1 представлена зависимость коэффициента эмерджентности Хартли (17), представляющая собой поверхность. Отметим, что в области параметров , характерной для ядерных и атомных оболочек, коэффициент эмерджентности изменяется немонотонно с ростом W, что позволяет объяснить поведение энергии связи нуклонов в атомных ядрах [25].

Непосредственно из вида выражения для коэффициента эмерджентности Хартли (17) ясно, что он представляет собой относительное превышение количества информации в квантовой системе, подчиняющейся статистике Ферми-Дирака, при учете системных эффектов (смешанных состояний, иерархической структуры ее подсистем и т.п.) над количеством информации без учета системности.

Рис. 1. Поведение коэффициента эмерджентности Хартли в случае классической и квантовой статистики [22]. На правом нижнем рисунке поверхности коэффициента эмерджентности изображены для малого числа частиц и состояний.

В работе [21] показано, что при n=W выражение (16) приобретает вид: (18)

Выражение (11) для количества информации в системе с учетом (18): (19)

Выражение (19) дает оценку максимального количества информации, которое может содержаться в системе при вхождении всех элементов во все подсистемы различных уровней иерархической структуры.

Из выражения (19) видно, что I достаточно быстро стремится к W, поскольку (20)

При W > 4 различие I и W в выражении (20) не превышает 1%. Таким образом, коэффициент эмерджентности Хартли (17) отражает уровень системности объекта, подчиняющегося статистике Ферми-Дирака. Этот коэффициент изменяется от 1 (системность минимальна, т.е. отсутствует) до W/Log2W (системность максимальна).

Для каждого количества элементов системы существует свой максимальный уровень системности, который никогда реально не достигается изза действия правил запрета на реализацию в системе ряда подсистем различных уровней иерархии. Например, не все сочетания букв русского алфавита образуют слова русского языка, и не все сочетания слов - предложения. В каждом состоянии может находиться только одна частица и т.п. По этой причине систему правил запрета в [21] предложено назвать информационным проектом системы. Различные системы, состоящие из равного количества одинаковых элементов, отличаются друг от друга именно по причине различия своих информационных проектов.

Одним из наиболее важных и известных в физике правил запрета, который действует на квантовые системы, подчиняющиеся статистике Ферми-Дирака, является принцип Паули. Это один из основополагающих принципов, влияющий на строение химических элементов, классифицированных в таблице Д. И. Менделеева [25].

Для статистики Бозе-Эйнштейна число различных подсистем рассчитывается по формуле (9), которую запишем в форме гравитационный эйнштейн эмерджентность квантовый

(21)

Здесь k - число состояний, r - число частиц в системе. На всех иерархических уровнях квантовой системы, подчиняющейся статистике Бозе-Эйнштейна, от 1-го до W, суммарно будет содержаться общее число подсистем

(22)

Предположим, что количество информации в квантовой системе, подчиняющейся статистике Бозе-Эйнштейна, можно рассчитывать по формуле Хартли (7), полагая, что элементами системы являются не только ее базовые элементы, но и состоящие из них подсистемы, количество которых в системе определяется выражением (22). Таким образом, количество информации в такой квантовой системе, подчиняющейся статистике Бозе-Эйнштейна, будет: (23)

Или окончательно: (24)

Выражение (19) представляет собой системное обобщение формулы Хартли для количества информации в квантовой системе, подчиняющейся статистике Бозе-Эйнштейна.

Соответственно, выражение для коэффициента эмерджентности Хартли для случая квантовых систем, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна, будет иметь вид: (25)

На рис. 1 представлена зависимость коэффициента эмерджентности Хартли (25). Можно отметить существенное различие в поведении функции (25) и аналогичного коэффициента вычисленного для случая статистики Ферми-Дирака - см. рис. 1.

Отметим, что обе квантовые статистики - и Ферми-Дирака, и Бозе-Эйнштейна, асимптотически приближаются к статистике Максвелла-Больцмана в пределе высоких температур и низких плотностей, что непосредственно следует из выражения (12). В случае статистики Максвелла-Больцмана число подсистем, которое можно образовать при заданном значении числа состояний определяется согласно [24]

Отсюда находим коэффициент эмерджентности классических систем в виде

(26)

Здесь N - число частиц, G - число состояний. На рис. 1 представлена зависимость (26). По характеру поведения коэффициент эмерджентности классических систем при малом числе состояний и частиц занимает промежуточное положение между аналогичными коэффициентами, вычисленными для ферми- и бозе-систем - см. рис. 1.

Из приведенных на рис. 1 данных следует, что с ростом числа состояний и числа частиц коэффициенты эмерджентности квантовых и классических систем отличаются между собой, как и коэффициенты квантовых систем ферми-частиц и бозе-частиц. Следовательно, коэффициент эмерджентности позволяет отличить классическую систему от квантовой системы, а квантовую систему ферми-частиц от квантовой системы бозе-частиц.

Центрально-симметрическое поле.

Уравнения поля в метрике (4) сводятся к одному уравнению второго порядка [18-20]

(27)

В общем случае параметры модели и скалярная кривизна зависят только от размерности пространства, имеем

(28)

Отметим, что уравнение (27) изменяет свой тип в зависимости от знака производной : в области уравнение (27) имеет эллиптический тип;

в области уравнение (27) имеет гиперболический тип;

в области уравнение (27) имеет параболический тип.

Сигнатура метрики (4) не меняется, если потребовать дополнительно .

Уравнение Гамильтона-Якоби в метрике (4) имеет вид

(29)

Уравнение (29) можно проинтегрировать при некоторых предположениях, используя метод, который предложил Шредингер [2]. Суть метода состоит в том, чтобы представить решение уравнения (11) в виде

(30)

Здесь в теорию в явном виде вводится классическое действие - , постоянная Планка и волновая функция . Используя классическое действие, мы определяем те параметры задачи, которые могут считаться внешними для квантовой системы. В случае метрики (4) удобно будет выбрать в качестве переменных квантовой механики углы на единичной сфере, а в качестве координат классического действия - время и радиальную координату. Тогда уравнение (29) разделяется на два уравнения

(31)

Здесь - произвольная постоянная.

Метрика Шварцшильда и уравнение состояние материи.

Все статические метрики вида (4) описываются уравнением (27), полагая в этом уравнении , находим

(32)

Интегрируя уравнение (32), получим

(33)

- произвольная постоянная. Для физических приложений представляют интерес статические решения, которые имеют в качестве асимптотики метрику Шварцшильда, описывающую гравитационное поле точечной массы

(34)

Метрика (34) широко используется в космологии в связи с явлением коллапса, ведущим к образованию черных дыр. Заметим, что метрика Шварцшильда определена в сферических координатах, тогда как метрика (4) является центрально-симметрической. Для согласования метрик положим , тогда метрика Шварцшильда преобразуется к виду

(35)

Среди статических метрик, имеющих в качестве асимптотики метрику Шварцшильда (35), можно выделить экспоненциальную зависимость

(36)

Подставляя выражение (43) в уравнение (40), находим уравнение состояния, которое согласовано с метрикой Шварцшильда

(37)

Заметим, что в метрике Шварцшильда (34) параметр соответствует массе или энергии покоя системы. Мы предполагаем, что источник гравитации типа точечной массы обусловлен в метрике (4) наличием двух типов уравнения состояния, соответствующих бозонам и фермионам.

Сопоставим первое уравнение (37) с квантовыми статистиками (12): - в случае бозонов

;

- в случае фермионов

.

Как известно, деление частиц, на фермионы и бозоны, первоначально возникло в статистической физике [24], и лишь благодаря теореме Паули была установлена связь спина со статистикой [26]. Однако уравнение состояния в форме (37) не содержит никакой информации о спинах частиц. Согласно (37), разделение на бозоны и фермионы является фундаментальным свойством гравитационного поля, тогда как спин является свойством симметрии системы, которые отражены во втором уравнении (31).

Стационарные состояния квантовых и классических систем.

Покажем, что для любой квантовой или классической системы, обладающей центральной симметрией и заданной энергией, существует такая метрика, что действие системы будет связано с некоторым решением уравнения (27). В случае стационарных состояний действие системы можно представить в виде

.

Используя первое уравнение (31) и уравнение (33), находим

(38)

Выразим из первого уравнения (38) и подставим во второе, тогда получим

(39)

Очевидно, что решения уравнения (39) при всех вещественных значениях параметров и метрики определены в комплексной плоскости. Действительно, уравнение (39) можно представить в виде

(40)

Отсюда следует, что функция действия в общем случае либо является комплексной, либо движение ограничено условием

(41)

Поскольку же метрика допускает любые движения, то отсюда следует, что функция действия является комплексной. Разрешая уравнение (40), находим в явном виде зависимость действия стационарных систем от метрики окружающего пространства

(42)

Здесь логарифмическая функция определена в комплексной плоскости, - произвольная постоянная.

В случае решение уравнения (40) имеет вид

(43)

Полученные зависимости (41)-(42) решают поставленную задачу. Таким образом, мы доказали, что действие любой механической системы - классической или квантовой, находящейся в стационарном состоянии, зависит от параметров, характеризующих движение и от метрики окружающего пространства. Следовательно, для каждого типа движения существует такое уравнение состояния , что движение полностью определяется метрикой и параметрами движения - энергией и угловым моментом, что и требовалось доказать.

На рис. 2 представлены зависимости , вычисленные по уравнению (42), от параметров при заданных значениях .

Рис. 2. Зависимость действия от параметров при заданном значении .

Основной вывод, который следует из анализа выражения (42) и данных на рис. 2, это разделение действия бозонов и фермионов «стеной», имеющей особенность . Таким образом, указанное выше разделение материи на бозоны и фермионы является фундаментальным свойством гравитационного поля, которое отражается на состоянии материи, что непосредственно следует из уравнения (40).

Далее заметим, что зависимость действия от параметров метрики в форме (42) является аналогичной логарифмической зависимости энтропии и коэффициента эмерджентности от числа состояний в форме (11), (17) и (25). Это наводит на мысль, что действие, описывающее движение системы в гравитационном поле и энтропия имеют аналогичный смысл.

Действительно, в статистической физике распределение типа (12) возникает в такой системе, в которой достигается экстремум энтропии. В гравитационном поле аналогичное распределение (37) возникает в системе обладающей центральной симметрией и метрикой, согласованной с метрикой Шварцшильда. Оба этих свойства, как известно, соотносятся со свойствами материи. А всякая материальная система движется так, что действие достигает экстремума, в частности экстремума информации или энтропии [16]. Таким образом, есть основания предположить, что гравитационные волны являются глобальным системообразущим факторов.

Уравнение (40) показывает, что действие в гравитационном поле зависит не только от динамических параметров, но и от уравнения состояния гравитационного поля. В случае фермионов из уравнения (40) и условия (41) следует, что энергия системы с центральной симметрией меньше, чем энергия покоя, поскольку .

Это правило выполняется как для электронов в электронных оболочках, так и для нуклонов в атомных ядрах. В случае бозонов энергия системы может быть и больше и меньше, чем энергия покоя.

Это фундаментальное различие между бозонами и фермионами можно отобразить на основе уравнения (42), полагая в нем . На рис. 3 представлена реальная часть действия над комплексной плоскостью метрики. В случае бозонов соответствующая поверхность имеет дыру, а в случае фермионов - разрыв.

Рис. 3. Поведение реальной части действия над комплексной плоскостью метрики: поверхность бозонов имеет дыру, а фермионов - разрыв.

Полученные результаты позволяют рассматривать модифицированное уравнение Эйнштейна (3) не только как космологическую модель [27], но и как фундаментальную модель физики элементарных частиц [18-20].

Einstein A. Zur allgemeinen Relativitatstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1915, 44, 2, 778-786; Erklarung der Perihelbeivegung der Merkur aus der allgemeinen Relativitdtstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1915, 47, 2, 831-839; Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstneorie. Ann. Phys., 1916, 49, 769-822; Nahemngsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1916, 1, 688-696; Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitdtstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1917, 1, 142-152; Uber Gravitationwellen. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1918, 1, 154-167.

Erwin Schrodinger. Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung)//Annalen der Physik, (4), 79, (1926), 361-376; Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung)//Annalen der Physik, (4), 79, (1926), 489-527; Letter Schrodinger to Einstein, Jul 19, 1939.

Planck Collaboration: Cosmological parameters. - Plank 2013 results, Astronomy & Astrophysics manuscript, March 21, 2013; Planck 2013 results. XXVI. Background geometry and topology of the Universe. Submitted to A&A (2013).

J. Rosner. Planning the Future of U.S. Particles Physics// arxiv: 1401.6075v1 [hep-ex] 23 Jan 2014

BICEP2 COLLABORATION. BICEP2 I: DETECTION OF B-mode POLARIZATION AT DEGREE ANGULAR SCALES// ARXIV:1403.3985v1 [astro-ph.CO] 17 Mar 2014; BICEP2 II: EXPERIMENT AND THREE-YEAR DATA SET// ARXIV:submit/0934363 [astro-ph.CO] 17 Mar 2014.

Einstein A., Infeld L. Gravitational Equations and the Problems of Motion //Ann.Math., 1940,41, 455-464; On the Motion of Particles in General Relativity Theory// Canad. J. Math., 1949, 1, 209-241.

Stephen Wolfram, Universality and complexity in cellular automata, Physica D 10 (1984) 1-35. http://www.stephenwolfram.com/publications/articles/ca/84-universality; New Kind of Science, Wolfram Media, 2002, http://www.wolframscience.com/nksonline ; Computing a theory of everything// TED. Feb 2010. Retrieved 16 May 2012.

David Deutsch. Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer//Proceedings of the Royal Society of London A 400, pp. 97-117, 1985.

John A. Wheeler. Information, physics, quantum: The search for links/ in W. Zurek (ed.) Complexity, Entropy, and the Physics of Information. Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1990.

G. "t Hooft. Quantum Gravity as a Dissipative Deterministic System// Class. Quant. Grav. 16: 3263-79. 1999.

Girelli F., Livine E. R. Reconstructing Quantum Geometry from Quantum Information: Spin Networks as Harmonic Oscillators// Class. Quant. Grav. 22: 3295-3314, 2005.

J. Schmidhuber. The Fastest Way of Computing All Universes. In H. Zenil, ed., A Computable Universe. World Scientific, 2012.

Blitz, David. Emergent Evolution: Qualitative Novelty and the Levels of Reality. Dordrecht: Kluwer Academic, 1992.

Луценко Е.В.. Автоматизированный системно-когнитивный анализ в управлении активными объектами (системная теория информации и ее применение в исследовании экономических, социально-психологических, технологических и организационно-технических систем): Монография (научное издание). - Краснодар: КУБГАУ. 2002. - 605 с.

Луценко Е.В. Количественные меры возрастания эмерджентности в процессе эволюции систем (в рамках системной теории информации) / Е.В. Луценко // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КУБГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КУБГАУ, 2006. - №05(021). С. 355 - 374. - Шифр Информрегистра: 0420600012\0089, IDA [article ID]: 0210605031. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2006/05/pdf/31.pdf, 1,25 у.п.л., импакт-фактор РИНЦ=0,577

Луценко Е.В. Универсальный информационный вариационный принцип развития систем / Е.В. Луценко // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КУБГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КУБГАУ, 2008. - №07(041). С. 117 - 193. - Шифр Информрегистра: 0420800012\0091, IDA [article ID]: 0410807010. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2008/07/pdf/10.pdf, 4,812 у.п.л., импакт-фактор РИНЦ=0,577

Луценко Е.В. Реализация операции объединения систем в системном обобщении теории множеств (объединение булеанов) / Е.В. Луценко // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КУБГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КУБГАУ, 2011. - №01(065). С. 354 - 391. - Шифр Информрегистра: 0421100012\0001, IDA [article ID]: 0651101029. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2011/01/pdf/29.pdf, 2,375 у.п.л., импакт-фактор РИНЦ=0,577

Трунев А.П. Гравитационные волны и квантовая теория Шредингера// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КУБГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КУБГАУ, 2014. - №02(096). С. 1189 - 1206. - IDA [article ID]: 0961402081. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/02/pdf/81.pdf

Alexander Trunev. Gravitational waves and quantum theory// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КУБГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КУБГАУ, 2014. - №02(096). - IDA [article ID]: 0961402078. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/02/pdf/78.pdf

Трунев А.П. Гравитационные волны и стационарные состояния квантовых и классических систем// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КУБГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КУБГАУ, 2014. - №03 (97).

Луценко Е.В. Обобщенный коэффициент эмерджентности Хартли как количественная мера синергетического эффекта объединения булеанов в системном обобщении теории множеств / Е.В. Луценко // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КУБГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КУБГАУ, 2011. - №02(066). С. 535 - 545. - Шифр Информрегистра: 0421100012\0031, IDA [article ID]: 0661102045. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2011/02/pdf/45.pdf, 0,688 у.п.л., импакт-фактор РИНЦ=0,577

Луценко Е.В., Трунев, А.П. Коэффициент эмерджентности классических и квантовых статистических систем// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КУБГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КУБГАУ, 2013. - №90(06).

Vladimir Dzhunushaliev, V. Folomeev, Burkhard Kleihaus, Jutta Kunz. Modified gravity from the quantum part of the metric// ARXIV:1312.0225v2 [gr-qc], 9 Jan 2014.

L.D. Landau, E.M. Lifshitz. Statistical Physics. Vol. 5 (3rd ed.). Butterworth-Heinemann. 1980.

Трунев А.П. Ядерные оболочки и периодический закон Д.И.Менделеева. Часть 1, 2. // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КУБГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КУБГАУ, 2012. - №07(81). С. 491 - 514. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/07/pdf/37.pdf

Pauli W. The Connection Between Spin and Statistics// Phys. Rev. 58 (8), 716-722, 1940.

Trunev A.P. Cosmology of inhomogeneous rotating universe and reality show//, Network electronic scientific journal of the Kuban State Agrarian University (The Journal KUBGAU) [electronic resource], Krasnodar KUBGAU, 2014. - №01(095). - IDA [article ID]: 0951401028, http://ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/28.pdf

Размещено на .ru