Геометрия Лобачевского - Курсовая работа

Данная работа показывает сходство и различия двух геометрий на примере доказательства одного из постулатов Евклида и продолжение этих понятий в геометрии Лобачевского с учетом достижений науки на тот момент. Участь эта не обошла геометрию. Традиционная геометрия Евклида переросла в геометрии. Цель данной работы: рассмотреть отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Задачи данной работы: сравнить теоремы геометрии Евклида с аналогичными теоремами геометрии Лобачевского;В нем изложение на столько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда «Начала» оно было единственным руководством для изучающих геометрию. «Начала» состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении. Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства. V постулат Евклида гласит: и чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых. Между тем уже в древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов.В основе обычной геометрии лежит предположение, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, не более одной прямой, не пересекающей данную прямую. Тот факт, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит по крайней мере одна прямая, не пересекающая эту прямую, относится к «абсолютной геометрии», т.е. может быть доказан без помощи постулата о параллельных линиях.Он определяет основные понятия геометрии, не зависящие от V постулата, и заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть >, как это имеет место у сферических треугольников, Лобачевский заявляет: «Мы видели, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть >. Лобачевский указывает, что в «воображаемой геометрии» сумма углов треугольника всегда <и две прямые могут не пересекаться в случае, когда они образуют с секущей углы, в сумме меньше. Через каждую точку плоскости проходят две прямые, параллельные данной прямой, лежащей в этой плоскости; эти прямые делят пучок прямых, проходящих через данную точку, на четыре области, в двух из которых проходят прямые, пересекающие данную прямую, а в двух - прямые, которые не пересекают эту прямую не могут быть получены предельным переходом из пересекающихся - такие прямые называются расходящимися; параллельные прямые разграничивают пересекающие прямые от расходящихся (на рис. Условно изображены прямые r и r1, проведенные через точку А параллельно прямой p, прямые q и q1, проведенные через точку А и пересекающие прямую p, и прямые s и s1, расходящиеся с прямой p ). Угол между прямой, проведенной через точку А параллельно прямой р, и перпендикуляром, опущенным из А на р, Лобачевский называет «углом параллельности» и показывает, что функция, выражающая зависимость этого угла от длины а перпендикуляра, может быть (в современных обозначениях) записана в видеВыведя уже в своей первой работе «О началах геометрии» формулы тригонометрии своей новой системы, Лобачевский заметил, что «эти уравнения переменяются в … (уравнения) сферической Тригонометрии, как скоро вместо боков а, b, c ставим в а-1, b-1, с-1, но в обыкновенной Геометрии и сферической Тригонометрии везде входят одни содержания (то есть отношения ) линий: следовательно, обыкновенная Геометрия, Тригонометрия и эта новая геометрия всегда будут согласованы между собой». Это означает, что если мы запишем теорему косинусов, теорему синусов и двойственную теорему косинусов сферической тригонометрии для сферы радиуса r в виде SINA SINB SINC, sin(a/r) sin(b/r) sin(c/r) cos(a/r)=cos(b/r)*cos(c/r) sin(b/r)*sin(c/r)*COSA, COSA=-COSBCOSC SINBSINCCOS(a/r), то формулы тригонометрии Лобачевского можно записать в том же виде, заменив стороны а,b,c треугольника произведениями ai, bi, ci; так как умножение сторон а,b,c на i равносильно умножению на i радиуса сферы, то, полагая r=qi и воспользовавшись известными соотношениями cos(ix) = ch x, sin(ix) = i sh x, мы можем переписать соответственные формулы тригонометрии Лобачевского в виде ch(a/q)=ch(b/q)*ch(c/q)-sh(b/q)*sh(c/q)*COSA, SINA SINB SINC, sh(a/q) sh(b/q) sh(c/q)Первой, по времени явилась модель планиметрии Лобачевского на некоторых поверхностях (именно на поверхностях постоянной отрицательной кривизны). На этих поверхностях в смысле их внутренней геометрии, когда расстоянии между точками определяются по кратчайшим линиям на самой поверхности, выполняется геометрия Лобачевского. Соответствующие поверхности могут быть изготовлены, и тогда геометрия на кусках плоскости Лобачевского представляется самым реальным способом. Эта модель называется моделью Кэли - Клейна потому, что фактически построил в 1859 г. английский математик Кэли, хотя и не понял, ч

Оглавление

Введение

Глава I. История возникновения неевклидовой геометрии

1.1 V постулат Евклида, попытки его доказательства

1.2 Постулаты параллельности Евклида и Лобачевского

Глава II. Геометрия Лобачевского

2.1 Основные понятия

2.2 Непротиворечивость геометрии Лобачевского

2.3 Модели геометрии Лобачевского

2.4 Дефект треугольника и многоугольника

2.5 Абсолютная единица длины в геометрии Лобачевского

2.6 Определение параллельной прямой. Функция П(х)

2.7 Модель Пуанкаре

Практическая часть

1. Сумма углов треугольника

2. Вопрос о существовании подобных фигур

3. Основное свойство параллелизма

4. Свойства функции П(х)

Заключение. Выводы

Приложения

Список использованной литературы

Данная работа показывает сходство и различия двух геометрий на примере доказательства одного из постулатов Евклида и продолжение этих понятий в геометрии Лобачевского с учетом достижений науки на тот момент.

Любая теория современной науки считается верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки. Этот факт многократно подтверждался.

Физика Ньютона переросла в релятивисткую, а та - в квантовую. Теория флогистона стала химией. Такова судьба всех наук. Участь эта не обошла геометрию. Традиционная геометрия Евклида переросла в геометрии. Лобачевского. Именно этому разделу науки посвящена эта работа.

Цель данной работы: рассмотреть отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.

Задачи данной работы: сравнить теоремы геометрии Евклида с аналогичными теоремами геометрии Лобачевского;

посредством решения задач вывести положения геометрии Лобачевского.

Выводы: 1. Геометрия Лобачевского построена на отказе от пятого постулата Евклида.

2. В геометрии Лобачевского: не существует подобных треугольников, которые не равны;

два треугольника равны, если их углы равны;

сумма углов треугольника не равна 1800, а меньше (сумма углов треугольника зависит от его размеров: чем больше площадь, тем сильнее отличается сумма от 1800; и наоборот, чем меньше площадь, тем ближе сумма его углов к 1800 );

через точку вне прямой можно провести более одной прямой, параллельной данной.

Рекомендации: Я предлагаю использовать эту работу как дополнительную литературу в классах с углубленным изучением математики.