Аналіз існуючих методів моделювання, векторних і скалярних полів за позиційними і диференціальними властивостями, теоретичні основи узагальнено-тривекторного числення. Метод розв’язання задачі теплопровідності, теорії пружності в постановці Ламе.
При низкой оригинальности работы "Геометричне моделювання скалярних і векторних полів на базі узагальнено-тривекторного числення", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Практика висуває перед прикладними науками все більш складні задачі, повязані з моделюванням явищ і процесів, предявляючи при цьому до моделей і моделюючого апарата цілу низку вимог, наприклад, диференціального, позиційного, геометричного характеру. Розробка методів моделювання таких полів важлива для теорії і практики, тому, що дозволяє одержати розвязки багатьох прикладних і наукових задач, таких як задачі теорії пружності, теорії теплопровідності, теорії коливань та ін. Відомі методи моделювання, в тому числі і геометричні, які можна використовувати для моделювання вищезгаданих процесів і явищ, вирішують задачі побудови скалярних і векторних полів, орієнтованих на конкретні природні процеси в конкретних областях, не мають загальних підходів для моделювання як векторних так і скалярних полів із заданими диференціальними і позиційно-геометричними умовами, не дозволяють повною мірою врахувати складні диференціальні і позиційні вимоги, які предявляються до моделі. Актуальність запропонованої теми випливає з постановки вище вказаної проблеми і полягає в необхідності побудови спеціального моделюючого апарата, на основі якого стане можливою розробка загальних підходів і методів для моделювання векторних, скалярних і векторно-скалярних полів із заданими диференціальними і позиційними властивостями у вигляді спеціальних векторних або скалярних апроксимуючих поліномів. Розробити основи нового геометричного апарату на базі запропонованих у роботі функцій узагальнено-тривекторного аргументу для моделювання векторних і скалярних полів із заданими позиційно-диференціальними властивостями.Однак можливості застосування тривекторів звужує той факт, що властивості тривекторів і операцій над тривекторами випливають з тензорного трактування цього обєкта. Сутність запропонованого числення складає геометричний апарат, основа якого полягає в створенні нового геометричного обєкта - узагальнений тривектор (О-тривектор) - і розробці системи операцій над О-тривекторами. У другому розділі роботи “Побудова апарату тривекторів” розглядається питання про розвинення можливостей відомого математичного обєкта - тривектор за рахунок його нової геометричної інтерпретації і введення відмінних від відомих операцій над тривекторами, що у сукупності дозволять розробити алгебру тривекторів, яка є основою для побудови нового моделюючого апарату векторних і скалярних полів.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Список литературы
Вирішено наукову проблему підвищення точності геометричного моделювання векторних, скалярних і векторно-скалярних полів за рахунок розробки нового моделюючого апарату, основу якого складає побудоване у роботі узагальнено-тривекторне числення. З цією метою розроблено метод побудови апроксимуючого векторного, скалярного або векторно-скалярного узагальнено-тривекторного полінома, який задовольняє заданим лінійним диференціальним і позиційним умовам. Уперше розроблена система геометричного моделювання векторних, скалярних і векторно-скалярних полів на базі побудованого у роботі числення узагальнених тривекторів (О-тривекторів), яке відрізняється від відомих, по-перше, спільністю підходів для зазначених різновидів полів, по-друге, базуванням на розкладанні в ряд типу Фурє за аналітичними функціями узагальненого тривекторного аргументу.
Основні наукові і практичні результати.
1. Аналіз існуючих методів моделювання векторних і скалярних полів показав, що існуючі методи не дозволяють одержати загальні алгоритми для моделювання процесів векторної, скалярної і векторно-скалярної природи. Існуючі методи моделювання виявляються неефективними при побудові моделюючих полів на областях складної геометричної форми і за складними комбінованими диференціальними умовами.
2. Розвязання поставленої проблеми полягає в розробці нового моделюючого апарату на основі числення О-тривекторів і методів моделювання на базі цього числення, у рамках якого: - введено та досліджено поняття нового геометричного обєкту - О-тривектор, і побудована система спеціальних операцій над О-тривекторами, що є основою О-тривекторного числення;
- введено поняття аналітичної функції О-тривекторного аргументу і базові поняття аналізу таких функцій;
- на основі аналітичних функцій О-тривекторного аргументу розроблені алгоритми побудови скалярних і векторних полів із заданими лінійними диференціальними властивостями;
- розроблено новий підхід до побудови апроксимуючого векторного поля у вигляді ряду типу Фурє за спеціальним набором О-тривекторних функцій;
- розроблено загальний метод побудови векторних і скалярних полів із заданими лінійними диференціально-позиційними характеристиками у вигляді апроксимуючого О-тривекторного поліному за допомогою конструювання спеціальної метрики в просторі моделювання.
Математичний апарат геометричного моделювання полів, розроблений у дисертації, відрізняється від відомого апарату векторного аналізу тим, що основним обєктом нового числення є узагальнений тривектор, що має три векторні і скалярну компоненти. Традиційні для векторного числення операції додавання, скалярного, векторного і змішаного добутків доповнені операцією узагальненого добутку тривекторів, яка є комутативною, дистрибутивною і асоціативною операцією. Це дозволяє будувати цілопоказникові ступеневі узагальнено-тривекторні поліноми і ступеневі узагальнено-тривекторні ряди, а також ввести поняття аналітичної функції узагальненого тривекторного аргументу.
3. На основі запропонованого загального методу розроблені методи розв‘язання прикладних задач: - метод розв‘язання задачі про деформацію пружного тіла в постановці Ламе, при завданні крайових умов у переміщеннях, у напруженнях, змішаного типу;
- метод розв‘язання задачі про прогин пластини при різних способах закріплення країв, а саме, при защемленні країв, при шарнірно обпертих краях, при вільному краї, при змішаному способі закріпленні країв. Розв‘язано задачу при рівномірному і нерівномірному розподілі навантаження;
- метод розв‘язання задачі теплопровідності стаціонарної, нестаціонарної, однорідної, неоднорідної, при крайових умовах I-го роду, II-го роду і при змішаних крайових умовах;
- метод розв‘язання задачі про коливання твердого тіла - однорідної, неоднорідної, із крайовими умовами різних типів.
Перераховані методи відрізняються від відомих тим, що дозволяють отримати розвязки з необхідною точністю, на областях довільної однозвязної конфігурації, та являються загальними для різних видів крайових умов. Для кожного із запропонованих методів розроблено відповідна програмна реалізація і рекомендації при застосуванні для розвязання практичних задач.
4. Наведені в роботі розвязання тестових прикладів і практичних задач підтверджують достовірність отриманих теоретичних результатів. Достовірність отриманих результатів забезпечується порівнянням розвязків запропонованим методом з відомими методами (методом -функцій, методом Бубнова-Гальоркіна, методом розподілення змінних і ін., достовірність яких підтверджена експериментально) при максимальних відхиленнях розвязків не вище 2%.
5. Здійснено впровадження. Методика розрахунку і її програмна реалізація прийняті до впровадження для прогнозування розподілу температурного поля усередині ребер охолодження різних профілів в автомобільних двигунах, розроблювальних на ГРП “Авто-ЗАЗ-Мотор” (м. Мелітополь).
Розроблені розрахункові методики і їхня програмна реалізація прийняті до впровадження в Державному конструкторському бюро “Південне” (м. Дніпропетровськ) при моделюванні теплових полів термозахисних покрить космічних апаратів.
Методика розрахунків і програмна реалізація при прогнозуванні полів напружень і переміщень усередині будівельних конструкцій у вигляді балок складного профілю прийняті до впровадження в ЗАТ “Київпромзвязокбуд” (м.Київ).
Практичні і теоретичні результати досліджень використовуються в навчальному процесі Таврійської державної агротехнічної академії (м. Мелітополь) в курсах “Прикладна математика”, “Математичне програмування і моделювання виробничих систем”.
6. Використання отриманих результатів на практиці доцільно при побудові геометричних моделей явищ і процесів за наперед заданими лінійними диференціально-геометричними характеристиками. Розроблений математичний апарат можна застосовувати для геометричного моделювання напружено-деформованих станів конструкцій, явищ теплопровідності, коливальних процесів, полів іншої природи, а також конструювати поверхні за наперед заданими диференціально-геометричними умовами.
7. Подальший розвиток запропонованих досліджень можливо проводити в наступних напрямках: розв‘язання інших прикладних задач моделювання процесів векторно-скалярної природи; розширення кола розвязуваних прикладних задач за рахунок конструювання нових видів метрик у просторі розв‘язків і побудови апроксимантів, що відповідають новим критеріям; дослідження в області О-тривекторних рядів і застосування таких рядів в алгоритмах моделювання; розв‘язання прикладних задач у багатовимірному просторі.
СПИСОК ОСНОВНИХ ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
6. Малкіна В.М. Дослідження аналітичних функцій узагальнено-тривекторного аргументу.//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Мелітополь:ТДАТА, 2002- Т.16, Вип.4. - С.69-72.
7. Малкіна В.М. Інтеграл від аналітичної функції узагальненого тривекторного аргументу//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Мелітополь:ТДАТА, 2002- Т.17, Вип.4. - С.56-59.
8. Малкіна В.М. Побудова полів з заданими диференціальними властивостями в термінах функцій узагальненого тривекторного аргументу//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Мелітополь: ТДАТА, 2003. - Т.18, Вип.4. - С.52-55.
9. Малкіна В.М. Особливості геометричного моделювання векторних полів з заданими диференціальними властивостями//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. -Мелітополь: ТДАТА, 2003. - Т.19, Вип.4.- С.64-67.
10. Малкіна В.М. Дослідження функцій-аналогів від узагальнено тривекторного аргументу//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Мелітополь:ТДАТА, 2003. - Т.20, Вип.4. - С.57-60.
11. Малкіна В.М. Моделі потенціального і соленоїдального векторних полів у вигляді функцій від узагальненого тривекторного аргументу//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Мелітополь: ТДАТА, 2003. - Т.21. Вип.4 - С.61-63.
19. Малкіна В.М. Моделювання температурних полів у термінах функцій узагальненого тривекторного аргументу//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Мелітополь: ТДАТА, 2003. - Вип.12. - С.106-108.
20. Найдиш В.М., Малкіна В.М. Побудова алгебри тривекторів//Прикладна геометрія та інженерна графіка. -Київ: КНУБА, 2001. - Вип.68. - С. 11-15 (особисто автором розроблена система нових операцій над тривекторами і досліджені властивості цих операцій).
21. Найдиш А.В., Малкіна В.М. Розкладання тривекторного ступеня тривектора по тривекторам //Прикладна геометрія та інженерна графіка. -Київ: КНУБА, 2001. - Вип.69. - С. 36-38 (особисто автором побудовано лінійний простір, породжений тривектором і досліджені властивості базису цього простору).
22. Малкіна В.М. Векторний і векторно-скалярний добутки тривекторів//Прикладна геометрія та інженерна графіка. -Київ: КНУБА, 2002. - Вип.71. - С. 123-126.
23. Малкіна В.М. Геометричне моделювання поля переміщень точок тонкої пластини під дією деякої сили//Прикладна геометрія та інженерна графіка. -Київ: КНУБА, 2003. - Вип.73. - С. 140-145.
24. Малкіна В.М. Розвязання задач теорії пружності на основі апарата геометричного моделювання//Геометричне та компютерне моделювання. -Харків: ХДУХТ, 2004. - Вип.6.- С.14-20.
25. Малкіна В.М.Побудова моделей векторних і скалярних полів у термінах функцій узагальненого тривекторного аргументу//Вестник Херсонского государственного технического университета. - Херсон: ХГТУ. - 2003. - №3(19). - С. 253-257.
26. Найдиш А.В., Малкіна В.М. Застосування спеціальних функцій узагальненого тривекторного аргументу для моделювання крайових задач мат. Фізики//Матеріали міжнародної науково-практичної конференції. “Сучасні проблеми геометричного моделювання.” - Львів: “Львівська політехніка” 2003, - С.157-159 (особисто автором розроблено новий метод побудови моделей векторних і скалярних полів із заданими диференціальними і позиційними властивостями у вигляді спеціальних О-тривекторних рядів Фурє).
27. Малкіна В.М. Дослідження тривекторного базису//Геометричне та компютерне моделювання. -Харків: ХДУХТ, 2002. - Вип.1.- С.78-81.
28. Малкіна В.М. Дослідження декартових тривекторів//Геометричне та компютерне моделювання. -Харків: ХДУХТ, 2002. - Вип.2.- С.70-74.
29. Найдыш А.В., Малкина В.М. Построение аппроксимирующих кривых в виде полиномов высоких степеней//Тезисы международной научно-практической конференции. “Современные проблемы геометрического моделирования.” Донецк: ДОНГТУ. - 2000, - С.27-28 (особисто автором розроблено новий метод побудови моделей векторних і скалярних полів із заданими диференціальними і позиційними властивостями у вигляді спеціальних О-тривекторних рядів Фурє).
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
